2023届北京市第一六五中学高三上学期期中教学目标检测数学试题（解析版）

2023届北京市第一六五中学高三上学期期中教学目标检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解不等式得到，根据题意得到，再由集合交集的概念得到结果.

【详解】由集合，解不等式得到：，

又因为，根据集合交集的概念得到：，故D正确.

故选：D.

2．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据常见函数的单调性，以及奇偶性的定义，结合利用导数判断函数单调性，即可判断和选择.

【详解】对A：定义域为，且，故为奇函数；

又当时，，故在单调递减；故A正确；

对B：定义域为，且，故为偶函数，B错误；

对C：定义域为，但，故不为奇函数，C错误；

对D：定义域为，且，为奇函数；

但当时，为单调增函数，故D错误；

故选：A.

3．2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动．重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：

用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法不正确的有（    ）A．变量与负相关且相关性较强              B．

C．当时，的估计值为13 D．相应于点的残差为

【答案】C

【分析】由回归直线可得变量线性负相关，且由相关系数，可知相关性强，判断A，计算样本中心点坐标，计算求得，判断B;将代入线性回归直线求得的估计值，判断C;求出相应于点的残差即可判断D.

【详解】对于A，由回归直线可得变量 线性负相关，且由相关系数，可知相关性强，故A正确，

对于B，由表中数据可得，﹐

，故回归直线恒过点 ，

故 ，解得，故B正确，

对于C，当时，，故C错误，

对于D，相应于点的残差为，故D正确．

故选：C.

4．已知向量，，若与垂直，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量数量积的坐标运算，结合题意，即可求得结果.

【详解】由题可得，，

又，即，故.

故选：C.

5．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【分析】利用已知等差等比数列中的项求得公差公比，再计算比值即可.

【详解】由题意可知：数列成等差数列，设公差为d，

则4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+1=2，a2=1+2d=3.

∵数列成等比数列，设公比为 q，

则4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.

则.

故选：A.

【点睛】本题考查了等差数列和等比数列，属于基础题.

6．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果.

【详解】若为非零向量，且存在负数，使得，则共线且方向相反，

，充分性成立；

当时，的夹角可能为钝角，此时不存在复数，使得，必要性不成立；

“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7．在中，已知，那么一定是（    ）

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形

【答案】B

【分析】由两角和的正弦公式结合正弦定理和余弦定理可求出，即可判断的形状.

【详解】因为，，

所以，

所以由正余弦定理得，化简得，

所以，

所以为等腰三角形.

故选：B.

8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为.

A．24里 B．12里 C．6里. D．3里

【答案】C

【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．

【详解】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，

由，得，解得：，

，

故选C．

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，是基础的计算题．

9．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

附表：

.

参照附表，得到的正确结论是（    ）A．至少有99%认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B．在犯错误的概率不大于0.01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C．在犯错误的概率不大于0.1的前提下，推断“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

D．至少有90%的把握，推断“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

【答案】D

【分析】通过列联表结合所给公示可以计算出的值，再跟附表进行对比，即可得到结论.

【详解】由列联表得到，则，

代入=.

因为，所以至少有的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故D选项正确.

故选：D

10．已知是不大于的正整数，其中.若，则正整数m的最小值为（    ）

A．23 B．24 C．25 D．26

【答案】B

【分析】由已知可得到取不大于的最大正整数，分别求出的值，求和即可得解.

【详解】已知是不大于的正整数，即，且

求满足的正整数m的最小值，即取不大于的最大正整数，

可知，，且

，且

，且

，且

故正整数m的最小值为24

故选：B

二、填空题

11．已知复数，则在复平面内所对应的点的坐标为________．

【答案】

【分析】利用除法运算即可得，从而可知对应的点的坐标.

【详解】，

则在复平面内所对应的点的坐标为.

故答案为：.

12．函数的定义域为_________．

【答案】

【分析】根据定义域的求解方法即可.

【详解】要使函数有意义，则，解得且，

故答案为:.

13．函数的最小值和最大值分别为________．

【答案】；

【分析】先利用三角函数的二倍角余弦将三角函数化为只有的三角函数，再令换元转化为二次函数的最值，求出对称轴，求出最值.

【详解】，

令，，

，

其对称轴，开口向下，

所以当时，y有最大值，

当时，y有最小值，

故答案为：；.

三、双空题

14．已知已知正方形边长为，点满足，则______；______

【答案】         

【分析】根据题意可知点为中点，从而可得，结合数量积几何意义可得.

【详解】∵，∴点为中点，

∴；

根据数量积的几何意义可得，.

故答案为：，.

15．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】     (1,4)    

【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.

详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

四、解答题

16．已知函数．

(1)求函数取最大值时的取值集合；

(2)设函数在区间是减函数，求实数的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简，再求取得最大值时的的取值集合即可；

（2）求得的单调减区间，结合题意，即可求得的最大值.

【详解】（1）由题意，得，

当取最大值时，即，此时，

所以的取值集合为．

（2）由，得，

，，

即，，

所以的减区间，，

当，得是一个减区间，且，

所以，

所以，所以的最大值为．

17．已知在中，，．

(1)求A和的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，________，使存在且唯一确定，并求：

①的长；

②边上的中线的长度；

；周长为；面积为．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）先由特殊角的三角函数值得到，再由正弦定理的边角变换求得，由此得到；

（2）先由（1）得到，排除的选择，再由正弦定理得到，由此可求得的值，从而得到，再利用余弦定理即可求得.

【详解】（1）因为，，所以，

因为，所以由正弦定理得，则，

由于，所以，则，

故.

（2）由（1）知，则，故不能选；

若选，由（1）知，，则，

又由正弦定理得，

所以周长为，解得，则，

即，，故，

所以在中，由余弦定理得，故，

所以，；

.

若选，由（1）知，，则，

故，解得，则，

由知，，则，从而，，故，

所以在中，由余弦定理得，故，

所以，.

18．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：

(1)由表可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；

(2)利用（1）中的回归方程，预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入；

(3)用（1）中所求线性回归方程得到与对应的人均纯收入估计值，当数据对应的残差的绝对值时，则将该数据称为一个“好数据”，现从7个数据中任选3个，求“好数据”至少为1个的概率；

附：参考数据及公式：，，，．

【答案】(1)；

(2)6.8万元；

(3).

【分析】（1）根据已知数据，结合参考数据，分别求得与，即可求得结果；

（2）令，即可求得结果；

（3）根据题意求得好数据个数，再根据古典概型的概率计算公式求解即可.

【详解】（1）根据已知数据以及参考数据可得：，；，

故，

，故所求线性回归方程为：.

（2）根据（1）所求可得：，令，解得，

故预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入为万元.

（3）根据题意，结合所求线性回归方程可得如下表格：

故组数据中，“好数据”有2组，不是“好数据”的有5组，

设从7个数据中任选3个，“好数据”至少为1个是事件，

则.

19．在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.

（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；

（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；

（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（）.写出方差，，，，，的大小关系.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，根据古典概型求出即可；

（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，，，设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则（E），求出即可；

（3）根据题意，写出即可．

【详解】（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为，

有效问卷共有（份，

其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是人，

故（A）；

（2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为，，，

根据题意，可知（A），（B），（C），

设事件为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“

则

.

所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.

（3）．

【点睛】本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题．

20．已知函数．

(1)求在点处的切线方程；

(2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；

(3)求证：．

【答案】(1)

(2)在区间上是单调递增函数；理由见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数计算切线斜率，得到直线方程.

（2）求导得到导函数，根据导函数大于零恒成立得到证明.

（3）题目转化为求函数最大值，求导得到导函数，构造，根据函数的单调性得到存在唯一实数，使得，根据单调性得到最值点，代换得到，再计算最值得到答案.

【详解】（1），得，，，切线方程为：．

（2）函数在区间上是单调递增函数．理由如下：

因为，所以，，因此，，

故恒成立，故在区间上是单调递增函数．

（3）证明“”等价于证明“”．

由题意可得，，因为，

再令，则，所以在上单调递减．

因为，，

所以存在唯一实数，使得，其中．

，，变化如下表所示：

所以为函数的极大值．

因为函数在有唯一的极大值，所以．

因为，所以．

设，，，故在上单调递增，

故，因为，所以．所以．

【点睛】本题参考了切线方程，利用导数求函数的单调性，证明函数不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式转化为求函数的最值是解题的关键.

21．对于正整数，如果个整数满足，

且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.

(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;

(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;

(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.

(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)

【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，

【解析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.

(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.

(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，

根据对应关系得到，再计算，，得到答案.

【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.

(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；

当为奇数时，时，最大为；

综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.

(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；

当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，

则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，

故.

综上所述：.

当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；

当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，

故；

当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.

综上所述：使成立的为：或.

【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.