2023届宁夏六盘山高级中学高三（提升班）上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2023届宁夏六盘山高级中学高三（提升班）上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数（其中为虚数单位），则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】化简得，利用复数模的定义得.

【详解】易知，则，

故选：D.

2．若，，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，且，则

B．若，则

C．若，则

D．若且，则

【答案】B

【分析】利用不等式的性质，结合特殊值法，判断选项.

【详解】A选项，时，结论不成立，故A错误

B选项，因为，所以，所以，即，故B正确

C选项，，时结论不成立，故C错误

D选项，若则结论不成立，故D错误，

故选：B.

3．下列命题为真命题的是（    ）

A．命题“若，则”的逆命题 B．命题“若，则”的否命题

C．命题“若，则”的否命题 D．命题“若，则”的逆否命题

【答案】A

【分析】写出各选项中对应的命题，利用不等式的基本性质以及特殊值法判断可得出结论.

【详解】对于A选项，命题“若，则”的逆命题为“若，则”，

因为，则，A选项中的命题为真命题；

对于B选项，命题“若，则”的否命题为“若，则”，

取，则成立，但不成立，B选项中的命题为假命题；

对于C选项，命题“若，则”的否命题为“若，则”，

取，则成立，但不成立，C选项中的命题为假命题；

对于D选项，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，

取，则成立，但不成立，D选项中的命题为假命题.

故选：A.

4．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别解分式不等式与二次不等式得到集合后求交集运算.

【详解】由得 且，解得，故；

由得，故.

综上得，.

故选：D.

5．为等差数列的前项和，如果，那么的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等差数列求和公式结合等差中项的性质直接可得解.

【详解】由已知得，

解得，

故选：B.

6．“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出不等式对恒成立所满足的条件，再寻找一个集合，使它包含即可

【详解】对恒成立，则，解得：，要想找到一个必要不充分条件，只需找到一个集合，使得是它的子集，显然C选项符合.

故选：C

7．已知数列中，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分析得到数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，求出数列的通项即得解.

【详解】

所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，

所以.

故选：C

8．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，已知函数，的部分图像如图所示 ，则的解析式可能为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】首先观察图象，可知其关于原点对称，得到函数为奇函数，从而排除A，D；之后再利用图象的变化趋势，可以排除B，得出正确选项.

【详解】由已知，图象关于原点对称，故函数为奇函数，排除A，D；

又因为随着自变量的增大，函数值趋近于0，排除B选项，

故选：C.

【点睛】该题考查的是有关根据函数图象选择函数解析式的问题，涉及到的知识点有观察函数图象的对称性，得到与其对应的奇偶性，观察函数解析式，排除不正确的选项，结合随着自变量的增大，函数值的变化趋势排除不正确选项，求得结果，在选择过程中，注意全局看图，属于中档题目.

9．设函数，若不等式对于实数时恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，把不等式转化为对于实数时恒成立，令函数，结合一次函数的性质列出不等式，即可求解.

【详解】由题意，函数，

不等式可化为对于实数时恒成立，

即对于实数时恒成立，

设，

因为，所以函数为单调递增函数，

要使得，只需，即，

解得，即实数的取值范围是.

故选：A.

10．设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．9

【答案】A

【分析】根据向量共线定理可得，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.

【详解】由题设，，，A，B，C三点共线，

∴且，则，可得，

∴，当且仅当时等号成立.

∴的最小值为.

故选：A

11．已知数列满足，（，），定义：使乘积为正整数的（）叫做“幸运数”，则在内的所有“幸运数”的和为（    ）

A．2046 B．4083 C．4094 D．2036

【答案】D

【分析】利用换底公式与叠乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解．

【详解】解：，，

，

又为整数，

必须是2的次幂，即．

内所有的“幸运数”的和：

，

故选：D．

12．已知不等式对恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可得到，故构造，通过导数可得单调递增，故可得到，即，故构造，通过导数求的最大值即可求解

【详解】∵，∴，∴，即，

令，则不等式化为，

∵，

当时，，∴在上单调递增，

∴，即，

令，则，

令，解得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，

所以，

∴实数的最小值为.

故选：

【点睛】关键点睛：这道题的关键在于将不等式转化成，然后构造函数，利用导数进行求解，故构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键

二、填空题

13．设向量的模为2，向量，且，则与的夹角等于______.

【答案】##

【分析】根据题意计算得，再求解向量夹角即可.

【详解】解：由得，

因为，

所以，即，解得，

所以，

又，

所以.

故答案为：

14．已知实数x，y满足，则的最小值是________．

【答案】

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【详解】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，

化目标函数为，

由图可知，当直线过点时取得最小值，

把点的坐标代入目标函数得，

故答案为：．

15．若，则________.

【答案】

【分析】利用诱导公式和同角三角函数商数关系可求得；利用二倍角正弦公式和同角三角函数平方关系可将所求式子化为关于正余弦的齐次式，分子分母同除，代入的值即可.

【详解】，，

.

故答案为：.

16．若函数在上为增函数，则的最大值为________.

【答案】

【分析】先根据正弦函数单调区间的性质确定一个粗略的范围，然后利用复合函数的单调性法则，正弦函数的单调区间，列不等式组解决.

【详解】在上单调递增，由正弦函数在某区间单调时，区间长度不超过半个周期，即，结合，故，∵，设，，则关于单调递增，故，而，，故最大可能取值区间是，根据复合函数的单调性，关于单调递增，故只需求关于单调递增区间即可，根据正弦函数的单调性，在上单调递增，故需满足，显然此时只可取，则，解得，又，∴，则的最大值是.

故答案为：.

三、解答题

17．在中，角，，的对边分别为，，．已知

(1)求；

(2)若，的面积为，求，．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）已知，由正弦定理和辅助角公式可得，解得 .

（2）由余弦定理和三角形面积公式，可解求，.

【详解】（1）中，已知，

由正弦定理可得，

∵，∴

，△ABC中，，∴ ，

∴

（2）a=2，△ABC的面积为

∴ ，解得bc=4.

由余弦定理可得：

化为.

联立 ，解得

∴.

18．等差数列的前项和为，，.

(1)求的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前项和公式求得基本量，从而求得的通项公式；

（2）结合（1）中结论求得，代入，利用裂项求和法即可求得.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由，得，，解得，

故；

（2）由（1）可知，

则.

故.

19．如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段上靠近A的一个三等分点，过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q．设，，其中，

(1)求证：为定值，并求此定值；

(2)设△APQ的面积为，△ABC的面积为，求的最小值．

【答案】(1)4，证明见解析；

(2)

【分析】（1）由向量线性运算得，由共线得，整理即可；

（2）由三角形面积公式可得，结合参数范围及为定值，消元求函数最小值即可

【详解】（1）证明：由题意得，，

由共线得，得证，定值为4；

（2）设，则，，

故，∵，故，

由二次函数性质得时，取得最大值9，故的最小值为

20．设数列的前项和，，且为等差数列的前三项．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1），；（2）.

【详解】试题分析：（1）依据题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件运用错位相减法求解.

试题解析:

（1）解法1：∵，

∴

∴，即，

又，

∴数列为以1为首项，公比为的等比数列，

∴，

∴，整理得，得

∴，

解法2：∵，

∴，

∴，整理得，得

∴，

∴

∴，即，

又

∴数列为以1为首项，公比为2的等比数列，

∴，

（2）

∴ ①

∴ ②

①②得

整理得：

【解析】等差数列等比数列的通项前项和等有关知识的运用．

21．已知函数．

(1)当 时， 求函数的极值点；

(2)当时，恒成立， 求的取值范围．

【答案】(1)是极小值点， 无极大值点．

(2)．

【分析】（1）根据导数与极值的关系直接求解即可；

（2）令，结合题意必有，即，再证明函数在时恒成立即可.

【详解】（1）解：当时，，则，

令得，

当时，， 函数单调递减，

当时，， 函数单调递增

所以，当时，函数取得极小值，无极大值，

所以，是函数的极小值点， 无极大值点．

（2）解：当时，恒成立， 即当时，恒成立，

设，

所以，即，

，

设，则，

所以，当时，，即在上单调递增，

所以，

所以，当时，，即在上单调递增，

所以

若恒成立，则，

所以时，恒成立，的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于构造函数，再结合题意得，进而先求得，再讨论当时恒成立即可求得答案.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是．

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若点A的坐标为（1，0），直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）移项再平方相加即得曲线C的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式即可得直线l的直角坐标方程；

（2）由直线参数方程中的几何意义，结合韦达定理即可求得.

【详解】（1）由，可得，

将上式分别平方，然后相加可得，

由，可得，

即，即．

（2）由（1）可知直线l的斜率为，则其倾斜角为，

且点在直线l上，

所以直线l的参数方程为： （t为参数），

即（t为参数），

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得．

设点P，Q对应的参数分别为，，则，，

则．

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若，，，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用分类讨论思想，分、、，将问题转化为一次不等式进行求解；

（2）利用柯西不等式进行求解.

【详解】（1）当时，原不等式等价于，

即成立，所以；

当时，原不等式等价于，解得，

又，所以；

当时，原不等式等价于，

即不成立，解得；

综上所述，不等式的解集为；

（2）由柯西不等式得，

所以，

当且仅当，即且时等号成立，

即的最大值为.