2022-2023学年北京市人大附高高三上学期12月统测四数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市人大附高高三上学期12月统测四数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共50分，每小题5分）
1．（5分）若复数z满足z＝3i+4，则||＝（ ）
A．3B．4C．5D．7
2．（5分）已知向量，若，则＝（ ）
A．B．C．D．20
3．（5分）曲线y＝x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
4．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，给出以下条件，其中一定可以推出{an}为等比数列的条件是（ ）
A．Sn＝2an﹣1B．Sn＝2n+1
C．an+1＝2anD．{Sn}是等比数列
5．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（ ）
A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）
6．（5分）设P为双曲线x2﹣＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF2|＝3：2，则△PF1F2的面积为（ ）
A．B．12C．D．24
7．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+a，g（x）＝ax+5﹣a，若对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣9]B．[﹣9，3]
C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣9]∪[3，+∞）
8．（5分）平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线．若平面上到两条直线，y＝0的距离之和为3的点P的轨迹为曲线C，则曲线C围成的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）设集合，集合N＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2＝r2}（r＞0），当M∩N＝∅时，则r的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”，则下列命题中：
①若A（﹣1，3），B（1，0），则有d（A，B）＝5；
②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆；
③若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）＝d（A，B）；
④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x＝0．
真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共25分，每小题5分）
11．（5分）已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0关于直线4x+2y﹣5＝0对称，则圆C的方程为 ．
12．（5分）圆O1：x2+y2﹣1＝0与圆O2：x2+y2﹣4x＝0的公切线方程为 ．
13．（5分）经过点P（﹣1，2）作直线l交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，则直线l的方程为 ．
14．（5分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为x2+y2＝7，则椭圆C的离心率为 ．
15．（5分）已知曲线C1：y＝ex，抛物线C2：y2＝4x，P（xP，yP）为曲线C1上一动点，Q（xQ，yQ）为抛物线C2上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有 ．
①直线l：y＝x+1是曲线C1和C2的公切线；
②曲线C1和C2的公切线有且仅有一条；
③|PQ|+xQ最小值为；
④当PQ∥x轴时，|PQ|最小值为．
三、解答题（共25分）
16．（12分）设函数f（x）＝ln（2x+3）+x2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[﹣，]的最大值和最小值．
17．（13分）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线x＝﹣2于点Q，求的最小值．
北京市人大附高2022-2023学年高三上学期12月统测四
数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共50分，每小题5分）
1．（5分）若复数z满足z＝3i+4，则||＝（ ）
A．3B．4C．5D．7
选：C．
2．（5分）已知向量，若，则＝（ ）
A．B．C．D．20
选：B．
3．（5分）曲线y＝x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
选：B．
4．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，给出以下条件，其中一定可以推出{an}为等比数列的条件是（ ）
A．Sn＝2an﹣1B．Sn＝2n+1
C．an+1＝2anD．{Sn}是等比数列
选：A．
5．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（ ）
A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）
选：C．
6．（5分）设P为双曲线x2﹣＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF2|＝3：2，则△PF1F2的面积为（ ）
A．B．12C．D．24
选：B．
7．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+a，g（x）＝ax+5﹣a，若对任意的x1∈[﹣1，3]，总存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣9]B．[﹣9，3]
C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣9]∪[3，+∞）
选：D．
8．（5分）平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线．若平面上到两条直线，y＝0的距离之和为3的点P的轨迹为曲线C，则曲线C围成的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
选：C．
9．（5分）设集合，集合N＝{（x，y）|（x+3）2+（y﹣3）2＝r2}（r＞0），当M∩N＝∅时，则r的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
选：C．
10．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”，则下列命题中：
①若A（﹣1，3），B（1，0），则有d（A，B）＝5；
②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆；
③若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）＝d（A，B）；
④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x＝0．
真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
选：C．
二、填空题（共25分，每小题5分）
11．（5分）已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0关于直线4x+2y﹣5＝0对称，则圆C的方程为 x2+y2＝2 ．
答案为：x2+y2＝2．
12．（5分）圆O1：x2+y2﹣1＝0与圆O2：x2+y2﹣4x＝0的公切线方程为 或 ．
答案为：或．
13．（5分）经过点P（﹣1，2）作直线l交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，则直线l的方程为 3x﹣8y+19＝0 ．
答案为：3x﹣8y+19＝0．
14．（5分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为x2+y2＝7，则椭圆C的离心率为 ．
答案为：．
15．（5分）已知曲线C1：y＝ex，抛物线C2：y2＝4x，P（xP，yP）为曲线C1上一动点，Q（xQ，yQ）为抛物线C2上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有 ①③④． ．
①直线l：y＝x+1是曲线C1和C2的公切线；
②曲线C1和C2的公切线有且仅有一条；
③|PQ|+xQ最小值为；
④当PQ∥x轴时，|PQ|最小值为．
答案为：①③④．
三、解答题（共25分）
16．（12分）设函数f（x）＝ln（2x+3）+x2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[﹣，]的最大值和最小值．
【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f′（x）＝0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；
（2）根据（1）知f（x）在区间[﹣，]的最小值为f（﹣）求出得到函数的最小值，又因为f（﹣）﹣f（）＜0，得到
f（x）在区间[﹣，]的最大值为f（）求出得到函数的最大值．
【解答】解：f（x）的定义域为（﹣，+∞）
（1）f′（x）＝+2x＝
当﹣＜x＜﹣1时，f′（x）＞0；
当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0；
当x＞﹣时，f′（x）＞0
从而，f（x）在区间（﹣，﹣1），（﹣，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，﹣）上单调递减
（2）由（1）知f（x）在区间[﹣，]的最小值为f（﹣）＝ln2+
又f（﹣）﹣f（）＝ln+﹣ln﹣
＝ln+＝（1﹣ln）＜0
所以f（x）在区间[﹣，]的最大值为f（）＝+ln．
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数在闭区间上极值的能力．
17．（13分）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线x＝﹣2于点Q，求的最小值．
【分析】（1）待定系数法即可求解椭圆方程；
（2）考虑直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出|MN|，再表达出直线PQ的方程，表达出|PQ|，用基本不等式求解最小值，与比较大小，求出最小值．
【解答】解：（1）由题意得：，解得：a2＝2，b2＝1，
所以椭圆方程为．
（2）由（1）知：F（1，0），
当直线l的斜率不存在时，P（1，0），Q（﹣2，0），，
此时，
当直线l的斜率存在时，故可设直线为y＝k（x﹣1），
联立椭圆方程得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
其中Δ＝8k2+8＞0，
所以，
其中，
所以，
因为直线PQ为线段MN的垂直平分线，
所以直线PQ：，
令x＝﹣2得：，
所以，
故，
因为，
所以，
当且仅当，即k2＝1，k＝±1时等号成立，
所以，
因为，所以的最小值为2．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．