2023届山东省青岛第二中学分校高三上学期期中质量检测数学试题（解析版）

这是一份2023届山东省青岛第二中学分校高三上学期期中质量检测数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届山东省青岛第二中学分校高三上学期期中质量检测数学试题 一、单选题1．已知全集，集合，．则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】，解得或，所以或，所以，所以.故选：C2．复数的虚部为（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果.【详解】，故虚部为1.故选：B.3．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）A．若，，且m，，则B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【分析】由线面，面面关系判断各选项即可.【详解】对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误；对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误；对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误；对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又，则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确.故选：D4．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦的二倍角公式结合诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，故选：A.5．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量垂直的数量积表示得，然后由向量夹角公式计算．【详解】由已知得，，，，所以.故选：C．6．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，则，解得：，当时，，，则，所以函数为奇函数，即充分性成立；“函数为奇函数”，则，即，解得：，故必要性不成立，故选：A．7．已知数列的前n项和为，且，，则（    ）．A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【分析】利用与的关系和累乘法求出即得解.【详解】因为，，所以当时，，化为，从而，所以．适合.所以.故．故选：C8．设函数，有4个不同的零点，则正实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得当时函数有一个零点，然后根据三角函数的图象和性质即得.【详解】当时，单调递增，且，，故有一个零点，所以当时，函数有3个零点，令，即，，解得，由题可得区间内的3个零点分别是，1，2取得，所以即在和之间，即，解得.故选：A． 二、多选题9．将函数图象向右平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，则下列四个结论中正确的是（    ）A．B．函数的图象关于点中心对称C．函数在区间上为增函数D．函数在上的值域为【答案】AB【分析】根据图象平移规律得到，计算的值可判断A；计算是否得0可判断B；求出的单调递增区间可判断C；根据的范围求出函数在上的值域可判断D.【详解】将函数图象向右平移个单位长度，得到的图象，然后所得函数纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，所以，对于A， ，故正确；对于B，函数，故正确；对于C，由得，即，所以的单调递增区间为，因为，故错误；对于D，因为，所以，，所以函数在上的值域为，故错误.故选：AB.10．已知数列 的前项和为，下列说法正确的是（   ）A．若 ，则B．若 ，则的最小值为C．若 ，则数列的前项和为D．若数列为等差数列，且，则当时，的最大值为【答案】BC【分析】令时，由求出可判断A；由知，，当时，取得的最小值可判断B；若，求出数列的前项和可判断C；由数列的下标和性质可得，则可判断D.【详解】对于A，由，当时，，由，当时，，所以A不正确；对于B，若，当时，，则，所以当时，取得的最小值为；对于C，若 ，设数列的前项和为，所以，故C正确；对于D，数列为等差数列，且，则，所以，当时，的最大值为，所以D不正确.故选：BC.11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（　　）A．DP∥面AB1D1B．三棱锥A﹣D1PC的体积为C．平面PB1D与平面ACD1所成二面角为90°D．异面直线与所成角的范围是【答案】ACD【分析】A利用面面平行的性质证面；B应用等体积法，根据特殊点：与重合时求的体积； C先证明面，再利用面面垂直的判定定理证面面即可；D由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围.【详解】A：连接，，，，由于，由面面平行的判定定理，可证明面面，又面，所以面，正确；B：，因为到面的距离不变，且△的面积不变，所以三棱锥的体积不变，当与重合时得，错误；C：由三垂线定理，可证明，再由线面垂直的判定定理可得面，又面，则面面，正确；D：由，异面直线与所成角即为与所成角，又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，正确.故选：ACD．12．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（    ）A． B．当时，的取值范围为C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解【答案】BCD【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.【详解】依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，有，又，即，因此有，即，于是有，从而得函数的周期，对于A，，A不正确；对于B，当时，，有，则，当时，，，有，，当时，的取值范围为，B正确；对于C，，函数为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 三、填空题13．在平行四边形中，，，若，则______.【答案】【分析】易得，则，后利用向量数量积知识解决问题.【详解】因，则又注意到，.则=.故答案为:14．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PABC的外接球的表面积为______．【答案】【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于平面，因此与底面上的直线都垂直，从而与不可能垂直，否则是锐角三角形，由于，因此有，而与是平面内两相交直线，则平面，平面，所以，所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．，，所以所求表面积为．故答案为：．15．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.【答案】9【分析】先根据函数图象过定点，求出点，依据点在直线上，找出，的关系，最后利用基本不等式求出的最小值．【详解】∵恒过定点，∴过定点∴，即，∴≥，当且仅当即时等号成立，∴所以的最小值为9，故答案为：9.16．已知F是椭圆E：的左焦点，经过原点O的直线与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为______．【答案】【分析】取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，由及椭圆的性质可得，，余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点，连接，，由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，则，，，而，所以，所以，在中，，整理，得，即，由解得.故答案为：. 四、解答题17．在中，角的对边分别为，已知(1)求；(2)若求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知，可将化简从而求得，然后再利用余弦二倍角公式直接求解即可；（2）由（1）问，可求解出，并判断为钝角，再根据，从而求解出，再使用和差公式计算，使用正弦定理求解出边长，然后带入面积公式即可完成求解.【详解】（1）由已知，，所以，因为，所以，此时，所以，得，所以；（2）由（1）可知，，所以且为钝角，由，可知，所以，由正弦定理可知，，所以，所以.18．等比数列中，，且，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列，试求数列前项的和，并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析 【分析】（1）公式法求通项即可；（2）裂项相消解决即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，且，，成等差数列，所以，因为，所以，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得数列的通项公式为所以数列，所以数列前项的和 因为是递增数列，所以，所以.19．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由勾股定理证明，再由，可证平面，即得，由，可证平面；（2）由题意证明得两两垂直，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，设，再由向量夹角的公式代入计算得，根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.【详解】（1）证明：由题知，，又，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以，在正中，为中点，于是，又，平面，所以平面（2）取中点为中点为，则，由（1）知，平面，且平面，所以，又，所以，平面所以平面，于是两两垂直. 如图，以为坐标原点，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，所以，.设平面的法向量为，则，即，令，则，于是.设，则.由于直线与平面所成角的正弦值为，，即，整理得，由于，所以于是.设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．2022年我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p．(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验（即为一人一检），若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；(2)设X为个人一组混合检验时所需要的检验总次数．①当时，求X的分布列及平均检验次数（不必计算，只列式即可）；②某地区共10万人，发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，预估新冠病毒感染率为万分之一，即为，先进行“10合1混采检测”，试估计这10万人所需检测的平均次数．并估计对这个地区，这样的混检比一人一检大约能少使用多少份检测试剂？（注：感染率，即为每个人受感染的概率；）【答案】(1)0.243；(2)①见解析；②；89900. 【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式求概率即可；（2）①写出所以取值和概率，然后列分布列，求期望即可；②利用期望来估计总的检测次数，然后再跟100000作差即可.【详解】（1）设3人中恰好有1人检测结果为阳性为事件，.（2）①的值可取1，11，，，111 .②，所以进行“10合1混采检测”，10万人所需检测的平均次数大概为，这样混检比一人一检大约少使用份检测试剂.21．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数在上的最小值.【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.【详解】（1）当时，所以.所以曲线在处的切线方程为：.（2）.①当时，.所以时，.所以在上是增函数.所以.②当时，令，解得（舍）1°当，即时，时，.所以在上是增函数.所以.2°当，即时，x-0+减函数极小值增函数 所以.3°当，即时，时，.所以在上是减函数.所以.综上，当时，；当时，.当时，.22．已知双曲线：的焦距为4，且过点(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.【答案】(1)(2)3 【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程，（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案.【详解】（1）由题意得，得，所以，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线方程为，（2），设直线方程为，，由，得则，所以，所以的中点，因为，所以用代换，得，当，即时，直线的方程为，过点，当时，，直线的方程为，令，得，所以直线也过定点，所以