2022-2023学年安徽省六安第一中学高三上学期第四次月考数学试题（word版）

这是一份2022-2023学年安徽省六安第一中学高三上学期第四次月考数学试题（word版），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知空间中的两个不同的平面，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A． B．
C．8 D．
4．如图，已知是正方体，以下结论错误的是（ ）
A．向量与向量的夹角为60°
B．
C．
D．若，则点是的中心
5．若不等式的解集为区间，且，则（ ）
A． B． C． D．2
6．过点作圆的切线，直线与切线平行，则切线与直线间的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．如图，已知平面，，是直线上的两点，是平面内的两点，且．是平面上的一动点，且直线与平面所成角相等，则四棱锥体积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
8．在正四棱台中，，当该正四棱台的体积最大时，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为
B．三棱锥中，分别为的中点，，则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即
C．若直线l过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程为
D．在四面体中，若，则
10．在三棱锥中，已知底面ABC，分别是线段上的动点．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，一定为直角三角形
C．当时，平面平面
D．当平面AEF时，平面与平面不可能垂直
11．已知正方体的棱长为2，为线段的中点，，其中
，，则下列选项正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，的最小值为
C．当时，直线与平面的交点轨迹长度为
D．当时，点到平面的距离为
12．若实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是0
B．的最大值是5
C．若关于的方程有一解，则的取值范围为
D．若关于的方程有两解，则的取值范围为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与圆分别交于M、N两点. 则弦MN长的最小值为
.
14．在四面体中，，且异面直线与所成的角为60，分别是棱的中点，则线段MN的长为 ．
15．已知的一条内角平分线所在的直线方程为，两个顶点坐标分别为，则边所在的直线方程为 ．（结果用一般式表示）
16．已知数列满足：，若，则数列的前20项和 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分10分）
如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18、（本小题满分12分）
如图，为内的一点，记为，记为，且、在中的对边分别记为.
（1）求；
（2）若，求线段和的长．
19、（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点．
（1）若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；
（2）圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由．
20、（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，求证：．
21、（本小题满分12分）
在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．如图，在五面体中，已知 ，，且．
（1）设平面与平面的交线为，证明：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
22、（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若与的图象有公共点．
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
六安一中2023届高三年级第四次月考
数学参考答案
一．选择题
填空题
13、4 14、1或 15、 16、
17、证明：（1）由题意可知，解得 分
在中，
所以，又因为是的中点，所以
因为是圆的直径，所以，由已知得，平面
所以，所以平面， 分
从而平面，证得. 分
（2）过作，则面 分
连接，则就是直线与平面所成的角 分
， 分
. 分
18、解：（1）由题知
， 分
，. 分
（2）在中，由余弦定理得知：
分
又，且 分
又， 分
在中，
. 分
19、解：（1）若的斜率不存在时，，此时符合要求. 分
当的斜率存在时，设的斜率为，则令
， 分
分
所以直线的方程为或. 分
（2）假设圆上存在点，设，则，
， 分
即，即， 分
， 分
与相交，则点有两个． 分
20、（1）证明：令，得. 1分
所以时， ①
②
①-②得，
即 3分
所以，，因为，
所以数列是以1为首项为公差的等差数列． 5分
所以，所以. 6分
（2）由 8分
所以
10分
因为，所以，得证. 分
21、证明:（1），平面 分
又平面且平面平面， 分
又平面，平面，平面. 分
（2）若选①，取中点，中点中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
，又，，，，
又，，又，，平面，
平面，平面，平面平面，
，，又平面，平面平面，
平面，又，，； 5分
若选②，，，，平面，
平面，平面，平面平面，
取中点，中点，连接，
，，又平面，平面平面，
平面，又，，； 5分
若选③，取中点，中点，连接，
，，又，；
分别为中点，，又，，
四边形为平行四边形，；
，，，，，
，，，
，又，，又，，平面，
平面，平面，平面平面，
又，平面，平面平面，
平面，又，，； 5分
综上所述：两两互相垂直.
则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
平面，平面的一个法向量； 6分
设平面的法向量，则，
令，解得：，，， 7分
，即，平面与平面. 8分
（3）设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于
，由（2）得：，，
设平面的法向量，则，令，
则， 9分
∵面的法向量为
，
化简得，
∴方程无解 11分
线段以上不存在点F，使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于. 分
22、解：（1），故， 分
而，曲线在点处的切线方程为， 分
即. 分
（2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解，设，故，
故在上有解，设，故在上有零点，分
而，
若，则恒成立，此时在上无零点， 分
若，则在上恒成立，故在上为增函数， 分
而，，故在上无零点，
故，设，则，故在上为增函数，
而，，故在上存在唯一零点，
且时，；时，；故时，；时，；
所以在上为减函数，在上为增函数，故， 分
因为在上有零点，故，故，而，故即，设，则，故在上为增函数，
而，故. 8分
另解：
令，所以，.
当时，，即在上是单调递减的；
当时，，即在上是单调递增的；
因为，所以有，解得.
（ii）因为曲线和有公共点，所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故.故，考虑直线，表示原点与直线上的动点之间的距离，故，所以， 9分
下证：对任意，总有，
证明：当时，有，故成立.
当时，即证，
设，则（不恒为零），
故在上为减函数，故即成立.
综上，成立. 10分
下证：当时，恒成立，，则，
故在上为增函数，故即恒成立. 分
下证：在上恒成立，即证：，
即证：，即证：，而，故成立.
故，即成立. 12分
第二问另证：方法一：柯西不等式：令交点横坐标为，则
由柯西不等式：.
即证：，因为，原命题得证.
方法二：基本不等式：令交点横坐标为，则，
则由基本不等式，
因此有：，原命题得证.
答案仅供参考，请各位老师按步骤给分！其它解法请酌情给分！1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
D
A
C
A
B
D
BD
ACD
ABD
AB