2023届湖北省十堰市东风高级中学高三8月月考数学试题（解析版）

2023届湖北省十堰市东风高级中学高三8月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求解集合与集合，利用集合的并集运算进行求解.

【详解】解：因为，且，故集合；

因为，且，故集合；

所以.

故选：D.

2．直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出特殊角的三角函数值，将直线化为斜截式方程，即可得出.

【详解】由已知可得，直线方程为，

化为斜截式方程为.

所以，直线的斜率为.

故选：A.

3．已知平面向量，，若，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据解得，再结合平面向量的夹角公式计算即可

【详解】由可得，即，解得，

所以，，则

又

所以与的夹角为

故选：B.

4．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.

【详解】，，，，，

，所以.

故选：C

5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，

如图：

则其外接球的半径为

球的表面积为；

故选B．

6．在中，角的对边分别为，，，，设边上的高为h，则h=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据余弦定理先求出，然后求出，结合三角函数的定义进行求解即可．

【详解】

∵，，，

∴，

则，

则.

故选：D.

【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于常考题.

7．若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数,利用导数研究函数单调性，从而可判断AB；构造函数,利用导数研究函数单调性，从而可判断CD.

【详解】构造函数，则，

又当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，的大小不确定．所以A、B均不正确；

构造函数，

则，所以在上为增函数，

所以，即，

所以．

故选:D．

8．过点作圆与圆的切线，切点分别为､，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先根据，圆与的半径相等，为直角三角形，得到，进而得到点在线段的垂直平分线上；然后求出此平分线表达式，得到点的只含有的坐标，代入，得到二次函数，求其最小值即可.

【详解】解：如图所示，由圆的切线的性质得，

在中有，

由题知，

，所以点在线段的垂直平分线上；

由题知，所以与的中点的坐标为，

与所在直线的斜率为，

所在直线的斜率为，

直线的方程为，即，

点在，所以点的坐标满足，

所以，

故选：B.

【点睛】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将表示为只含有一个未知数的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点所在的一条直线，进而用一个未知数表示出其坐标，进而求得的最小值.

二、多选题

9．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（    ）

A．成绩在的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000

C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分

【答案】ABC

【分析】因为成绩出现在[70，80]的频率最大，故A正确；不及格考生数为10×（0.010+0.015）×4000＝1000，故B正确；根据频率分布直方图估计考试的平均分为70.5，C正确；估计中位数为71.67，D错误．

【详解】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；

成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；

考生竞赛成绩的平均分约为，故C正确；

因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，

所以中位数为，故D错误.

故选ABC.

【点睛】本题考查了频率分布直方图，以及用频率分布直方图估计样本的平均数与中位数等，考查计算能力．属于基础题．

10．已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（    ）

A．双曲线的方程为

B．双曲线的两条渐近线所成的锐角为

C．到双曲线渐近线的距离为

D．双曲线的离心率为

【答案】ABD

【分析】由左焦点，得，再根据的面积为，由，求得双曲线的方程，再逐项判断.

【详解】因为双曲线的左焦点为，

所以，

又因为过与轴垂直的直线与双曲线交于，

所以的面积为，即，

又，

所以，

所以双曲线的方程为，故正确;

则双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的夹角为，故B正确;

到双曲线渐近线的距离为,故C错误﹔

双曲线的离心率为.故D正确;

故选：ABD

11．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（    ）

A．为奇函数 B．周期为2

C． D．是奇函数

【答案】AD

【分析】由于的定义域为，且关于中心对称，可知是奇函数，又关于对称，由此即可求出函数的周期，根据函数的奇偶性及周期性判断各项的正误.

【详解】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确；

因为关于直线对称，即，所以，

所以函数的周期，故B项错误；

，故C项错误；

，所以是奇函数，故D项正确.

故选：AD.

12．已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（    ）

A．的最小值是 B．的最大值为3

C．的最小值为3 D．的最小值是2

【答案】ACD

【分析】AD选项：利用基本不等式求最值即可；B选项：令，然后利用三角函数求最值即可；

C选项：消元后根据二次函数的单调性求最值即可.

【详解】对于A，，

当且仅当，即，时取“=”，A正确；

对于B，令，，

其中锐角由确定，显然，则当，即时，，

因此，当时，取最大值，B不正确；

对于C，，当时，取得最小值3，C正确；

对于D，

，

当且仅当a=b=1时取“=”，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知直线被圆截得的弦长为2，则____

【答案】

【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案.

【详解】由圆的方程，则其圆心为，

圆心到直线的距离，弦长的一半为1，，

故答案为：

14．如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别为，的中点，点在线段上，且，若，则______．

【答案】

【解析】以为一组基向量，首先，再将逐步地用基向量表示，最后合并整理得出结果.

【详解】由，分别为，的中点，点在线段上，

且，

所以

，

则，

故答案为：.

15．焦点是F（0,5），并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________．

【答案】＝1

【解析】设直线被椭圆所截弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）．用“点差法”建立弦中点坐标，弦所在直线斜率与椭圆方程中的关系，结合可求得结论．

【详解】设所求的椭圆方程为＝1（a＞b＞0），直线被椭圆所截弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）．

由题意可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.

将A，B两点坐标代入椭圆方程中得两式相减并化简得＝－·＝－2×＝3，

所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25.故所求椭圆的标准方程为＝1.

故答案为：＝1.

【点睛】本题考查求椭圆标准方程，已知直线与椭圆相交弦中点，可用“点差法”建立的关系．

16．若函数，当时函数有极值，则过点与曲线相切的直线方程为__________.

【答案】或.

【分析】根据极值点和极值列出方程组，求出，得到解析式.然后先判断点是否在曲线上，若是，先求出曲线在点处的切线方程；然后设出切点，结合导数的几何意义求出其他的切线方程.

【详解】由已知，当时函数有极值，

所以，即，解得，

则，

解，可得或；解，可得或；解，可得.

所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，函数有极大值，满足.

所以，.

因为，所以点在的曲线上.

若切点为，则根据导数的几何意义有，，

此时切线方程为，化为一般式方程为；

若不是切点，设切点为，，切线斜率为，

根据导数的几何意义有，，又，

所以，有，整理可得，，

解得或（舍去）.

所以，此时切线斜率为，又直线过，

所以切线方程为，化为一般式方程为.

综上所述，切线的方程为或.

故答案为：或

四、解答题

17．在△中，角，，所对的边分别为，，．若，，求△面积的最小值．

【答案】

【分析】利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，求得以及，利用余弦定理以及基本不等式求得的最小值，进而求得三角形面积的最小值.

【详解】由正弦定理得，

∴，

∵，∴，

∴，

∴，∴，

，∴,

由可知，，，

由正弦定理得，即，

由余弦定理得，即，

，则，即，

当且仅当时取等号，

则.

所以△面积的最小值为.

18．已知等比数列{}的公比，且，．

(1)求数列{}的通项公式；

(2)设数列{}的前n项和为，求数列{}的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）利用错位相消法进行求解即可.

【详解】（1）由，或（舍去），

所以；

（2）由（1）可知，所以，

所以，设数列{}的前n项和为，

，

，

，得，

即.

19．吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子粽子装有10个，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外外观完全相同，从中任意选取3个.

(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；

(2)求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率．

(3)设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列与期望.

【答案】(1)

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据古典概型的概率计算，可得答案；

（2） 计算出所选3个粽子有肉粽的可能选法的种数，再计算所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有几种，根据条件概率的计算可得答案；

（3）确定ξ的可能取值，计算每个值对应的概率，即可得分布列，进而计算其期望.

【详解】（1）令A表示事件“三个粽子中有1个肉粽”， 从中任意选取3个有种可能,

其中恰有1个肉粽的可能选法有种,

∴由古典概型的概率计算公式有.

（2）所选3个粽子有肉粽的可能选法有种，

所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有种，

故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为.

（3）由题意知，ξ可能取的值为，则

∴，，，

故ξ的分布列为：

则的期望为.

20．如图，是一个三棱锥，是圆的直径，是圆上的一点，垂直于圆所在的平面，分别是棱的中点.

(1)求证：平面；

(2)若二面角是，，求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）， ，由线面垂直的判定定理可得平面，再由三角形中位线定理可得答案；

（2）以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立的空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）因为是圆的直径，所以，

因为垂直于圆所在的平面，平面，所以，

又因为，平面，平面PAC，

所以平面，因为分别是棱的中点，

所以，从而有平面；

（2）由（1）可知，平面，平面，

所以，所以为二面角的平面角，

从而有，则，

又，得，

以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，，

,，，，，

所以，，,

设是平面的一个法向量，

则，即，可取，

故，

所以AE与平面ACD所成角的正弦值为.

21．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．

(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；

(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据抛物线的定义与方程求解；（2）利用向量处理，结合韦达定理代换整理，注意讨论直线l斜率是否存在．

【详解】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；

（2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设．

（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．

由得，

因为，所以，

即，所以，

因为，所以；

因为，所以，

即，所以，

所以因为，所以①．

（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．

由得，所以，

且，所以（*），

因为，所以，即，所以，

所以，得，

因为，所以，

即，所以，

所以

则

所以，得，

所以②，

代入（*）得，，所以③，

由②得，所以④，

所以，所以，⑤

由④，⑤知，

综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．

22．已知函数.

（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；

（2）若有两个零点，且，证明：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）求出函数在处的导数，求出，即可求出切线方程，得出定点；

（2）由题可得，可得，令，则，构造函数，二次求导得出单调递增，即可求出，再利用基本不等式即可证明.

【详解】（1），

则，即切线斜率为，

又，

则切线的方程为，即，

可得当时，，故切线恒过定点；

（2）是的零点，，且，

则，即，

，即，

令，则，则，

令，则。

令，则，则单调递增，

，即，则单调递增，

，

，即，即，

则（由于，故不取等号），得证.

【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决双变量问题，解题的关键是将其转化为，利用导数求出单调性，得出.