2022-2023学年江苏省南京市外国语学校等四校高三上学期12月联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市外国语学校等四校高三上学期12月联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市外国语学校等四校高三上学期12月联考数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．若集合，，则（    ）A． B．C．  D．2．若，则的实部为（    ）A．1 B．2 C．3 D．103．打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（    ）A． B． C． D．4．若函数在恰好存在两个零点和两个极值点，则（    ）A． B． C． D．5．已知点P在椭圆上，点Q在圆，其中c为椭圆C的半焦距，若的最大值恰好等于椭圆C的长轴长，则椭圆C的离心率为（    ）A． B． C． D．6．在△ABC中，若向量在上的投影向量为，则的最大值为（    ）A． B． C． D．7．设，，，则（    ）A． B． C． D．8．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧面△PAD为正三角形，则其外接球体积最小值为（    ）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）9．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ）A．  B．向量，夹角的最小值为C．内角A的最大值为  D．△ABC面积的最小值为10．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则（    ）A．  B．BE与所成的角为C．四面体的体积为 D．与平面所成的角为11．已知O为坐标原点，直线与抛物线相交于，两点，且△AOB的面积为，则（    ）A．B．AB的中点到y轴的距离为3C．点满足D．过点作C的切线，切点为M，N，则O与直线MN距离的最小值为112．已知函数是定义域为R的可导函数，．若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（    ）A．B．曲线在点处的切线的倾斜角为C．是周期函数（是的导函数）D．的图象关于点中心对称三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．14．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题的一般描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的结论是：当且仅当△ABC的外接圆与OM相切于点C时，∠ACB最大．人们称这一命题为米勒定理．已知，，，则∠ACB最大时，______．15．已知函数的定义域R，，，且．若数列是首项为0，公差为2的等差数列，则______．16．已知函数，，若与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，则实数a的取值范围为______．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前20项和．18．随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线．某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取300人进行调查，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于5小时周平均锻炼时间不少于5小时合计50岁以下12010022050岁以上（含50）305080合计150150300（1）运用独立性检验的思想方法判断：是否有99%以上的把握认为，周平均锻炼时长与年龄有关联？并说明理由．（2）现从20岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层抽样法抽取8人做进行一步访谈，最后再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷．记抽取3人中周平均锻炼时间是不少于5小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82819．记锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求角A的大小；（2）若，求BC边上的高的取值范围．20．如图1，梯形ABCD中，，，，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B至点P，且使平面PAC⊥平面ACD，如图2．（1）求证：PA⊥CD；（2）连接PD，当四面体PACD体积最大时，求二面角C－PA－D的大小．21．已知函数在是减函数．（1）求实数a的取值范围；（2）记，当时，①求证：在区间内存在唯一极值点（记为）；②求证：．22．已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三个点中有且仅有两点在双曲线C上．（1）求双曲线C的标准方程；（2）直线l交双曲线C于y轴右侧两个不同点的E，F，连接DE，DF分别交直线AB于点G，H．若直线DE与直线DF的斜率互为相反数，证明：为定值．        参考答案一、单项选择题1．【答案】D【解析】，所以，即，所以2．【答案】C【解析】，所以3．【答案】A【解析】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为x＋7，由相似得，即x＝4.9，所以羽毛所在曲面面积4．【答案】B【解析】设，对于的图象要满足题意则需，解得5．【答案】D【解析】，当且仅当，时取等，所以，即6．【答案】C【解析】设，上的高为y，则，，所以，当且仅当时取等，故7．【答案】B【解析】易知，且，故只需比b与c大小，此时由根号和c中分母4联想二倍角公式，因此要比b和c大小，即比较和大小，而明显，所以8．【答案】C【解析】设球心为O，正方形中心为Q，正三角形的中心为G，设外接球半径为r，，，则由球的性质得，所以，即外接球体积最小值为二、多项选择题9．【答案】AC【解析】，故A对；，当且仅当时取等，所以，即，故B错，C对；，故D错10．【答案】ACD【解析】以为基底建立空间直角坐标系，易得，，，，，所以，，故A对；所以，，故B错；易得面的一个法向量为，所以E到面的距离，所以四面体的体积，故C对；易得面的一个法向量为，所以，故D对11．【答案】BC【解析】联立直线方程与抛物线方程得，由已知得，即所以，故A错；所以AB中点纵坐标为，即横坐标，故B对；，故C对；设，，设，由相切可得直线与抛物线联立后判别式为0，化简得，即，又因为在直线上，所以有，同理可得，两式联立消得：（注：此时有二级结论：切点弦过抛物线焦点）所以，即O到直线MN距离，故D错12．【答案】BCD【解析】由题意有，，令，有，所以，故A错；，令得，故B对；为奇函数，即，又因为，所以，即，故C对；因为，，所以，即关于对称，所以关于对称，故D对三、填空题13．【答案】【解析】，当且仅当时取等14．【答案】【解析】由题意得∠ACB最大时，△ABC的外接圆与x轴相切，且C为切点，此时圆心G横坐标为a，且圆心G在线段AB的垂直平分线上，即圆心，半径r为，因为，解得15．【答案】1023【解析】，令得，令得，即，所以，…因此16．【答案】【解析】由题意得方程有且仅有两解，而，即与图象有两个交点，求导易得在单调递减，在单调递增，且两边趋向正无穷，所以要满足题意则四、解答题17．【解析】（1）由题意，时，，令有所以，时有，两式相减得：，时，因为，所以，即是首项为1，公差为1的等差数列，所以；（2）由（1）得，所以18．【解析】（1）答：有99%以上的把握认为周平均锻炼时长与年龄有关；（2）由题意得8人样本中有3人周平均锻炼时长少于5小时，有5人周平均锻炼时长不少于5小时．X的可能取值为0，1，2，3，则，，，X的分布列为X0123P所以19．【解析】（1）因为，所以．（2）设BC边上高为h，垂足为H，设，则，所以，，由（1）得，所以，因为，所以，即，所以20．【解析】（1）设AC中点为M，因为，所以PM⊥AC，因为PM⊥AC，面PAC⊥面ACD，面PAC，面面，所以PM⊥面ACD，又因为面ACD，所以PM⊥CD；（2）由（1）可得CD⊥面PAC，设AD中点为N，以M为原点，MC所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，MP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，由已知，，设，则，即当时体积最大，此时，，，，面PAC的一个法向量为，设面PDA的法向量为，则，令，由所以，即二面角C－PA－D的大小为．21．【解析】（1）由题意得时，恒成立，且导函数无连续零点，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以要满足题意则，即；（2）①时因为，所以，即在区间上单调递减，又有所以在区间上单调递减，又因为所以存在满足，即题意得证；②要证：，即证：，即证，即证，即证，即证因为，所以，，即成立，所以得证．22．【解析】（1）由题意A，B不可能同时在双曲线上，若A，D在双曲线上，则，解得双曲线方程为：；若B，D在双曲线上，则，此方程组无解，舍；综上所述，双曲线C的标准方程为；（2）设，，直线EF斜率不存在时不满足题意，设由题意，所以，即，化简得代入韦达定理得，即，当时，，过，与已知矛盾，舍；所以，此时，所以△DEF和△DGH相似，即，所以要证为定值，即证为定值，即证为定值因为，所以．