2023届上海市光明中学高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届上海市光明中学高三上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市光明中学高三上学期期中数学试题 一、单选题1．设实数a，b，c，d满足，d＜c＜0，则下列不等式一定成立的是（    ）A．b＞a＞0 B．C．a－c＞b－d D．【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，对选项中的不等式判断正误即可．【详解】∵，∴，故A错误；∵d＜c＜0，∴，又，∴，故B错误；根据，d＜c＜0，不妨设，显然a－c=b－d，故C错误；∵，，∴，即，故D正确.故选：D2．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误；对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以B错误；对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，所以，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，即，所以D错误.故选：C.3．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得，再引入新函数，利用新函数的导数确定新函数的零点所在区间，得的范围，从而确定它们的大小．【详解】，由得，，即，，由得，，令，，恒成立，所以在递增，又，，所以在上存在唯一零点，所以，，则得，即，令，，或时，，时，，所以在和上是增函数，在上是减函数，而，，，所以在上有唯一零点，所以．综上．故选：B．【点睛】本题考查导数新定义，用导数研究方程的根，解题关键是理解新定义，对方程根的研究，通过引入新函数，利用导数确定函数的单调性，结合零点存在定理得出根（零点）的范围，从而比较大小．4．已知若，则的最大值是(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】利用数形结合，画出的图像可得为定值，再将转化为关于x的函数，最后利用求导求出的最大值.【详解】如图作出的图象，依题意，，注意到，且，因此，其中，设，当，时，当，时，因此在上单调递增，在上单调递减，则，即的最大值为故选：C.【点睛】此题为函数零点相关问题，通常需要先画出函数图像，再结合函数图像得到某一部分为定值，再求出剩余部分的取值范围即可. 二、填空题5．已知全集，集合，则__________．【答案】##【分析】根据并集、补集的定义计算可得.【详解】解：因为，，所以，又，所以；故答案为：6．已知球的表面积为4，则该球的体积为________．【答案】【分析】先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解.【详解】设球半径为，则，解得，所以【点睛】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.7．已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．【答案】【分析】设幂函数，由幂函数的图象经过点，知，由此能求出这个幂函数的解析式．【详解】设幂函数，∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴这个幂函数的解析式为．故答案为：．8．不等式的解集为__________.【答案】或【分析】写出分式不等式的等价不等式组，再解不等式组即可.【详解】因为，所以，即，等价于，解得或，所以不等式的解集为或.故答案为：或9．若，，用、表示，则______;【答案】##【分析】利用对数的运算性质化简可得结果.【详解】由题意可得.故答案为：.10．某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为，，．现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是__________．【答案】【分析】利用全概率公式可求解.【详解】记事件，，表示此人选自甲乙丙三个地区，事件：此人被录取；则，，，，．故答案为：11．一袋中装有大小与质地相同的5个红球和3个黑球，任取3球，记其中黑球数为X，则______．【答案】【分析】由题意知的可能取值，计算对应的概率值，即可写出分布列，求出数学期望值．【详解】的取值为 0，1，2，3，，，，，随机变量的概率分布为：0123 数学期望为．故答案为：12．函数的单调递减区间为________.【答案】【分析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间．【详解】对于函数，令，,求得，可得它的单调递减区间为，，，故答案为，，．【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．13．设，且，则的最小值是______.【答案】【分析】由，得，利用基本不等式可求得其最小值.【详解】因为​，所以，当且仅当，即时取等号，所以​的最小值是，故答案为：.14．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__________【答案】【分析】根据题意，将问题转化为有实数解，进而结合二次函数求解即可.【详解】解：因为关于的方程有实数解，所以方程有实数解，因为当且仅当时等号成立，所以，方程有实数解，则所以，实数的取值范围是.故答案为：15．已知奇函数对任意都有，则______.【答案】0【分析】由，两式相减得函数周期为12，即可得.分别令条件等式中，结合奇函数的性质即可得.【详解】奇函数对任意都有 ①，则 ②，①-②得，故函数的周期为12，则.由，又由为奇函数得，故，由，，故.故答案为：016．若直角坐标平面内两点满足条件：①两点分别在函数与的图象上；②关于轴对称，则称是函数与的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）．若函数与有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】作出g（x）关于y轴对称的函数h（x），令h（x）与g（x）的函数图象有2个交点即可得出a的范围．【详解】设点在上，则点所在的函数为，则与有两个交点，的图象由的图象左右平移产生，当时，，如图，所以，当左移超过个单位时，都能产生两个交点，所以的取值范围是．故答案为【点睛】本题考查函数的综合应用．由对称性得到其对称点的函数，则题目转化为图象交点个数问题．然后，本题利用函数图象移动来辅助解题，通过图象平移，观察交点个数的情况，得到答案． 三、解答题17．已知非空集合，，全集.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出集合，再求出，从而可求；（2）根据题设条件可得，从而可得关于参数的不等式组，从而可求参数的取值范围.【详解】（1）当时，，而，故故.（2）因为非空，故即.因为“”是“”的必要条件，故，故，故.18．在中，角的对边分别为.(1)求角；(2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值.【答案】(1)(2)最大值为 【分析】（1）由正弦定理化简求解，（2）由正余弦定理，面积公式与基本不等式求解【详解】（1）由正弦定理得，因为，所以，故..因为.所以，（2）根据正弦定理得，解得根据余弦定理得.由基本不等式得，即，解得，当且仅当时等号成立，此时，所以面积的最大值为.19．汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码x（）12345销量y/万辆1012172026 (1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，利用计算器求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当w为何值时，最大. 【答案】(1)；2028年(2)① 15.5万人 ② 30 【分析】（1）根据所给数据，结合线性回归的公式求解方程，再令求解即可；（2）①计算该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的频数与总人数求解即可；②根据二项分布的概率公式可得，再求导分析的最大值即可.【详解】（1）（1）解：由题意得,，，．所以，．所以关于的线性回归方程为，令，得，所以最小的整数为12，，所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．（2）解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有名，故其中购置新能源汽车的女性车主的有名．所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为．所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为．当时，，所以预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人②由题意知，，则，，当时，知所以函数单调递增，当时，知所以函数单调递减所以当取得最大值．此时，解得，所以当时，取得最大值．20．已知函数.(1)若是奇函数，求实数a的值；(2)若在上是严格增函数，求实数k的取值范围；(3)设，若对于任意的，总存在，使得或，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）可利用先求出实数a的值，再进行检验即可.（2）利用增函数的定义，任取，则有，恒成立，根据题意列出含的不等式，即可求解.（3）先将对于任意的，总存在，使得或，转化为值域与值域的并集为的问题，再对参数进行分类讨论，分别求出值域与值域，列出相应不等式即可求解.【详解】（1）因为是奇函数，所以，得，经检验，当时，是奇函数，所以.（2）任取，因为，若在上是严格增函数，所以恒成立，于是，而，所以，故实数k的取值范围为.（3）记值域为A，值域为B，由题意得，，当时，值域为R，因此对于任意的，总存在，使得；当时，值域为，值域为，所以不符合题意；当时，值域为，值域为，由题意得，，此时无解，综上，.所以实数a的取值范围为.21．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，使函数与在区间内存在“点”．【详解】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合 “S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.