2023届上海市文来高中高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届上海市文来高中高三上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市文来高中高三上学期期中数学试题 一、填空题1．设集合，．若，则实数a的值为______．【答案】0【分析】根据，得到，然后结合集合中元素的互异性可得结果.【详解】由题可知：，且所以，得或1当时，，不符合集合中元素的互异性所以故答案为：02．设函数若，则_________.【答案】3【分析】分段讨论求解即可【详解】当时，，所以不满足题意；当时，满足题意；所以；故答案为：3.3．已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则__________.【答案】4【分析】直接由数量积的定义计算即可.【详解】依题意得，，于是.故答案为：4．设和是两个不同的幂函数，集合，则集合中的元素个数最多是__________个.【答案】3【分析】根据幂函数的图象和性质即可求解.【详解】由题意可知：幂函数的形式为(其中为常数)，不同的幂函数可能的交点有：，因此取其中的横坐标，则不同的横坐标有3个，也即集合中元素的个数最多3个，例如：幂函数与有1个交点；幂函数与有2个交点和；幂函数与有3个交点和，；故答案为：3.5．某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为___________.（用数字作答）【答案】##0.8【分析】由排列组合知识求得所选3人中男女生都有的方法数及总的选取方法数后可计算概率．【详解】从6名男生和4名女生中选出3人的方法数是，所选3人中男女生都有的方法数为，所以概率为．故答案为：．6．在正方体中，为棱的中点，则与平面所成角的正切值为__________.【答案】##【分析】连接，平面得是与平面所成的角，在直角三角形计算边长可得答案.【详解】连接，在正方体中， 平面，是与平面所成的角，，，，与平面所成的角的正切值为．故答案为：．7．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．【答案】6【分析】的展开式的通项为，由题意，得，由二项式系数的性质得是二项式系数的最大值，所以的最大值为，即的最大值为6.点睛：在利用二项式定理处理问题时，要注意区分“二项式系数”和“各项系数”，二项式系数仅是通项中的组合数，而各项系数是未知数以外的常数.8．关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是________【答案】(－1,0)【分析】利用绝对值三角不等式求出的最小值，可得关于的不等式．【详解】因为所以的最小值为1，又因为关于的不等式的解集为空集所以，解得，故实数的取值范围为．【点睛】本题考查绝对值不等式的性质及绝对值三角不等式的应用，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．9．已知椭圆（）的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是________【答案】【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线联立，求出点的坐标，由此可得，进而可以求出，的长度，再由椭圆的定义即可求解．【详解】解：设，，则抛物线，直线，联立方程组，解得，，所以点的坐标为，所以，又，所以 所以，所以，则，所以抛物线的准线方程为：，故答案为：．10．设是定义在上的函数若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；④.具有性质的函数有__________个.【答案】3【分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得．【详解】①和②一样，函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如两个函数都满足，故函数满足性质；③函数为偶函数，令，，或 则，故函数满足性质；④假设存在不相等，，使得，即，则，得，这与矛盾，故函数不满足性质.故答案为：311．已知函数满足，当时，，且.若，则下列结论中正确的是__________.（填写序号）①；②；③可能为0；④可正可负.【答案】②【分析】首先判断函数关于点对称，并求时，函数的解析式，并判断函数的单调性，然后判断出，最后结合函数的单调性，即可判断.【详解】因为，所以函数关于点对称，，所以，所以时，，设，，所以，，所以两个数一个比1大，一个比1小，设，因为，所以 当时，为单调递减函数，所以，所以，因为函数关于点对称，所以，所以.故答案为：②12．已知函数图象上相邻的两个最高点为，点为之间的最低点，且，若在和上单调递增，在上单调递减，且，则的值为__________.【答案】##【分析】令可求得最高点的横坐标，则可取和，得到坐标，并由此得到点坐标，利用向量数量积的坐标运算可构造方程求得，由此可得；根据单调性可确定且为最高点，结合最高点横坐标和诱导公式可知，从而得到结果.【详解】令，解得：，即最高点为，不妨令对应的分别为和，即，；为之间的最低点，，，，，又，，，则最小正周期；在和上单调递增，在上单调递减，与分别为的相邻的最高点和最低点，，，，，又，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数性质求解函数解析式及函数值的问题；解题关键是能够根据的单调性确定分别对应函数的最高点和最低点，从而的取值及之间的关系. 二、单选题13．设，则“且”是“且”的（     ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取特殊值推导充分性，利用不等式性质推导必要性即可.【详解】充分性：当，，满足且，但且不成立，故充分性不成立；必要性：当且时，根据不等式性质得，且成立，故必要性成立.综上所述：“且”是“且”的必要不充分条件.故选：B.14．已知a，b∈，且ab≠0，则在①≥ab；②；③ab≤2；④2≤这四个不等式中，恒成立的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据题意，利用基本不等式，结合不等式的性质，对选项进行逐一分析，即可容易判断.【详解】①由a，b∈，得≥ab；②由a，b∈，得与不一定是正数，不等式不一定成立；③ab－2＝－≤0；④2－＝－≤0，故①③④恒成立，故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及用作差法比较代数式的大小，属综合基础题.15．定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一求出给定四个函数的曲径，比较后，可得答案．【详解】当y＝f（x）＝sinx时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y，故||＝sinx，当x时，||的最大值为1，即该函数的“曲径”为1，当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，故||＝3x﹣2﹣x2，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，当y＝f（x）时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，故||＝﹣x+3，当x时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2，当y＝f（x）＝x时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为yx，故||＝xxx，当x时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，故函数y＝x的曲径最小，故选：D．【点睛】本题以新定义﹣﹣函数的曲径为载体，考查了函数的图象，函数的最值，难度中档．16．已知定义域是全体实数的函数满足，且，，现定义函数，为：，其中，那么下列关于，叙述正确的是（    ）A．都是偶函数且周期为B．都是奇函数且周期为C．都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D．都不是周期函数【答案】A【分析】根据函数的新定义和奇偶性定义，周期的定义分析判断即可【详解】因为，所以，且，即的一个周期为，当时，且，当时，，所以是偶函数且周期为；同理，，所以，且，即的一个周期为，当时，．且，当时，，所以是偶函数且周期为；综上所述，选A．故选：A 三、解答题17．已知函数．（1）当时，解不等式；（2）设，且函数存在零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本题首先可根据得出，然后将不等式转化整理为，通过计算即可得出结果；（2）本题可将当时函数存在零点转化为当时方程有解，然后令，求出当时函数的值域，即可得出结果.【详解】（1）当时，，，不等式，即，整理得，，，，解得或，故原不等式的解集为.（2）当时，函数存在零点，即当时，方程有解，即当时，方程有解，令，当时，函数的值域为，故实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解法以及根据零点所在区间求参数范围，主要考查一元二次不等式的解法以及利用函数值域求参数范围，能否将当时函数存在零点转化为当时方程有解是解决本题的关键，考查转化与化归思想，是中档题.18．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2) 或.【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.再由，得，因此.而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）. 当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．20．已知，集合，,.(1)求；(2)若且，求实数的取值范围；(3)记.当时，若集合中有且仅有一个元素使得0成立，试写出满足条件的的表达式（只需写出一个即可）.【答案】(1)；(2)；(3)（答案不唯一）. 【分析】（1）根据题意，求得，再求结果即可；（2）对参数分类讨论，特别的，当时，将问题转化为的两根均为非负数，结合一元二次方程根的分布，即可求得结果；（3）求得集合，根据题意列出关于的不等式，求解即可.【详解】（1），，故.（2）因为，所以有根，且根均为非负数.当时，符合题意；当时，有解得.综上所述，实数的取值范围为.（3）.根据题意当时，，故一定有两根，又，故有一个正根，一个负根，根据题意，在集合中有且仅有一个元素使得，则，即，解得.不妨取，则（答案不唯一）.21．设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.(1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由；(2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.(可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.)【答案】(1)不具有，理由见解析；(2)证明见解析；(3)①证明见解析；②. 【分析】（1）取特殊值验证即可，如：，，，；（2）根据要证明的不等式可令，代入计算即可；（3）①对任意的、、，令，显然，令，，，然后题意即可证明；②利用①中的结论按三角形ABC的类型分类讨论可得.【详解】（1）令，，，，于是，，显然.因此函数，不具有M性质.（2）设、，且，令，显然，且，于是，即.∵函数在区间上为增函数，∴.（3）①对任意的、、，令，显然.若，则不等式中等号成立.下面考虑、、不全相等，不妨设的值最小，的值最大，于是，且.令，，，于是，且，故，从而.又，且，故，因此.综上，，其中等号当且仅当时成立.②当△为锐角三角形时，由①，得，等号当时成立；当△为直角三角形时，不妨设为直角，于是；当△为钝角三角形时，不妨设为钝角，此时，于是，由，得，于是，故.综上，的最大值为.【点睛】本题考查函数新定义，是对函数性质和不等式性质的综合应用，需要运用已知函数性质和不等式性质，并结合要证明的结论或计算的结果进行赋值运算，综合考查逻辑推理能力.