2021-2022学年“皖豫名校联盟体”高三上学期第二次考试文科数学试题（解析版）

皖豫名校联盟体2022届高中毕业班第二次考试

文科数学

一、选择题

1. 已知复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知全集，集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，若的重心的横坐标为，则（     ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知，满足约束条件，则的最大值为（   ）

A  B.  C.  D.

5. 函数部分图像大致是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示，已知圆柱的底面半径为，是圆柱的一条母线，为线段的中点，且，为半圆弧的中点，则直线与所成角的正切值为（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图，坐标系中给出了函数的部分图象.已知数列的前项和为，且满足，（且），则（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 函数的部分图像如图所示，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（     ）

A.  B.

C.  D.

9. 在梯形中，，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知，且，则（     ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知四棱锥底面是边长为正方形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为（     ）

A  B.  C.  D.

12. 已知是双曲线（）的右焦点，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上的动点，则的最小值为（    ）

A  B.  C.  D.

二、填空题

13. 函数的定义域为__________.

14. 已知函数（，）的最大值为，则实数_________.

15. 在直角坐标系中，直线与圆（）相交于，两点，且，则__________.

16. 已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是_________.

三、解答题

17. 设等差数列的前项和为，已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）设各项均为正数的等比数列，其前项和为，且满足，，若，求正整数的值.

18. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

19. 如图，在长方体中，底面为正方形，，分别为线段，的中点，且，.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

20. 已知函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）若函数在上的最小值是，求实数的值.

21. 已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）判断函数的极值点和零点个数；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

22. 已知点为椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，（均与不重合），直线，分别与轴交于点，，已知点，证明：为定值.

皖豫名校联盟体2022届高中毕业班第二次考试

文科数学

一、选择题

1. 已知复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘法和除法的运算公式求.

【详解】∵ ，∴  ，

∴，

故选：B.

2. 已知全集，集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合，再根据补集的定义求，由此可得.

【详解】∵  ，，

∴  ，又，

∴  ，

故选：B.

3. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，若的重心的横坐标为，则（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，，根据重心的性质求条件可求，再结合抛物线的定义求，

【详解】∵  为抛物线的焦点，所以的坐标为，

设，，因为点，在抛物线上，由抛物线定义可得

，，∴，

又的重心的横坐标为，∴ ，

∴ ，

∴，

故选：C.

4. 已知，满足约束条件，则的最大值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象判定当直线平移到点A时，此时目标函数取得最大值，即可求解.

【详解】作出可行域，如图，

由目标函数，可得，当直线平移到点A时，此时直线在轴上的截距最大，同时目标函数取得最大值，

又由，解得，

所以目标函数的最大值为，

故选：B

5. 函数的部分图像大致是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据特殊点区分函数图象，利用排除法即可求解.

【详解】当时，，故排除BC，

当时，，显然可排除D，

故选：A

6. 如图所示，已知圆柱的底面半径为，是圆柱的一条母线，为线段的中点，且，为半圆弧的中点，则直线与所成角的正切值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】取的中点，连接，由知异面直线所成角为，由直角三角求出，即可求解.

【详解】取的中点，连接，如图，

易知在中，,

因为为半圆弧的中点，

所以在中，，

所以，

因为，

所以直线与所成角即为，

即直线与所成角的正切值为,

故选：D

7. 如图，坐标系中给出了函数的部分图象.已知数列的前项和为，且满足，（且），则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据递推关系，结合所给函数图象求出数列前几项，可知数列为周期数列，即可求解.

【详解】因为，，

所以，，

即数列是以4为周期的数列，

所以，

故选：C

8. 函数的部分图像如图所示，将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据图象所过点，结合图象求出，再由平移得到，根据正弦型函数的单调性求解即可.

【详解】由图象过点，可得，

即，

结合图象知，，即，

所以，

令,

解得，，

即函数的单调增区间为，

故选：C

9. 在梯形中，，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设梯形的高为，求得，求得，得到，在中，由余弦定理求得，即可求解.

【详解】如图所示，分别过点作和，

设梯形的高为，则，

因为，，可得，

所以，解得，

在等腰直角中，可得，

在中，由余弦定理可得

，

所以.

故选：A.

10 已知，且，则（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二倍角的正余弦公式，诱导公式，同角的基本关系化简，即可求解.

【详解】因为，

所以，即，

所以

故选：B

11. 已知四棱锥的底面是边长为正方形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】连接与交于，取的中点，连接，证得平面，证明球的球心为，求得，结合表面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，连接与交于，取的中点，连接，

因为且，可得，

又由平面平面，可得平面，

则，又，

可得球的球心为，半径，

四棱锥的外接球的表面积为.

故选：C.

12. 已知是双曲线（）的右焦点，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上的动点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由点在双曲线上，求出，再求点的坐标，根据数量积定义求，再求其最小值.

【详解】∵ 点在双曲线上，

∴ ，又

∴ ，

∴ 双曲线的方程为，

∵ 是双曲线（）的右焦点，

∴ 点的坐标为，

∴ 直线的方程为，

∴ 点的坐标为，

∴ 点为线段的中点，

∴  ,

∴ ，又，

∴ ，

∵ 为双曲线左支上的动点，由双曲线的性质可得，

∴ ，

∴ 的最小值为-40，

故选：B.

二、填空题

13. 函数的定义域为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由题知，解不等式即可得答案.

【详解】要使函数有意义，则，解得，

所以函数的定义域为，

故答案为：.

14. 已知函数（，）的最大值为，则实数_________.

【答案】16

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性可得函数（，）的最大值为等价于的最小值为3，即的最小值为9，结合基本不等式可求实数.

【详解】∵  函数在上为减函数，又数（，）的最大值为，

∴ 的最小值为3，即的最小值为9，

又由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

∴ ，∴

故答案为：16.

15. 在直角坐标系中，直线与圆（）相交于，两点，且，则__________.

【答案】##1.6

【解析】

【分析】联立直线与圆的方程，由韦达定理求出，结合，

化简求解即可.

【详解】设，

联立，

消元得，

当时，

，

因为，

所以，

解得.

此时，满足成立,

故答案为：

16. 已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】在作函数的图象和直线的图象，由图象研究方程的解得个数，在时方程可化为，由图象研究方程的解得个数，由此确定实数的取值范围.

【详解】当时，方程可化为，

设，则，∴ ，

所以函数在时的切线方程为，

作函数与直线的图象，

由图象可得，

当或时，函数与直线有且只有一个交点，即方程在上有一个根，

当时，函数与直线有两个交点，即方程在上有两个根，

当时，方程可化为，即

设，

作函数的图象，

由图象可得，

或时，直线的图象与有两个交点，即方程

方程在上有两个根，

当时，直线的图象与有三个交点，即方程

方程在上有三个根，

当或时，直线的图象与有一个交点，即方程

方程在上有一个根，

当时，直线的图象与没有交点，即方程

方程在上没有根，

综上，当且仅当时，方程有四个根，

所以实数的取值范围是，

故答案为：

三、解答题

17. 设等差数列的前项和为，已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）设各项均为正数的等比数列，其前项和为，且满足，，若，求正整数的值.

【答案】（1）   

（2）29

【解析】

【分析】（1）根据前n项和的意义及等差数列的通项公式列出方程求解即可；

（2）根据等比数列的通项公式，前n项和公式联立方程求解.

【小问1详解】

因为，

所以，

设等差数列的公差为d，则，

解得，

故.

【小问2详解】

设的公比为，

则得，

解得或（舍去）

所以由，得 解得，

所以正整数的值为29.

18. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）   

（2）的面积为.

【解析】

【分析】(1)由正弦定理可化为,

由余弦定理可得，解方程可求角的大小；(2)由余弦定理结合已知条件可求，，，再由三角形面积公式求面积.

【小问1详解】

设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，，，

又，

∴ ，由余弦定理可得，

∴ ，∴  ，

∴ 或(舍去)，又为锐角三角形，

∴ ，

【小问2详解】

由(1)可得，又，，

∴ ，，，又的面积，

∴ ，

∴ 的面积为.

19. 如图，在长方体中，底面为正方形，，分别为线段，的中点，且，.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）在直角中，求得，由为的中点，得到，又由平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面.

（2）因为为的中点，则点到平面的距离等于点平面距离的一半，连接，由，即可求解.

【小问1详解】

证明：在长方体中，底面为正方形，，分别为线段，的中点，且，，

在直角中，，可得，

因为，且为的中点，所以，

又由平面，且平面，所以，

因为，且平面，所以平面.

【小问2详解】

解：因为为的中点，则点到平面的距离等于点平面距离的一半，

连接，可得，

所以，

在直角中，，可得，

在直角中，，可得，

在等腰中，，所以，

又由，可得，解得，

所以点到平面的距离.

20. 已知函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）若函数在上最小值是，求实数的值.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求得，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；

（2）由（1）知，当时，不符合题意；当时，分、和三种情况讨论，结合函数的单调性和，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，函数的定义域为，可得，

当时，可得，单调递增，此时函数的无极值；

当时，令，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.

综上所述，当时，函数无极值；

当时，函数的极小值为，无极大值.

【小问2详解】

由（1）知，当时，单调递增，可得，即（舍去）；

当时，函数上单调递减，上单调递增，

若时，即时，函数在上单调递增，

所以，解得（舍去）

若时，即时，函数在上单调递减，

可得，解得（舍去），

若时，即时，在上单调递减，在上单调递增，

可得，即，解得，

综上可得，实数的值为.

21. 已知函数.

（1）求曲线在处切线方程；

（2）判断函数的极值点和零点个数；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）;   

（2）1,1;    （3）.

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式可得切线方程；

（2）利用导数求出函数的单调区间判断增减性即可求出函数的极值，再结合增减性及特殊值可求函数零点；

（3）原不等式转化为恒成立，利用导数求函数的最大值即可求解.

【小问1详解】

函数定义域为，

因为，

所以曲线在处的切线方程为，

即.

【小问2详解】

由（1）知，当时单调递增,

当时单调递减，

所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，

所以函数的极值点只有1个，

因为, 当时,

当时，

所以 只有一个零点.

【小问3详解】

要使恒成立，即恒成立，

令，则.

当时，， 单调递增，

当时，，单调递减，

所以在时取得极大值也是最大值，，

要使恒成立，则,

即实数k的取值范围是.

22. 已知点为椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，（均与不重合），直线，分别与轴交于点，，已知点，证明：为定值.

【答案】（1）   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据三角形面积可求出，再由点在椭圆上，即可求出，得椭圆方程；

（2）先验证直线斜率为0时，满足题意，当斜率不为0时设l的方程为，联立方程，求出根与系数的关系，表示出D、E的坐标，计算，化简运算后即可求出定值.

【小问1详解】

由点为C上一点，得①.

因为的面积为 ，

所以，，

所以，则②.

由①②，联立解得，

故C的标准方程为.

【小问2详解】

由题易知直线l的斜率存在.

当直线l的斜率为0时,直线l的方程为，

此时或，.

当直线l的斜率不为0时,设l的方程为，

由消去x得，

由，得，

且.

当直线AP的斜率不存在时，可得P(4, -2)，此时m=1，不符合题意，

同理AQ的斜率也存在，

故直线AP的方程为，则, 即，

同理,

则

,

故为定值1.