2023届上海市市北中学高三上学期10月月考数学试题（解析版 ）

2023届上海市市北中学高三上学期10月月考数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则______.

【答案】

【分析】求出集合B中元素，进而可得.

【详解】,

故答案为：.

2．已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.

【答案】2

【分析】根据平均数的公式进行求解即可．

【详解】∵数据的平均数为4

∴，即.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．

3．的二项展开式中的系数为____________

【答案】

【分析】根据二项式定理计算即可.

【详解】解：展开式的通项公式为，

故当时，的二项展开式中的项为，其系数为.

故答案为：

4．已知复数z满足（为虚数单位），则___________.

【答案】

【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解.

【详解】解：由题可得，则.

故答案为：.

5．已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增的概率为__．

【答案】##0.375

【分析】利用古典概型公式计算即可．

【详解】从集合中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增，则，

所以其概率为．

故答案为：．

6．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则__________.

【答案】

【分析】首先利用向量数量积的坐标运算求出向量的夹角，再根据向量的坐标求出向量的模即可求解.

【详解】∵，，

∴，

∴，∴.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，向量模的求法，属于基础题.

7．已知函数的定义域为，对于函数定义变换：，若为做变换后的结果，则不等式的解集为______.

【答案】

【分析】易得，则，分类讨论去绝对值，解一元二次不等式即可.

【详解】由题可知，故等价于，令得，

当时，，即，解得或，故；

当时，，即，解得，此时.

综上所述，的解集为.

故答案为：.

8．如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.

【答案】

【分析】根据题设描述易知的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，即可求扫过的面积.

【详解】由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角的大小为，

∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，

∴在上扫过的面积为.

故答案为：.

9．记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则______.

【答案】1

【分析】根据函数最小正周期的范围确定，根据的图象关于点中心对称，可确定b，以及求出，结合，求得，即得函数解析式，可求得答案.

【详解】函数 的最小正周期为T，

则 由 ，得, ∴ ，

的图象关于点中心对称，∴ ，

且 ，则 ,

∴ ，由可得，

而， ，可得，

所以 ，故，

故答案为：1.

10．已知函数，当时，，则的最大值是________．

【答案】##

【分析】分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果.

【详解】令，解得：；令，解得：；

图象如下图所示，

由图象可知：，，.

故答案为：.

11．已知为奇函数，当，，且关于直线对称.设方程的正数解为，且任意的，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为______.

【答案】

【分析】根据题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得到，进而求出的最小值.

【详解】因为为奇函数，所以，且，

又关于直线对称，所以，

所以，

则，

所以函数是以4为周期的周期函数，

作出函数和的图像如图所示：

由的正数解依次为、、、、、，

则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，

所以.

所以得任意的，，

已知任意的，总存在实数，使得成立，

可得，即的最小值为.

故答案为：2.

12．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

【答案】

【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.

【详解】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：

二、单选题

13．在下列各题中，结论正确的是（    ）

A．若a＞0，b＜0，则＞0 B．若a＞b，a＜0，则＜0

C．若a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若a＞b，则a﹣b＞0

【答案】D

【分析】根据两数的符号或大小判断相应不等式是否成立即可．

【详解】A.两数相除，异号得负，故选项错误；

B.若a＞b，a＜0，则＞1，故选项错误．

C.两数相乘，同号得正，故选项错误；

D.大数减小数，一定大于0，故选项正确；

故选：D．

【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于简单题.

14．已知关于的不等式的解集是，则实数取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据一元一次不等式的解集列不等式，由此求得的值.

【详解】由于不等式的解集是，

所以.

故选：B

15．设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件.

【答案】C

【分析】先由得中只能有一个为0，假设可得点在的边BC所在直线上，满足充分性；若点在的边所在直线上，假设在AB上，容易得，必要性满足，则可得答案.

【详解】为所在平面上一点，且实数x、y、z满足

若“”，则中只能有一个为0，否则若，得，这与矛盾；

假设（不为0），可得，，

向量和共线，点在的边BC所在直线上；

若点在的边所在直线上，假设在AB上，说明向量和共线，

，

“”是“点在的边所在直线上”的充分必要条件.

故选：C.

16．设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则为递增数列

B．若，则为递增数列

C．若为递增数列，则

D．若为递增数列，则

【答案】D

【分析】结合等比数列、数列的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设等比数列的公比为，，

A选项，若，即，

，其中的符号无法判断，

所以无法判断的单调性，A选项错误，

B选项，若，即，

则可能，则，为常数列，B选项错误.

C选项，若为递增数列，则，但无法判断的单调性，C选项错误.

D选项，若为递增数列，则,,

所以，所以，故D选项正确.

故选：D

三、解答题

17．设有底面半径为1的圆柱，为圆柱的母线.

(1)若，设为的中点，求直线与圆柱上底面所成角；

(2)若过的轴截面为正方形，求圆柱的侧面积和体积.

【答案】(1).

(2)；.

【分析】（1）找到直线与底面所成的角为，求出，即可得解.

（2）求出圆柱的母线长，利用圆柱的侧面积公式和体积公式可求得结果.

【详解】（1）因为与圆柱的上底面垂直，在上底面内，故，

则直线与底面所成的角为,

又，在中， ，

故,

故直线与圆柱上底面所成角为.

（2）若圆柱的轴截面为正方形，则，

故圆柱的侧面积为 ，体积为.

18．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．

(1)证明：；

(2)求集合中元素个数．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得，即可解出．

【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．

（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．

19．某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为米，且．设（）．

(1)当，时，求的长；（结果精确到米）

(2)当时，求面积的最大值及此时的值．

【答案】(1)米

(2)当时，养殖场最大的面积为平方米

【分析】（1）在中，根据余弦定理求解即可；

（2）当时，可得，再化简可得，再根据正弦函数的最值分析即可

【详解】（1）在中，，，，由余弦定理，得，故．

因此的长约为米．

（2）连接．由题意，，，

在△中，由正弦定理，得．

于是，．当，即时，取到最大值，最大值为．因此，当时，养殖场最大的面积为平方米

20．已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)求线段MN的长度的最小值；

(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为，若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在；点的个数为2

【分析】（1）根据直线方程，求出椭圆方程的上顶点和左顶点坐标，进而求出椭圆方程；（2）设出直线AS的方程，表达出点M，N的坐标，利用基本不等式求出线段MN的长度的最小值；（3）先求出的长度，得到到直线的距离等于，利用点到直线距离得到T所在的直线方程，结合根的判别式得到点的个数.

【详解】（1），令得：，令得：，所以椭圆C的左顶点为，上顶点为，所以，故椭圆方程为.

（2）直线的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AS的方程为，从而，由，联立得：，设，则，解得：，从而，即，又，由，解得：，所以，故，又，所以，当且仅当即时等号成立，故线段MN的长度的最小值为.

（3）由第二问得：，此时，故，

要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于．其中直线SB：，即，设平行于AB的直线为，则由解得：或，

当时，，联立椭圆方程得：，由得：与椭圆方程有两个交点；

当时，，联立椭圆方程得：，由，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点的个数为2．

21．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，讨论函数在上的单调性；

(3)证明：对任意的，有．

【答案】(1)

(2)在上单调递增.

(3)证明见解析

【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；

（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；

（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.

【详解】（1）解：因为，所以，

即切点坐标为，

又，

∴切线斜率

∴切线方程为：

（2）解：因为，    

所以，

令，

则，

∴在上单调递增，

∴

∴在上恒成立，

∴在上单调递增.

（3）解：原不等式等价于，

令，，

即证，

∵，

，

由（2）知在上单调递增，

∴，

∴

∴在上单调递增，又因为，

∴，所以命题得证.