2023届内蒙古自治区鄂尔多斯市高三上学期期中数学（文）试题（解析版）

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2023届内蒙古自治区鄂尔多斯市高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式化简集合，再求交集即可.【详解】由解得，故.又，所以.故选：C.2．设复数z的共轭复数为，若复数z满足2z+=3-2i，则z=（    ）A．1+2i B．1-2i C．-1+2i D．-1-2i【答案】B【分析】设出复数z和共轭复数为，代入2z+=3-2i即可得出答案.【详解】设则其共轭复数=a-bi,所以所以由复数相等的概念可知解得所以故选：B3．下列说法正确的是（    ）A．若为真命题，则为真命题B．命题“”的否定是“”C．“若，则或”的否命题是“若，则且”D．若，则【答案】C【分析】对于A选项，为真，即p，q中至少有一个为真.对于B选项，由全称命题的否定的改写规则可得答案.对于C选项，若p，则q的否定为若，则.对于D选项，取特殊值判断大小.【详解】对于A选项，为真，即p，q中至少有一个为真.则有可能是假命题，故A错误.对于B选项，“”的否定是“，故B错误.对于C选项，若p，则q的否定为若，则.又“”的否定是“”，“或”的否定是“且”则“若，则或”的否命题是“若，则且”，故C正确.对于D选项，取，则此时.故D错误.故选：C4．已知向量，，，则向量，的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用得到，然后利用数量积的定义可求出，即可得到答案【详解】因为向量，所以，由，可得，所以，因为，所以，故选：A5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三视图还原几何体，可得该棱锥4个面中有2个为直角三角形，2个面是等腰三角形，利用三视图中的数据即可得结果.【详解】该几何体是棱长分别为 的长方体中的三棱锥： ，其中： ，该几何体的表面积为： .故选：B．6．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到，将向右平移个单位长度得到；故选：B7．已知等比数列的各项均为正数，若，则（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】由对数的运算性质，求得，再由等比数列的性质，得到，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得，所以，又由等比数列的性质，可得，即，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用对数的运算性质，结合等比数列的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．如图所示，平行四边形的对角线相交于点，若，则等于（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量基本定理求出，即可得到答案.【详解】因为平行四边形的对角线相交于点，所以.因为，所以.所以.故选：C9．下列各式大小比较中，其中正确的是（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式的性质，三角函数和指数对数函数的单调性，逐个判断选项是否正确.【详解】，∴，即，选项A错误；，则，得，故选项B错误；，选项C错误；，，∴，选项D正确.故选：D10．三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根据各棱长可求得其外接球的半径，即可求得其外接球的表面积．【详解】由于三棱锥中，平面ABC，，，故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：则体对角线即为外接球的直径， 所以，故三棱锥的外接球表面积为．故选：D11．已知是定义在R上的奇函数，且对任意都有，若，则（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据函数为奇函数得到，进而得到，结合，得到，赋值后得到，故的一个正周期为8，从而，再结合与得到答案.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 将代替，可得由可得，，故，即，所以，则，故的一个正周期为8，所以，在中，令，可得，所以故选：A12．已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，利用函数的奇偶性与单调性可得出原不等式的解集.【详解】由题意可知，当时，，构造函数，其中，则，所以，函数为偶函数，且当时，，所以，函数在上单调递减，因为，由可得，即，所以，，故，即或，解得或.故选：C.二、填空题13．若实数，满足，则的最大值为__________．【答案】7【分析】画出可行域，由z代表的几何意义，根据数形结合判断即可.【详解】画出可行域如图，z为对应直线的纵截距，故当直线过点A时，z最大，为.故答案为：714．若，则__________.【答案】【详解】 由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，得，又因为，则，即.15．已知正数满足，那么的最小值是__________．【答案】【详解】由得，所以16．函数恰好有三个不同的零点，则的值为__________.【答案】6【分析】利用对称性证明出关于点中心对称，故.【详解】，不妨设，令，则所以关于点中心对称，又，，即关于点中心对称，故关于点中心对称，所以，故答案为：6三、解答题17．在①；②；，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角所对的边分别是，若 .(1)求角；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)；(2)6.【分析】（1）选①：先利用三角公式求出，即可求出角；选②：由正弦定理及三角变换求出，即可求出角；选③：由正、余弦定理求出，即可求出角；（2）利用△ABC的面积公式和余弦定理求出，即可得到△ABC的周长.【详解】（1）选①：由，得，即.所以或.因为，所以.选②：对于，由正弦定理得，即.因为，所以，所以.因为，所以.选③：由三角形内角和定理及诱导公式得到，所以.由正弦定理得：，即.由余弦定理得：.因为，所以.（2）因为△ABC的面积为，得：.由余弦定理得：,即，所以，所以，所以△ABC的周长为6.18．已知函数．(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数在区间内有两个不同的零点，求实数k的取值范围．【答案】(1)，增区间为，；(2).【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据正弦函数的性质即得；（2）由题可得在区间内有两个不同的根，然后利用数形结合即得.【详解】（1）由得，，故最小正周期为，由，解得，，故的单调递增区间为，；（2）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，画出函数的图象，由的图象可知：当时，有两个根，故实数k的取值范围为．19．若正项数列的前n项和为，首项，点在曲线上．(1)求数列的通项公式；(2)设，表示数列的前n项和，若对恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）将点坐标代入曲线方程，整理可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，可得，分别讨论和，由即可求解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法可得，再根据恒成立可得，即可求解.【详解】（1）因为点在曲线上，所以，则，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即，当时，，当时，，也成立，所以（2）因为，所以因为对恒成立，所以，所以.20．如图，在三棱柱中，，，点为的中点，点为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）要证明面面垂直，只要证明其中一个面内的一条直线垂直于另一个平面即可；（2）有两种方法可求三棱锥的体积，一是等体积法，利用即可得解，二是直接求法，已知平面，设与交于点G，则是三棱锥的高，进而可求.【详解】（1）由题意可得四边形是菱形，如图，连接，则．因为点D为的中点，点E为的中点，所以，所以．连接，因为，所以，则，又，所以，所以．又平面．所以平面，因为平面，所以，又，所以平面， 因为平面，所以平面平面．（2）解法一  因为点D为的中点，点E为的中点，且平面．所以，（等体积转化法的应用）由（1）知，则平面，易知的面积，所以，所以．解法二  由（1）知平面，如图，设与交于点G，则是三棱锥的高，且．因为平面，所以，又易知，所以的面积，所以．21．已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若是函数的两个极值点，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由题意知，函数的定义域为，对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性并求其极值即可；（2）对函数进行求导，设，根据函数极值点的定义转化为有二不等正根，，利用一元二次方程根的分布的相关知识求出的取值范围，利用韦达定理求出之间的关系，通过作差求出的表达式，设，则，通过构造函数并对其求导判断单调性求其最值即可求出的取值范围.【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，因为，所以可得之间的关系如下表：∴由表中的数据可知，，.（2）由题意知，，设，因为函数存在两个极值点，所以有二不等正根，，∴，解得，因为，是方程的两根，由韦达定理可得，，，即，由可得，，由可得， ∴，∵，，∴，设，则，所以，∴在上单调递减，∴，即的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性和极值、最值，一元二次方程根的分布问题和函数构造法的运用；考查运算求解能力、转化与划归能力；熟练掌握利用导数判断函数的单调性并求极值、最值的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)分别求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)定点，直线与曲线交于两点，弦的中点为，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）消除参数，即可求出曲线的普通方程；根据将直线的极坐标方程转化为普通方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，再将其代入曲线的普通方程，利用一元二次方程根与系数的关系式的关系，即可求出结果．【详解】（1）解：曲线的参数方程为，（为参数），转换为普通方程为；直线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为.（2）解：定点在直线上，转换为参数方程为：为参数），代入，得到：，所以，；故.1 0 0  极大值 极小值