2023届北京市海淀实验中学高三上学期12月展示数学试题（解析版）

2023届北京市海淀实验中学高三上学期12月展示数学试题

一、单选题

1．已知集合,则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式求出,再根据交集的定义求解即可.

【详解】,解得,

,解得,

,

.

故选:C.

2．已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】有题意可知,由焦点则可求出点到焦点的距离.

【详解】到轴的距离是2，可得，焦点

则点到焦点的距离为2.

故选:B.

3．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数、二次函数、对数函数以及复合函数的单调性逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.

【详解】对于选项A：的定义域为，是由和复合而成，和都是增函数，所以在上为增函数，故选项A正确；

对于选项B：对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，故选项B不正确，

对于选项C：在区间上为减函数，故选项C不正确；

对于选项D：在区间上为减函数，故选项D不正确；

故选：A.

4．已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的一个顶点求出双曲线方程，再根据渐近线的方程求出的值，综合选项即可得答案.

【详解】解：由题意得：

双曲线的一个顶点是，

焦点在轴上，设双曲线方程为，

渐近线方程为，

，，

该双曲线的标准方程为 ．

故选：C

5．己知数列，则“”是“为等比数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据等比数列的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】若数列为等比数列，则可得，且数列的各项均不为0，

所以由“”不能推出“为等比数列”，不满足充分条件，由“为等比数列”可以推出“”，

满足必要条件，所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件.

故选：B.

6．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】A

【分析】根据函数图像的平移满足“左加右减，上加下减”进行求解即可.

【详解】将函数向左平移个单位长度可得

.

故选：A.

7．在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

8．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用等积法可得到平面的距离，进而即得.

【详解】因为平面，平面，平面， 平面，

所以，，，又底面是边长为a的正方形，

所以，又平面，平面，

所以平面， 平面，

所以，

设到平面的距离为，直线与平面所成的角，

则，

所以，，

所以，

所以，又，

所以.

故选：A.

9．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据垂直的条件得，，再由向量的数量积运算可得，根据图示可求得二面角的大小.

【详解】由题意得：，，

因为，

所以，

即，解得：，

又，则，

由图示得，该二面角为为锐角，即该二面角为，

故选：C.

10．曲线C是平面内与两个定点和距离之积等于定长4的点的轨迹，以下说法正确的是（    ）

①曲线C过坐标原点；

②曲线关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则的面积不大于2；

④曲线C与曲线有且仅有两个交点．

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④

【答案】D

【分析】根据题意求出曲线的方程，代入原点判断①，代入可判断②，利用三角形面积公式及正弦的有界性可判断③，解方程组可判断④.

【详解】对于①，由题意设动点坐标为，则由题意及两点间的距离公式得:

，

将原点代入验证，此方程不成立，故曲线不过原点，所以①错;

对于②，把方程中的用代换，用代换，方程不变，故曲线关于原点对称，故②正确;

对于③，由题意知点P在曲线C上，则的面积，所以③正确；

对于④，由可得，代入，

化简可得，即，解得或（舍去），

故曲线与椭圆交点为，故④正确.

故选：D

二、填空题

11．复数，则___________．

【答案】5

【分析】由题可得，继而可得.

【详解】由题，，则.

故答案为：.

12．若，则________．

【答案】18

【分析】对数式化为指数式，再代入计算即可.

【详解】，.

,.

.

故答案为：18.

13．已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，则公比_______，______．

【答案】     ##0.5     15

【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式求解即可.

【详解】因为是各项均为正的等比数列，

所以解得或，

又因为是各项均为正，所以，

所以，

故答案为：，

14．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则________．

【答案】##-0.875

【分析】根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式求解即可.

【详解】由得是第一或第二象限角，

若是第一限角，则，

因为与的终边关于轴对称，所以是第二象限角，

且

所以；

若是第二限角，则，

因为与的终边关于轴对称，所以是第一象限角，

且

所以；

故答案为:.

15．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度CD=______m

【答案】

【分析】先设山的高度，根据题中条件求出，再由正弦定理，即可求出结果.

【详解】设此山的高度，

因为在B处测得此山顶仰角为，所以，

因此，在中，，故，

又由题意可得，，所以，，

由正弦定理可得：，即，

解得.

故答案为

【点睛】本题主要考查解三角形的应用，熟记正弦定理即可，属于常考题型.

16．设双曲线的左焦点为F，右顶点为A．若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得成立，则实数的值为___________．

【答案】

【分析】根据双曲线的几何特征以及点P满足的数量积公式，设出点，联立双曲线方程和数量积公式得到关于的一元二次方程，把点P的个数转化成方程根的个数问题，即可求得实数的值.

【详解】因为双曲线的左焦点为F，右顶点为A，所以

设，则，

所以，

又因为在双曲线上，所以

因此，即

在双曲线中可知，当时，直线与双曲线有两个交点;

当时，直线与双曲线有一个交点；

所以，有且仅有3个不同的点P使得成立等价于方程有两个不同的实数根，且

①当时，有，即；

所以对应的解为，，

故符合题意；

②当时，有，；

所以，即对应的解为，，

故不符合题意；

综上可知，双曲线上有且只有3个不同的点P使得成立时，实数的值为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：联立双曲线方程和数量积公式得到关于的一元二次方程，把点P的个数问题转化成方程根的个数问题.由双曲线的对称性可知，在上时，点P关于轴对称，由点P的个数是奇数可确定必是方程的根，即可求得实数的值.

三、解答题

17．用下面两个条件中的一个补全如下函数________________.

条件①：；条件②：.

(1)求的值；

(2)求函数在区间的最大值和最小值．

【答案】(1)选①；选②；

(2)选①，最大值4，最小值2；选②，最大值，最小值.

【分析】（1）利用函数解析式及特殊角三角函数值即得；

（2）选①可得，利用余弦函数及二次函数的性质即得；选②可得，然后利用三角函数的性质即得.

【详解】（1）选①，，

所以；

选②，，

所以；

（2）选①，，

由，可得，

所以当，即时，函数有最大值4，

当，即时，函数有最小值2；

选②，，

由，可得，

所以当，即时，函数有最大值，

当，即时，函数有最小值.

18．已知在中，，．

(1)求A的大小；

(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．

①周长为；②；③面积为；④

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）原式可化为，可得或，通过分析即可解得；

（2）由（1）知，，.根据正弦定理，可推得.

若选①周长为，则，，然后根据余弦定理即可求得中线的长；

若选②，可推得，，然后根据余弦定理即可求得中线的长；

若选③面积为，根据面积公式可推得，，然后根据余弦定理即可求得中线的长；

若选④，由（1）可推得，与条件矛盾，即不存在这样的三角形.

【详解】（1）由可得，，

即，所以，

所以或.

当，即时，又，所以；

当时，

又，则由余弦定理知，，

这与矛盾，舍去.

所以，.

（2）

若选①，由（1）知，，.

由正弦定理可得，

又周长为，所以，，则存在且唯一确定.

设中点为，则，

在中，有，，，

由余弦定理可得，，

所以，；.

若选②，即，由（1）知，，.

则，根据正弦定理，可得，

则存在且唯一确定.

设中点为，则，

在中，有，，，

由余弦定理可得，，

所以，；.

若选③，即面积为.由（1）知，，，则.

，所以，则，所以，

根据正弦定理，可得，

则存在且唯一确定.

设中点为，则，

在中，有，，，

由余弦定理可得，，

所以，；.

若选④.

由（1）知，，.

根据正弦定理，可得，

与矛盾，所以，不存在这样的.

19．已知函数.

(1)时，在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)若函数对任意都有成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）将代入函数解析式，求出的值，再根据函数的导函数求出切线方程的斜率，然后利用点斜式方程即可得到答案；

（2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到答案；

（3）若函数对任意都有成立，即可寻找区间上的最小值大于等于0，根据第二问求出的单调区间，进行分类讨论，即可得到答案.

【详解】（1）根据题意，当时，，定义域为，

所以，当时，，，

所以在点处的切线方程为，即.

（2）因为函数，定义域为，

，因为，所以的正负与的一致，

当即时，在上恒成立，

因为，所以恒成立，

所以函数在区间上单调递增；

当即时，

令，即，解得，所以函数在区间上单调递增，

令，即，解得，所以函数在区间上单调递减.

综上，当时，函数的单调增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调增区间为，单调递减区间为.

（3）由（2）得，当时，函数在区间上单调递增，

所以当时，函数在区间上单调递增，

所以，

可得对任意都有成立，所以满足题意；

当，函数的单调增区间为，单调递减区间为，

所以对于，当，即时，函数在区间上单调递增，

所以，

可得对任意都有成立，所以满足题意，

当时，即，此时函数的单调增区间为，单调递减区间为，

所以，

又因为，

根据函数的单调区间可知，

所以存在有，与题干矛盾，所以不满足题意.

综上，a的取值范围为.

20．已知椭圆的焦距为2，离心率为，点P为椭圆右顶点、F为椭圆右焦点．过椭圆右焦点作斜率不为0的直线l交椭圆于两点M和N，直线和直线、分别交于A、B两点．

(1)求椭圆标准方程；

(2)请判断以为直径的圆是否过x轴上两定点？若过请求出这两定点坐标，若不过说明理由．

【答案】(1)

(2)以为直径的圆过x轴上两定点，两定点坐标为，.

【分析】（1）由已知可推得，，，，即可得到椭圆标准方程；

（2）先求出直线斜率不存在时点的坐标以及以为直径的圆的方程，得到两个定点坐标.再证明当直线斜率存在时，以及即可得到结论.

【详解】（1）由已知可得，，则.

又，所以，.

所以，椭圆的标准方程为.

（2）以为直径的圆过x轴上两定点，

两定点坐标为，.

由（1）可得，椭圆右顶点，右焦点.

当直线斜率不存在时，方程为，可推得，.

易知分别与重合，则，，

此时圆心为，半径为，圆的方程为，

与轴交于两点，分别为，；

当直线斜率存在时，设方程为，，.

显然直线与椭圆相交，

联立直线方程与椭圆的方程

可得，，

根据韦达定理得，.且，.

又，直线方程为，

代入，可得点坐标为.

，直线方程为，

代入，可得点坐标为.

则，，

.

即，所以，则点在以为直径的圆上.

同理可证，所以，则点在以为直径的圆上.

所以，以为直径的圆经过x轴上两定点，

两定点坐标为，.

【点睛】判断以为直径的圆过定点时，常用向量法.联立直线与圆锥曲线方程，根据韦达定理得到坐标的关系式，根据向量数量积为0，代入相关点的坐标化简后即可得到结论.