2023届湖北省襄阳市老河口市高三上学期期末模拟数学试题（解析版）

这是一份2023届湖北省襄阳市老河口市高三上学期期末模拟数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖北省襄阳市老河口市高三上学期期末模拟数学试题 一、单选题1．已知全集，，是的非空子集，且，则必有（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据全集、补集和子集的定义，作出Venn图，即可得到答案.【详解】全集，，是的非空子集，且，作出Venn图，如图所示，所以，即可得到，正确；B. ，错误；C. ，错误；D. ，错误.故选：．【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，其中解答中根据题意作出，得出集合之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．若复数z满足（i为虚数单位），为z的共轭复数，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】设且，根据题设复数相等及复数的乘法运算求a、b，进而写出，即可求模长.【详解】令且，则，所以，故，所以.故选：C3．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（      ）A．80种 B．120种 C．130种 D．140种【答案】D【分析】分夫妻只选一人，两人全选两种情况计算，夫妻全选时，先用用捆绑法求解.【详解】若夫妻中只选一人，则有种不同的方案；若夫妻二人全选，则有中不同方案，故总计有140种不同方案，故选：D.4．已知，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】观察角与角之间的关系，利用诱导公式可得.【详解】.故选：B5．已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则，则由条件可得，由勾股定理可得，从而得出的最小值，得出答案.【详解】设圆锥的底半径为，母线为，高为，则 由圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则，即 又，所以，解得由，则当，即时，最小值 则圆锥的侧面积为 故选：C6．计算（    ）A．1 B．﹣1 C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式、三角恒等变换、二倍角公式可得结果，尽可能地化简为同角的三角函数值【详解】故选：B7．已知正项等比数列的前项和为，，且数列的前项和为，若对于一切正整数都有，则数列的公比的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题首先可设，通过排除这种情况，再然后设，通过等比数列的求和公式即可得出、，最后根据、、即可得出结果.【详解】因为等比数列是正项等比数列，所以，，若，则，，，不满足题意；若，则，，，，因为，，所以若，则，，，故数列的公比的取值范围为，故选：B.8．若函数为定义在R上的奇函数，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B．C．（0，2） D．【答案】D【分析】令，则由已知可得在上单调递增，而，从而将原不等式转化为，得，再利用为奇函数讨论的情况，进而可求得解集【详解】令，则，因为，当时，，所以当时，，所以在上单调递增，因为为定义在R上的奇函数，所以，所以，所以不等式转化为，因为在上单调递增，所以，所以当时，，因为为定义在R上的奇函数，所以当时，不满足，综上，不等式的解集为故选：D 二、多选题9．已知等差数列的前n项和为，且，，，则（    ）A．数列是递增数列 B．C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14【答案】BCD【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果.【详解】等差数列中，，，，，公差，数列是递减数列，A错误 ，，B正确.，数列是递减数列，当时，最大,C正确.,,.当时，n的最大值为14,D正确.故选:BCD.10．已知函数的零点为，则（    ）A．的值为5 B．的值为4C． D．【答案】AD【分析】由函数的零点为，得到，变形为，由为增函数，得到判断AB，再结合零点存在定理判断CD。【详解】∵，∴，∴．令为增函数，∴由，得，∴．∴．由，，又由，，有，则.故选：AD11．若10a＝4，10b＝25，则（    ）A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＜lg6【答案】AC【分析】由指对互化求出，进而利用对数的运算法则求出a+b和b﹣a的值，可判断ABD，且，可判断C.【详解】解：∵，∴，∴，所以选项A正确；，选项BD错误；所以C正确.故选：AC.12．正方体的棱长为2，且（），过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点，下列说法正确的是（    ）A．平面B．四边形的面积的最大值为C．若四边形的面积为，则D．若，则四棱锥的体积为【答案】BD【分析】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出四边形的面积，依据相应条件分别对选项A，B，C，D进行计算，进而可判断A，B，C，D的正确性．【详解】解：因为与不垂直，所以与平面不垂直，故选项A不正确；如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，，0，，，2，．因为，所以，，．因为平面，所以，则，，，，，．若平面，则，即，0，，，，，；若平面，则，即，，，，2，，．因为，所以四边形的面积，当时，四边形的面积最大，且最大值为，点到直线的距离为，即点到平面的距离为，所以四棱锥的体积，故选项B正确，选项D正确．若四边形的面积为，则或，解得或，故选项C不正确，故选：BD． 三、填空题13．已知函数的单调递增区间为，则_____________．【答案】【分析】先求函数定义域得或，再根据复合函数的单调性求解即可.【详解】解：由题知，解得或，所以函数的定义域为或，因为函数在时单调递增，在时单调递减，函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为，故故答案为：14．一个盒子内装有形状大小完全相同的个小球，其中个红球个白球.如果不放回依次抽取个球，则在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率为___________.【答案】##【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件第一次抽到红球，记事件第二次抽到红球，则，，因此，所求概率为.故答案为：.15．函数的最小值为______．【答案】1【分析】分类讨论，去掉绝对值，利用导函数研究函数单调性和极值，进而求出最小值.【详解】当时，，此时，，令得：，令得：，故此时在处取得最小值，；当时，，此时，此时在单调递减，且；综上：函数的最小值为1.故答案为：116．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.【答案】##-0.25【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解.【详解】因为函数在上单调递减，所以，，则，又因为函数在上的最大值为，所以，即，所以.故答案为： 四、解答题17．已知是数列的前n项和，，且．(1)证明：为常数列；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由已知得，即，利用与的关系化简可得化简即可得出结果.（2）由（1）可得，化简可知，通过裂项求和可得出结果.【详解】（1）由已知得，即，时，由，，两式相减得，则，又于是为常数列．（2）由（1）得．则，故．18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角C；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.(2) 由正弦定理边化角，再由三角函数求最值.【详解】（1）由已知及正弦定理得，即，由余弦定理得，可得．（2）根据正弦定理得，又，则故，则的取值范围是．19．某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示：1515 （1）从①；②；③三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？结果保留到万元参考数据：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】（1）选择回归类型更好；（2）；（3）下一年应至少投入万元广告费用．【分析】（1）根据散点图形状可确定回归类型；（2）对两边取对数，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；（3）令可解出的范围，进而确定结果.【详解】（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型更好．（1）对两边取对数，得：，即，由表中数据得：，，，年广告费用和年利润额的回归方程为．（3）由（2）知：，令得：，解得：，，（十万元），十万元万元下一年应至少投入万元广告费用．20．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点..(1)证明：平面平面；(2)若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1) 根据等腰三角形三线合一，可证明，，再根据线面垂直判定定理证明平面.，由此可证明平面平面；(2) 根据题意，点在平面内的射影在射线上，再根据锥体体积公式可知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求二面角的正弦值.【详解】（1）证明：∵，D为AC中点，∴.又为等边三角形，，∴.∵，BD，平面PDB，∴平面PDB.∵平面PAC，∴平面平面.（2）∵为正三角形，，∴  的面积为，设三棱锥的底面上的高为，，作于O，由(1)平面,所以，又，所以，所以O是DB的中点，记的中点为，以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，∴，，设是平面PAB的一个法向量,取设是平面PBC的一个法向量取，设二面角的平面角为，则.21．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．(1)求椭圆的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由，设椭圆的方程为，且，根据两个椭圆“相似椭圆”，求得，即可求解；（2）不妨设，代入，求得，把代入椭圆，求得，结合，即可求解.【详解】（1）解：由椭圆的离心率为，设椭圆的方程为，且，因为两个椭圆“相似椭圆”，可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）证明：不妨设，其中，则，可得，把代入椭圆，可得，所以，所以，所以所以.22．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个不大于的极值点，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求解函数导函数，分别讨论，和三种情况下对应的单调性；（2）由题意得，将不等式转化为证明，令新函数，利用二次求导法，判断函数的单调性，求解最小值，从而证明得.【详解】（1） 定义域为R，由得当时，，此时在上单调递增；在上单调递减．当时，令，即，，因为，所以．令，则或，即在和上单调递增．令，则，即在上单调减．当时，令，即．因为，所以，令，则或，即在和上单调递增．令，则，即在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增；在上单调递减．当时，在和上单调递增，在上单调递减．当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）因为函数有两个不大于的极值点，由（1）知，因为且，所以，所以要证明，只要证明，即要证明，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，因为，，所以在上有唯一零点，设为，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以．因为，即，即，所以所以，所以原不等式成立．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．