2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期12月阶段性检测数学（文）试题（解析版）

2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期12月阶段性检测数学（文）试题

一、单选题

1．天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：

907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（       ）

A．0.40 B．0.30 C．0.25 D．0.20

【答案】D

【分析】由题意知：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共4组随机数，根据概率公式得到结果.

【详解】由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：271 932  812 393 共4组随机数

所求概率为

故选：D

2．等比数列{an}中，若a5＝9，则log3a4+log3a6＝（    ）

A．2 B．3 C．4 D．9

【答案】C

【分析】利用等比中项得到，直接求得.

【详解】等比数列{an}中，若a5＝9，所以，

所以.

故选：C

3．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：，共7种，

故所求概率.

故选：D.

4．已知、是两条不同的直线，是一个平面，则（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】D

【分析】根据空间中线与面的位置关系判断即可.

【详解】解：对于A：若，，则或，故A错误；

对于B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；

对于C：若，，则或或或与相交（不垂直），故C错误；

对于D：若，，由线面垂直的性质可得，故D正确；

故选：D

5．已知椭圆的焦距为，则m的值不可能为（    ）

A．1 B．7 C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆的焦距，分，求解.

【详解】由题知，.

若，则，，

所以，即；

若，则，，即.

故选：D

6．已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（    ）

A．{0，1} B．{－1，1，3} C．{－1，0，1} D．{3，5}

【答案】D

【分析】求出集合B，然后求出即可

【详解】因为

所以

所以

故选：D.

7．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，

根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，

即方程在上有解，

即在上有解．

令，，

则，

可知在上单调递增，在上单调递减，

故当时，，

由于，，且，

所以．

故选：A．

8．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

9．设，若，则n=（    ）

A．6 B．7 C．10 D．11

【答案】B

【分析】根据二项展开式的通项公式，并结合求解即可.

【详解】解：展开式第项，

因为，所以，即，

所以，整理得，解得.

故选：B.

10．已知梯形ABCD 中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】如图以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设，则，然后表示出，求其最小值即可，

【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，

因为，，，，

所以，不妨设，，

则，

所以当时，取得最小值，

故选：D

11．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指对数互化，利用对数函数的性质判断a、b、c的大小.

【详解】由题设，，又，

而，则，

综上，.

故选：A

12．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（    ）

①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为

④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.

【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，

对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，

所以最短路径条数为条，错误；

对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；

对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，

所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；

对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，

所以，错误.

故说法正确的个数是2.

故选：B.

二、填空题

13．若，则=______．

【答案】#

【分析】根据三角函数的基本关系式，化简为齐次式，代入即可求解.

【详解】因为，可得.

故答案为：#.

14．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．

【答案】

【分析】利用与关系即得.

【详解】因为，

当时，，

当时，，

所以．

故答案为：．

15．某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为______________元．

【答案】4880

【分析】设，则可表示出这个简易工作房总造价为，利用基本不等式即可求出.

【详解】设，，则，

则这个简易工作房总造价为，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元.

故答案为：4880.

16．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．

【答案】

【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解.

【详解】记，，

因为p是q的充分条件，所以.

当时，，即，符合题意；

当时，，由可得，所以，即.

综上所述，实数的k的取值范围是．

故答案为：．

三、解答题

17．已知函数是二次函数，，．

(1)求的解析式；

(2)解不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据得对称轴为，再结合顶点可求解;

(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.

【详解】（1）由，知此二次函数图象的对称轴为，

又因为，所以是的顶点，    

所以设                          

因为，即                   

所以得                                     

所以

（2）因为所以

化为，即或

不等式的解集为

18．记Sn是公差不为0的等差数列的前n项和，若，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)求使成立的n的最小值.

【答案】(1)

(2)7

【分析】（1）设等差数列的公差为d，则由题意可得，化简可得从而可求出d，进而可求出通项公式，

（2）由，得，解不等式可得答案

【详解】（1）设等差数列的公差为d，则

∵成等比数列，

∴，即，即

又

∴

∴

∴数列的通项公式为

（2）

则不等式，即

整理可得，解得或，

又n为正整数，故n的最小值为7.

19．已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．

(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)，或

(3)或

【分析】（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程；

（2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解；

（3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解.

【详解】（1）圆心到直线的距离，

所以圆的半径为，

所以；

（2）当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切．

直线斜率存在，设直线，

由，得所以切线方程为，或．

（3）当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；

当直线斜率存在时，设直线，

由，解得：，

故的方程是，即，

综上所述，直线的方程为或

20．已知椭圆过点，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据已知条件，结合离心率的定义和的平方关系，求得的值，进而得到椭圆的方程.

（2）分析可得四边形为梯形的充分必要条件是，设,可转化为证明，然后联立方程组，利用韦达定理证得此式，即证得结论.

【详解】（1）解：由已知得,解得,

∴椭圆的方程.

（2）证明：由（1）的结论可知，椭圆的左焦点,

设,则,.

，.

∵直线与椭圆交于、两点，

∴

由于直线与直线不平行，

∴四边形为梯形的充分必要条件是，即，

即,即,

∵,∴上式又等价于，

即（*）.

由,得,

∴,

，

∴（*）成立，

∴四边形为梯形.

21．已知椭圆（）的两焦点为和，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若的面积为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由椭圆的定义可知的周长为,由此即可求出，再结合，即可求出答案.

（2）设出直线，联立直线与椭圆，消，利用韦达定理即可表示出、.利用即可列出方程,即可求出答案.

【详解】（1）∵的周长为8，

∴，即，

又，且，

∴，.

∴椭圆C的方程为.

（2）依题意可设直线的方程为：，

联立消去x得.

设，，则，.

∴.

∴，解得.

∴直线的方程为：或

22．已知，是的导数．

（1）求的极值；

（2）令，若的函数图像与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．

【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）．

【分析】（1）求出函数的导数，进而求出函数的单调区间，从而结合极值的概念即可求出结果；

（2）问题转化为有三个不同的解，设，求出导数，根据函数的单调性作出函数图象，数形结合即可求出结果.

【详解】（1）因为，

令，得，，

当变化时，，的变化如下表所示：

由上表可知，函数的极大值为，极小值为．

（2）由（1）知，

由题知需有三个不同的解，即有三个不同的解．

设，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又当时，，当时，且，且，．

作出函数的简图如图：

数形结合可知：．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．