2023届湖南省常德市五校联盟高三上学期第一次考试数学试题（解析版）

这是一份2023届湖南省常德市五校联盟高三上学期第一次考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖南省常德市五校联盟高三上学期第一次考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合后再逐项计算，从而可得正确的选项.【详解】集合，，，故A错误，D正确；，故B，C错误．故选：D．2．已知，且，则下列命题正确的是（    ）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【分析】根据不等式的性质，逐一进行判断排除可得到答案.【详解】对于，如果，那么，所以错误；对于，如果，那么，所以错误；对于，如果，那么，所以错误；对于，因为，那么，所以正确.故选：.【点睛】主要考查不等式的性质，要熟练掌握.3．下列结论不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正弦、余弦、正切的正负性，结合角所在的象限逐一判断即可.【详解】，为第二象限角，，因此A正确，为第三象限角，，，因此B、C正确，为第三象限角，，因此D错误．故选：D4．不等式成立的一个必要不充分条件是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出不等式的解集，然后根据题意可得不等式的解集为所求集合的真子集，从而可求得答案.【详解】解：，不等式的解集是，观察四个选项发现是的真子集，故是不等式成立的一个必要不充分条件．故选：C．5．若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数在上为减函数，可知 ，判断函数的定义域和单调性即可得解【详解】由函数在上为减函数，可知 函数的定义域为或，故排除A，B又，可知在单调递减，故排除D故选：C【点睛】本题考查了具体函数的图像判断，考查了学生综合分析，数形结合，分类讨论的能力，属于中档题.6．设函数，若，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据为周期为的偶函数，将中的自变量化到中，利用在上单调递增比较大小.【详解】因为为周期为的偶函数，所以，，因为在上关于直线对称，所以，由于，，，所以，即，因为在上单调递增，且，所以，即：．故选：A．7．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为（    ）参考数据：，A． B． C． D．【答案】B【分析】过滤n次后污染物的含量满足，通过对数运算求得正整数的最小值.【详解】过滤第一次污染物的含量减少，则为；过滤第两次污染物的含量减少，则为；过滤第三次污染物的含量减少，则为；过滤第n次污染物的含量减少，则为；要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，两边取以10为底的对数可得，即，所以，因为，所以，所以，又，所以，故排放前需要过滤的次数至少为次．故选：B．8．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数的正负与函数单调性的关系及偶函数的定义，结合函数的单调性及一元一次不等式的解法即可求解.【详解】已知，令，则，所以在上单调递减，又因为偶函数，所以，所以，，所以不等式等价于，则，解得，所以不等式的解集为故选：A. 二、多选题9．下列选项中，与的值相等的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】计算得到，再根据和差公式和二倍角公式，诱导公式依次计算得到答案.【详解】，，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误．故选：BC10．若函数（且）为上的单调函数，则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】ABCD【分析】根据函数为上的单调函数，分单调递增与单调递减分别讨论，列出不等式，即可得到结果.【详解】当时，由于为增函数，则需，此时在上单调递增；当时，由于为减函数，则需故，此时在上单调递减；故的取值范围为：．故选:ABCD．11．已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】首先由题意利用三角恒等变换将的解析式化简成正弦型函数，然后再根据正弦函数性质根据值域求出定义域满足的范围，进而求出的取值范围，即可得到答案.【详解】函数，定义域为，即，，又值域为，即，，在正弦函数的一个周期内，要满足上式，结合正弦函数性质：所以，，，，即，的值不可能为和和．故选：BCD12．已知函数则下列说法正确的是（    ）A．当时,B．当时,直线与函数的图象相切C．若函数在区间上单调递增,则D．若在区间上恒成立,则【答案】AB【分析】对于A,求导函数后根据单调性即可得出结果;对于B,求导后将代入求出切线斜率,继而求得切线方程;对于C,即在上恒成立,分离参数求解即可;对于D,分为和两种情况进行讨论,当时,恒成立;当 时,恒成立等价于恒成立,分离参数转化为最值问题求解即可.【详解】对于A,当时,,,当时,,当时,,函数在上单调递减,在上单调递增,,故选项A正确;对于B,当时,,,,函数在处的切线方程为,故选项B正确;对于C,,若函数在区间上单调递增,则区间上恒成立,即在上恒成立,令,,则,函数在上单调递减,,,故选项C错误;对于D,当时,恒成立,此时;当时,恒成立等价于恒成立,即恒成立,设,,则在上恒成立,在上单调递减,,,综上所述,故选项D错误.故选:AB． 三、填空题13．在范围内，与终边相同的角是__________．【答案】【分析】与角终边相同的角是，，时满足条件，得到答案.【详解】与角终边相同的角是，， 当时为，在范围内，与角终边相同的角是．故答案为：14．已知正数满足，则的最小值为__________．【答案】【分析】通过等式变换，在将构造基本不等式的形式，利用基本不等式求解即可【详解】因为正数，满足，则由，当且仅当即，时等号成立，即的最小值为 ．故答案为：．15．若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为____【答案】【分析】转化函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，为在区间(－2，1)上有唯一的变号零点，利用二次函数根的分布，转化为，再验证端点即得解【详解】由题意，函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，即在区间(－2，1)上恰有一个变号零点令，即在区间(－2，1)上有唯一的变号零点根据二次函数根的分布可知：，即此时端点值是否成立不确定.（1）当时，在区间(－2，1)上有唯一的变号零点，成立；（2）当时，在区间(－2，1)上恒小于0，不成立；综上，实数a的取值范围为故答案为：16．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.【答案】【解析】根据定义及函数的单调性，可得方程有两个不等的实数根，构造函数，通过求导求得极值点，代入，求得的最大值，进而可求解.【详解】解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，所以存在，使在上的值域为.因为为增函数，所以，所以方程有两个不等的实数根.令，则，令，解得.易知在上单调递增，在上单调递减，所以.易知当时，，当时，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以t的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，方程的根等，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难题.试题以新定义函数为切入点，围绕函数的定义域与值域的关系设题，引导考生将已知条件转化为方程的根进行求解，思维层次较高，考查逻辑推理、直观想象，数学运算等核心素养. 四、解答题17．已知．(1)求的值;(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据诱导公式得,将化简以后,再根据同角三角函数关系式中的平方关系转化为齐次式,求解即可;(2)先利用二倍角公式和同角三角函数关系式中的平方关系把式子进行化简,代入即可求解.【详解】（1）,即,.（2）．18．已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．(1)求数列，的通项公式(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根据等比数列的定义，直接写出，由等差数列的基本量运算，结合已知条件，求得与公差，即可求得；（2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，直接求解即可.【详解】（1）因为数列满足，，，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，即数列的通项公式为，设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）由（1）可知，所以数列的前项和，即．19．如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，平面，，、分别是、的中点．  (1)求证：平面平面；(2)若，求锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）通过证明和得平面，再利用面面垂直判定定理求解；（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.【详解】（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，为的中点，，又，，平面，平面，，而平面，平面，且，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知、、两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，因此，取，则，连接，平面，平面，．，，、平面，平面，故为平面的法向量．又，．二面角为锐二面角，所求二面角的余弦值为．20．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在的最小值.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线方程；（2）由导数得出，令，利用导数得出在恒成立，再讨论时函数的单调性，进而得出最值.【详解】解：（1）当时，，∴，又得切点，∴，所以切线方程为，即；（2），∴，令，∴由，得，所以在上为单调增函数又，所以在上恒成立即在恒成立当时，，知在上为减函数，从而当时，，知在上为增函数，从而；综上，当时，；当时.【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于利用导数得出其单调性，进而得出最值.21．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．(1)求证：；(2)求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先利用余弦定理可得，再由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得：，进而可得．（2）先利用（1）中条件和结论得，令，设，利用导数求其范围即可.【详解】（1）证明：在中，由已知及余弦定理得到：，又，所以.由正弦定理得到，又，则，故，因为，则，所以或舍去，所以；（2）由（1）得，所以，，由（1）， 得，令，，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，当时，，当时，，所以取值范围是．22．设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，，证明.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若，则当时，数单调递减，当时，函数单调递增；②若，函数单调递增；③若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)原问题即证明，构造新函数，结合新函数的性质和题意，即可证得结论.【详解】（1）由，可知 .因为函数的定义域为，所以，①若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若，则当在内恒成立，函数单调递增；③若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.综上：当时，递减区间是，递增区间是，当时，递增区间是在，当时，递减区间是，单调递增是，.（2）要证，只需证.设，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证 .（*）又，，所以两式相减，并整理，得 .把 代入（*）式，得只需证，可化为.令，得只需证.令（），则，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.