2023届四川省成都市第20中高三上学期12月考试理科数学试卷（Word版含答案）

成都市第20中2022-2023学年高三上学期12月考试

 (理科数学)

满分: 150分12月12日

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1. 已知集合, 则等于（）

A. B.C. D.

2. 在复平面内, 复数满足, 则复数对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 如图, 样本和分别取自两个不同的总体, 它们的样本平均数分别为和, 样本标准差分别为和, 样本极差分别为和, 则（）

A.B.

C.D.

4. 若, 则（）

A. B. C. D.

5. 若直线与曲线有公共点, 则的取值范围为（）

A.B.C.D.

6. 如图, 为以的直径的半圆的两个三等分点,为线段的中点,为的中点, 设, 则（）

A.B.C.D.

7. 下列命题中, 不正确的是（）

A.“若, 则” 的否命题为假命题

B.在锐角中, 不等式恒成立

C.在中, 若, 则必是等腰直角三角形

D.在中, 若, 则必是等边三角形

8. 函数, 其部分图像如图所示，下列说法正确的有（）

①;②;③是函数的极值点;

④函数在区间上单调递增;⑤函数的振幅为 1 .

A.①②④ B.②③④ C.①②⑤ D.③④⑤

9. 已知为数列的前项和, 且, 则下列式子正确的是（）

A.B.C.D.

10. 设分别为双曲线的左,右焦点, 若双曲线上存在一点使得, 且, 则该双曲线的离心率为（）

A. B.2C. D.

11. 已知函数, 若正实数满足, 则的最小值为（）

A.8 B.4 C. D.

12. 如图, 在棱长为 2 的正方体中,均为所在棱的中点, 则下列结论正确的有（）

①棱上一定存在点, 使得

②三棱锥的外接球的表面积为

③过点作正方体的截面, 则截面面积为

④设点在平面内, 且平面, 则与所成角的余弦值的最大值为

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

二填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．

13已知实数满足则的最大值为_________.

14已知平面向量若向量，则_________. (其中用坐标形式表示)

15已知的内角的对应边分别为. 若的面积为, 则的外接圆的半径为_________.

16已知为坐标原点, 抛物线上一点到焦点的距离为 4 , 设点为抛物线准线上的动点, 给出以下命题：

①若为正三角形时, 则抛物线方程为;

②若于, 则抛物线在点处的切线平分;

③若, 则抛物线方程为;

④若的最小值为, 则抛物线方程为.

其中所有正确的命题序号是_________.

三．解答题（本题共6小题，共 70 分，写清楚必要的文字说明与演算步骤）

17. (本题满分12分）设为数列的前项和, 已知.

(I) 证明：为等比数列;

(II) 求的通项公式, 并判断是否成等差数列?

18(本题满分12分）某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取 100 名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.

（1）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？

（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意任取 2 人，求至少有 1 名男生的概率．

19(本题满分12分）如图 1 , 在矩形中,是的中点, 将沿折起, 得到如图 2 所示的四棱锥, 其中平面平面.

(I) 设为的中点, 若为线段上的一点, 满足. 求证：平面;

(II) 求点到平面的距离.

20. (本题满分12分）已知椭圆的离心率为, 椭圆的下顶点和上顶点分别为, 且, 过点且斜率为的直线与椭圆交于两点.

(I) 求椭圆的标准方程;

(II) 当时, 求的面积;

(III) 求证：直线与直线的交点的纵坐标为定值.

21. (本题满分12分）已知函数,.

(1) 求函数的极值点;

(2) 若恒成立, 求的取值范围.

选做题（多做，做错均按照第一题计分）

22. (本题满分10分）如图, 在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, 极轴所在的直线为轴, 建立极坐标系, 曲线是经过极点且圆心在极轴上直径为 2 的圆, 曲线是著名的笛卡尔心形曲线, 它的极坐标方程为.

(1) 求曲线的极坐标方程, 并求曲线和曲线交点 (异于极点) 的极径;

(2) 曲线的参数方程为( 为参数). 若曲线和曲线相交于除极点以外的两点, 求线段的长度.

23. (本题满分10分）设函数的最小值为.

(1) 求;

(2) 设, 且. 求证：.

成都市第20中2022-2023学年高三上学期12月考试

(理科数学)

满分: 150分12月12日

参考答案及解析

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1.  【答案】B 【解析】集合

则.故选: .

2.  【答案】D 【解析】

在复平面内复数对应的点位于第四象限.

故选: .

3.  【答案】B 【解析】观察图形可知, 样本的数据均在之间, 样本的数据均在之间,

由平均数的计算可知, 样本极差

样本的数据波动较小, 故,

故选: B

4.  【答案】C 【解析】由题意可得：

5.  【答案】C

【解析】由题意,

曲线表示圆心, 半径为 1 的圆,

圆心到直线的距离应小于等于半径 1 ,

, 即, 解得.故选: C.

6.  【答案】A 【解析】因为为以的直径的半圆的两个三等分点，

则, 且

又为线段的中点,为的中点

故选A。

7.  【答案】C 【解析】对于, 在中,由,

利用正弦定理可得：,

或,

得或,

是等腰三角形或直角三角形,故错误;

8.  【答案】C 【解析】

根据函数的部分图像,可得振幅, 故⑤正确;

, 故①正确;

结合五点法作图, ,, 故②正确,

，令, 求得, 不是极值, 故③错误;

在区间上,, 函数没有单调性, 故④错误,

故选: .

9.  【答案】D 【解析】由, 得,

两式相减得, 即,

又, 解得

所以的首项为, 从第二项起是以为公比的等比数列,

所以,故,

选项不正确;

故,

选项错,对.

10. 【答案】A 【解析】由双曲线的定义可得,,

由,,

则有，

即有,

即有, 即,

则, 则.

11. 【答案】D 【解析】函数定义域为, 令,

因为,

所以为奇函数, 又, 所以在上单调递增,

由, 得,

所以, 即

所以, 即,

又, 则

当且仅当, 且时等号成立, 此时,

所以的最小值为. 故选: D.

12. 【答案】C 【解析】建立如图空间直角坐标系，

设, 其中,

所以

若棱上存在点, 使得, 则,

整理得, 此方程无解, ①不正确;

设的中点为, 则四边形是边长为的正方形, 其外接圆的半径为,

又底面, 所以三棱锥的外接球的半径为

所以其表面积为②正确;

过点作正方体的截面, 截面如图中六边形,

因为边长均为, 且对边平行, 所以六边形为正六边形,

其面积为, ③正确;

设, 则,

设是平面的一个法向量, 则,

令可得, 即

因为平面, 所以, 即,

设与所成角为, 则,

当时,取最小值,

所以与所成角的余弦值的最大值为④正确;

故选: .

二填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．

13.【解析】由约束条件作出可行域如图，

联立方程组解得,

令, 得,由图可知, 当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为 5故答案为: 5 .

14.【解析】因为,所以.故答案为: . 15.【解析】根据题意得, 把代入得,由余弦定理得,设的外接圆的半径为,由正弦定理得,故答案为: 2 .

16【解析】

对于①, 当为正三角形时,, 故与轴平行,到准线的距离等于, 即, 故①正确;

对于②, 设, 不妨设点在第一象限, 则,由. 得,所以抛物线在的切线的斜率,所以抛物线在处的切线方程为，，所以的中点为，显然点在直线上,即为的一条中线,又由抛物线的定义, 知, 所以为等腰三角形,所以平分; 故②正确;

对于③, 若, 则,三点共线, 且,由三角形的相似比可得, 得, 故③正确;

对于④, 设, 则关于准线对称，故,

点横坐标为,不妨设在第一象限, 则点纵坐标为,故的最小值为，解得或，由, 故, 故④正确.故答案为:①②③④.

三．解答题（本题共6小题，共 70 分，写清楚必要的文字说明与演算步骤）

17.【解析】(1) 证明: ,

是首项为 2 , 公比为 2 的等比数列.

(2) 由 (1) 知, ,

, 即成等差数列.

18.【解析】

(1) 由题可得, 男生优秀人数为人,

女生优秀人数为人;

(2) 因为样本容量与总体中的个体数的比是,

所以样本中包含男生人数为人, 女生人数为人.

设两名男生为, 三名女生为.

则从 5 人中任意选取 2 人构成的所有基本事件为:

共10 个,

记事件: “选取的 2 人中至少有一名男生”,则事件包含的基本事件有:

共 7 个.

所以.

19.【解析】(1) 证明:取的中点, 连, 则

, 当时,

则且, 则是平行四边形,.

又平面平面, 则平面

(2) 如图, 取的中点, 连接.

易证.

因为,

所以. 平面平面,

平面平面平面,

所以平面

设点到平面的距离为.

在中,, 得.

在中,.

由于, 则.

所以.

20.【解析】

解: (1) 因为, 所以, 即,

因为离心率为, 所以,

设, 则,

又, 即, 解得或(舍去)，

所以,

所以椭圆的标准方程为.

(2) 由得

所以直线与椭圆无交点,

故的面积不存在.

(3) 由题意知, 直线的方程为, 设, 则,

整理得,,

因为直线和椭圆有两个交点, 所以, 则,

设, 因为在同一条直线上,

则,

因为在同一条直线上,

则,

由于, 所以,

则交点恒在一条直线上，

故交点的纵坐标为定值

21.【解析】解: (1) 函数的定义域为,

由, 得,

当时,, 所以在上单调递增, 函数无极值点,

当时, 由, 得,当时,,当时,,

所以在上单调递增, 在上单调递减,

所以有极大值点, 无极小值点,

综上, 当时,无极值点；当时,有极大值点, 无极小值点.

(2) 因为恒成立, 即恒成立,

所以对恒成立,

令,

则,

令,

则,

所以在上单调递减,

因为,

所以由零点存在性定理可知, 存在唯一的零点, 使得,

即,

两边取对数可得,

即,

因为函数在上单调递增, 所以,

所以当时,, 当时,,

所以在上单调递增, 在上单调递减,

所以,

所以,    所以的取值范围为

选做题（多做，做错均按照第一题计分）

22.【解析】

(1) 曲线的直角坐标方程为, 即,

将代入并化简得的极坐标方程为.

由消去, 并整理得或

所求异于极点的交点的极径为.

(2) 由消去参数得曲线的普通方程为,

曲线的极坐标方程为和

由和

得曲线与曲线两交点的极坐标为,,

(O为极点).

23.【解析】

(1) 时,, 且时;

(2) 由 (1) 知,

, 当且仅当取等号.