2023届上海市虹口区高三上学期11月适应性测试数学试题（解析版）

这是一份2023届上海市虹口区高三上学期11月适应性测试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市虹口区高三上学期11月适应性测试数学试题 一、单选题1．如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（    ）A．21 B．21.5 C．22 D．22.5【答案】B【分析】根据中位数的知识求得正确答案.【详解】个数据为，所以中位数为.故选：B2．已知双曲线与有共同的渐近线，则它们一定有相等的（    ）A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率【答案】D【分析】根据两双曲线有相同的渐近线，可得到，从而利用双曲线的离心率的平方可求得答案.【详解】双曲线的渐近线方程为 ，的渐近线方程为，由题意可得， 又 ，，所以 ， 又由推不出，所以推不出故选：D3．已知数列的前n项和为，若，则不可能是（    ）A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列【答案】C【分析】根据等差数列前项和、等比数列前项和公式确定正确答案.【详解】，则，若是等差数列，设其公差为，，所以，可正可负.若是等比数列，设其公比为，若，则是公比为的等比数列，满足.当时，若，则，不成立.若且，则，不成立.所以不可能是公比大于0的等比数列.故选：C4．已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】B【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求解即可【详解】因为对任意实数x均有，所以对任意实数x均有，又因为，所以只能是对任意实数x均有成立，由三角函数的图象与性质可知，必有，若，此时方程可化为，根据三角函数的周期性，此时，解得，又，所以；若，此时方程可化为，根据三角函数的周期性，此时，解得，又，所以；综上满足条件的有序实数对为，，共有2个，故选：B 二、填空题5．已知集合，，则______.【答案】##【分析】化简集合,再根据交集运算定义计算可得.【详解】不等式可化为，所以或，所以不等式的解集为，故，又，所以，故答案为：.6．设，i为虚数单位，若为纯虚数，则______.【答案】2【分析】由复数的乘法运算与纯虚数的概念求解即可【详解】因为为纯虚数，所以，解得，故答案为：27．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是______.【答案】【分析】根据空间对称的知识求得正确答案.【详解】点关于平面对称点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标相反，所以点关于平面对称的点的坐标是.故答案为：8．己知，直线，若，则与之间的距离为______.【答案】【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解即可.【详解】由得，解得，则直线，即与之间的距离为故答案为：9．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：）56  56  57  58  59  59  61  63  64  65  66  68  69  70  73  74  83据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______【答案】【分析】根据百分位数的求法求得正确答案.【详解】，数据从小到大第个数是，所以第75百分位数为故答案为：10．设a、b为实数，若关于x的方程的解集为，则______.【答案】【分析】根据根与系数关系求得正确答案.【详解】依题意，解得.故答案为：11．已知常数.在的二项展开式中，项的系数是项的系数的4倍，则______.【答案】##0.5【分析】通过展开式得出项和项的系数，利用等量关系建立方程，解方程组即可得出的值.【详解】解：由题意，在的二项展开式中，展开式为，当即时，，∴项的系数为当即时，，∴项的系数为∵项的系数是项的系数的4倍∴解得：故答案为：.12．在平面上，己知为两个不平行的单位向量，O为定点，集合，若中所有的点构成图形的面积为1，则与夹角的大小为______.【答案】或【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.【详解】设的夹角为，，依题意，在平面上，己知为两个不平行的单位向量，O为定点，集合，根据向量加法的平行四边形法则可知点的轨迹是以为邻边，且夹角为的平行四边形，所以，所以或.故答案为：或13．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.【答案】【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，在区间递减，；在区间递增，.所以的解集.故答案为：14．第14届国际数学教有大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______.【答案】##【分析】先确定随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择了连续的3天参会的基本事件数，再确定事件两位老师所选的日期恰好都不相同所包含的基本事件数，由古典概型概率公式求事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率.【详解】因为张老师在7天中随机选择连续的3天参会共有5种选法，即，，，，，所以随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择连续的3天参会的基本事件数为25，其中两位老师所选的日期恰好都不相同选法有：张老师选，李老师选或，张老师选，李老师选，张老师选，李老师选，张老师选，李老师选或，即事件两位老师所选的日期恰好都不相同包含6个基本事件，所以事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率.故答案为：.15．已知A、B、C是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为______.【答案】【分析】设的外接圆半径为，，由条件列关系式确定的关系，由此可求的最大值，由此确定的最大值.【详解】因为A、B、C是半径为1的球面上的三点，过点A、B、C作球的截面，设截面圆的圆心为，半径为，设的中点为，则，因为，所以，设，则，，又，所以，所以，因为球的半径为1，所以，所以当时，取最大值，最大值为，所以的最大值为，故答案为：.16．设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______.【答案】【分析】根据给定条件，确定m的最小值，再由函数不等式有解得当时不等式组有解，当时不等式组无解，求出a的范围作答.【详解】依题意，，由不等式有解知，，而，因此，因存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组无解，由有解得有解，于是得，解得，由无解得无解，于是得，解得，因此，所以a的取值范围是.故答案为：【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则；若，使得成立，则. 三、解答题17．设等差数列的前n项和为，且.(1)若，求的公差；(2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差.（2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得.（2）由（1）得，由于是数列中最大的项，①，所以，即即解得，由于是整数，所以的可能取值是.18．如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，相交于点O.(1)证明：直线与平面平行；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接交于，连接，通过证明四边形为平行四边形，得到，再通过线面平行的判定可得结论；（2）通过计算体积.【详解】（1）连接交于，连接，由正四棱柱得且，则四边形为平行四边形，，又平面，平面，直线与平面平行；（2）连接A1O，C1O，由已知面，面，则，又，，面，面面19．闲置房出租是增加社会住房供给量，满足人们居住需求的重要途径，王先生有一套住房以每月7000元的价格出租，但合同租期本月到期，房客直接向王先生提出希望从下月起续租三年，并愿意每月支付8000元的租金，王先生通过中介公司了解到：该房屋所在小区的类似住宅，目前的租金为每月8000-9000元，在委托中介公司后，一般2-4周左右可以找到承租人，同时每次租赁交易成功后，中介公司向出租方和承租方各收取一个月租金的50%作为中介费，对于是否同意房客续租，王先生需要作出决策.(1)除了上述了解到的情况，还有哪些因素王先生可能需要考虑？写出这些因素（不超过5个）；(2)为了简化问题，请对相关因素作出合情假设，由此帮助王先生作出决策，并说明理由.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析； 【分析】(1)结合生活实际，提出几个需要考虑的因素；(2)根据分布列及期望的知识确定不同方案的收入的期望，作出决策.【详解】（1）王先生可能需要考虑的因素有：①如果转租采用那种租借方式；②不同租房价格的可能性；③转租前对住宅的维护费用；④租房所得所需的纳税额.（2）为简化问题，提出如下假设，①王先生不考虑三年内出售该住宅，如果转租则只考虑一次性租三年；②每月租房未来三年价格基本保持不变，每月租金9000元的概率为0.25，每月租金8500元的概率为0.5，每月租金8000元的概率为0.25，③转租前对住宅的维护费用为1000元，如果转租，则转租所需时间为1个月，当年租金按11个月计算，④租房所得的税率为3%，⑤租房收入精确到个位.方案一：王先生将住房租给原房客3年，每年租房收入为(元)，方案二：王先生将住房一次性转租三年，则租房收入可能为：，，，,,,所以,因为按方案二出租所获收入的期望大于租给原房客的收入，故考虑不与原房客续租.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.(1)设，若的焦距为2，l过点，求l的方程；(2)设，若是上的一点，且，l与交于不同的两点A、B，Q为的上顶点，求面积的最大值；(3)设是l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义.用a、b、k、m表示，并利用与的大小关系，提出一个关于l与位置关系的真命题，给出该命题的证明.【答案】(1)直线l的方程为；(2)2；(3)，真命题及证明见解析. 【分析】(1)由条件求出左焦点坐标，利用点斜式求直线l的方程；(2)由条件结合椭圆定义列方程求，可得椭圆方程，再表示面积并求其最大值；(3)根据定义求，提出命题若，则直线l与椭圆相切，再通过证明直线l与椭圆有且只有一个交点完成证明.【详解】（1）设椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为，因为的焦距为2，所以，故，所以左焦点的坐标为，因为l过点，直线l的斜率为，所以直线l的方程为；（2）因为是上的一点，所以，化简可得，因为，所以，所以，，所以的方程为，因为直线l的斜率为k，在y轴上的截距，所以直线l的方程为，设，由对称性可得，因为的面积，为坐标原点， 所以，又，所以，此时直线l的斜率为0，所以面积的最大值为2；（3）因为直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m，所以直线l的方程为，则向量为直线l的一个法向量，取，因为M是l上一点，故设，设椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为，则，，由已知，，所以，提出如下命题：椭圆的左、右焦点分别为，直线l的方程为，若，则直线与椭圆相切，证明如下：联立方程，化简可得，所以，方程的判别式，因为，，所以，所以，所以，所以方程组只有一组解，所以直线与椭圆只有一个交点，所以直线与椭圆相切.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.21．已知，函数.(1)当时，求的值域；(2)若函数在区间上是严格增函数，求a的最大值；(3)设.方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求所有满足条件的u的值；若不能，说明理由.【答案】(1)的值域为；(2)a的最大值为；(3)或满足条件，理由见解析. 【分析】(1)结合二次函数性质和正弦函数的性质可求的值域；(2)由已知可得在上恒成立，通过换元及分离变量结合不等式与函数关系，可求a的最大值；(3)结合已知条件及正弦函数图象及性质可求u的值；【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，所以，所以的值域为；（2）因为，，所以，化简得，因为函数在区间上是严格增函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，则，因为，所以，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又函数在上单调递减，所以当时，取最小值，最小值为，所以，所以a的最大值为；（3）因为，，所以不等式可化为，令，则，，作函数的图象，又当时，，由图象可得当或时，方程在上没有解，方程没有解；当时，方程的解为，则，方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为，如图，则，，，所以该数列不是等差数列，当时，方程在内有两个解，设方程的解为，且，，作函数，，图象如下，方程和的正实数解按从小到大的顺序排列记为，设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，则，与矛盾，当时，方程在内有一个解，设方程的解为，且，作函数，，图象如下，方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为，设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，与矛盾，若，则方程在内的解为，所以，所以，所以方程的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为，该数列为等差数列，满足条件；当时，方程在内有两个解，，由，可得，，由，可得或，，所以方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足，，，所以，所以该数列为等差数列，综上所述，当或时，方程的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为等差数列.