2023届上海市格致中学高三上学期12月月考数学试题（解析版）

2023届上海市格致中学高三上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．设集合，则______.

【答案】##

【分析】先化简集合B，进而求得

【详解】

则

故答案为：

2．若复数满足（其中是虚数单位），则______.

【答案】

【分析】化简复数z，再求出，进而求出.

【详解】∵ ，

∴，

∴

故答案为：.

3．若双曲线的离心率为，则实数__________．

【答案】2

【详解】，.渐近线方程是.

4．若圆柱的轴截面面积为，则它的侧面积为________．

【答案】

【分析】设出圆柱的底面半径和母线长，由此根据圆柱的轴截面面积，求得它的侧面积.

【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，依题意可知，故其侧面积为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查圆柱侧面积的计算，属于基础题.

5．.数列的前项和为，若点（）在函数的反函数的图像上，则=________.

【答案】

【详解】解：因为

6．设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________．

【答案】

【详解】试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：．

【解析】导数的运算．

7．从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为_____.

【答案】

【详解】由题意，基本事件总数为3×3＝9，其中满足直线y＝kx＋b不经过第三象限的，即满足有k＝－1，b＝1或k＝－1，b＝2两种，故所求的概率为.

8．已知非常数等差数列的各项为正数，且数列的前n项和为，则数列的最大项的值是___________

【答案】1

【分析】由题设知，，写出通项公式并判断单调性，再应用前n项和公式得到的通项公式并判断单调性，进而求最大项.

【详解】等差数列的各项为正数，则，且，

所以数列为严格递增数列，

由，则，

即是严格递减数列，

故当时，得到数列的最大项为.

故答案为：1

9．已知函数的图象关于垂直于轴的直线对称，则实数的值是__．

【答案】或7或

【分析】利用绝对值不等式以及对称性求解.

【详解】考虑每个绝对值的端点，分别为，则这三个端点必关于垂直于轴的直线对称，所以或或，所以或7或．

故答案为：或7或.

10．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果．

【详解】由.

①当时，函数单调递增，不合题意；

②当时，函数的极值点为，

若函数在区间不单调，必有，解得.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，这是解决本题的关键点和突破点.

11．已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为______.

【答案】

【分析】建系设出向量与单位向量的坐标，这个表达式求出向量的坐标，进而求出的最小值.

【详解】不妨设代入得：

任意的恒成立，

当时，最小值为：

故答案为：

12．设整数数列，，…，满足，，且，，则这样的数列的个数为___________.

【答案】80

【分析】由条件可知，，则或，由此构造新数列进而求得答案.

【详解】设，则有…①，

…②，

用t表示中值为2的项数，

由②知，t也是中值为2的项数，其中，

所以的取法数为，

取定后，任意指定的值，有种方式.

由①知，应取使得为偶数，

而这样的的取法是唯一的，并且确定了整数的值，

进而数列唯一对应一个满足条件的数列，

综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.

故答案为：80.

【点睛】本题比较综合，难度大，对或的理解一定要注意的是不要理解成等差数列，而是差值有两种可能性，构造新数列，从组合的角度去理解.

二、单选题

13．已知为非零向量，则在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量数量积的定义及几何意义即可求得在方向上的投影.

【详解】解：设向量的夹角为，则在方向上的投影为

又由向量数量积的定义知，所以，即则在方向上的投影为.

故选：A.

14．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数奇偶性排除选项A；由函数单调性排除选项BC即可解决.

【详解】，定义域为R，

由，可知函数为偶函数，排除选项A；

，令，则恒成立

故为R上单调递减函数，又

可知当时，，即，函数为递增函数，

当时，，即，函数为递减函数，

故选项BC判断错误；选项D判断正确.

故选：D

15．若函数在上有最小值（、为常数）则函数在上（    ）

A．有最大值4 B．有最大值7 C．有最大值5 D．有最小值5

【答案】B

【分析】考虑函数，是一个奇函数，根据函数对称性，结合在上的最值情况即可得解．

【详解】考虑函数，定义域为R，，所以是奇函数，

函数在上有最小值，

则在上有最小值，

根据函数奇偶性得：在上有最大值6，

所以在上有最大值7.

故选：B

16．设数列满足，，，（    ）

A．存在， B．存在，使得是等差数列

C．存在， D．存在，使得是等比数列

【答案】D

【解析】由，得到，递推作差求得，进而得到，结合选项和等差、等比数列的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】由，即，则，

两式相减，可得，可得，

即恒成立，所以数列为常数列，

因为又由，，可得，则，

所以，即，

因为，可得，可判定A、C不正确；

由，，可得，

假设B成立，则成等差数列，

则，此时无解，所以B不正确；

对于D中，假设，所以，

由，解得，

所以存在使得是等比数列.

故选：D.

【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：

1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

三、解答题

17．已知函数.

(1)当时，求的值域；

(2)若且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先对化为的形式，利用的取值范围和图象求得值域；

（2）利用第一问和题干可知,进而求得，然后利用和差公式求得结果.

【详解】（1），

∵，∴，∴，

∴的值域为；

（2）∵，

∵，∴，

∴，

∴.

18．如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．

(1)求二面角的大小；

(2)已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）证明，，．分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；

（2）假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，由求出即可得．

【详解】（1）因为面，面，所以，．

,,平面，

所以平面，而平面，所以

分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．

设平面的一个法向量，

平面的一个法向量．

因为，，．

所以，取，得．所以．

因为，，，，

所以，取得，，所以．

因，

设二面角的大小为，为钝角，则，而，所以．

（2）假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，可得，，，

因为，所以，解得．

．

19．参考公式：平均值，方差.已知甲组数据的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为䓍，数据的小数部分（仅一位小数）为叶，例如第一个数据为5.3.

(1)求:甲组数据的平均值、方差、中位数；

(2)乙组数据为，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值为，方差为，求：乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算步骤.

【答案】(1)；；

(2)

【分析】（1）利用平均值、方差、中位数的定义即可求得，，；

（2）依据题给条件列出关于平均值和方差的方程，解之就求得

【详解】（1）甲组数据为，，

则甲组数据的中位数

甲组数据的平均值

甲组数据的方差

（2）由，可得

由，解得

则

20．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．

(1)求曲线C的方程；

(2)设点P、T的横坐标分别为x1，x2，证明：x1x2＝1；

(3)设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)(0，1]

【分析】（1）设椭圆的方程为，依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），推出b＝1，又椭圆的离心率为，解得a2，即可得出答案．

（2）设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y＝k(x+1)，联立椭圆的方程，解得x2，同理可得，进而可得x1⋅x2＝1．

（3）由（2）得，由，得，再计算S1，S2，结合基本不等式得S12﹣S22的取值范围．

【详解】（1）设椭圆的方程为，

依题意可得A（﹣1，0），B（1，0），所以b＝1，

因为椭圆的离心率为，

所以，即a2＝4，

所以椭圆方程为．

（2）证明：设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i＝1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），

则直线AP的方程为y＝k(x+1)，

联立方程组，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4＝0，

解得x＝﹣1或，

所以，

同理联立直线AP和双曲线可得，，

所以x1⋅x2＝1．

（3）由（2），

因为，

所以，

即，

因为点P在双曲线上，则，

所以，即，

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，

所以，

因为，

所以．

由（2）知，x1⋅x2＝1，即，

设，则1＜t≤3，则．

设f（t）＝5﹣t5﹣（t）≤5﹣4＝1，

当且仅当，即t＝2时取等号，

结合对勾函数单调性知函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减．

因为，

所以f(1)＜f(3)，

所以的取值范围为（0，1]．

21．已知函数，.

(1)求函数的极值；

(2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围；

(3)证明不等式：.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）对求导，借助的正负判断的单调性，进而求出的极值；

（2）不等式上恒成立，等价转化为，

然后分离参数得，设，求即可.

（3）由（2）知在上恒成立，令，则有，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n项和公式求证.

【详解】（1）由可得，此时单调递增；

由可得，此时单调递减；

所以当时，有极小值，极小值为，无极大值

（2）由不等式上恒成立，

得，

因为，，

所以在上恒成立                          

设，则，

由得

所以在上递减，在上递增，

所以即，

所以

（3）证明：由（2）得在上恒成立，

令，则有 ，                              

，

.

【点睛】关键点点睛：

本题（2）考察不等式恒成立问题，可以分离参数，转化为求最值问题：

本题（3）的证明需要借助（2）的结论，即在上恒成立，然后令，则有，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n项和公式求证.