2023届湖南省株洲市第二中学高三上学期12月教学质量检测数学试题（B）（解析版）

这是一份2023届湖南省株洲市第二中学高三上学期12月教学质量检测数学试题（B）（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，，则 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用交集、并集的定义直接求解.
【详解】因为，，所以，
所以.
故选：C
2．与圆关于直线成轴对称的圆的方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将圆方程化为的标准方程形式，可得圆心为（2，-1）且半径等于1．利用轴对称的知识，解出（2，-1）关于直线x-y+3=0 的对称点为（-4，5），即可得到对称圆的标准方程，再化成一般方程可得本题答案．
【详解】将圆化成标准方程，得(x−2)2+(y+1)2=1，表示圆心在(2,−1)，半径等于1的圆.
因此，可设对称圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=1
可得，解之得，
即点(2,−1)关于直线x−y+3=0对称的点的坐标为(−4,5)，
∴与圆关于直线x−y+3=0成轴对称的圆方程是(x+4)2+(y−5)2=1，
整理成一般式为：.
故选C
【点睛】在求一个点关于直线的对称点时，可以根据以下两个条件列方程：
（1）两点的中点在对称直线上；
（2）两点连线的斜率与对称直线垂直.
3．已知c是椭圆的半焦距，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，运用勾股定理、基本不等式，直角三角形的2个直角边之和大于斜边，便可以求出式子的范围．
【详解】椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边分别为 、 ，斜边为 ，
由直角三角形的2个直角边之和大于斜边得： ，
，
又，
，
故选 ．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质、基本不等式的应用，考查了直角三角形三边的关系，属于基础题．
4．已知实数a，b，，，则“”是“”（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分、必要条件的定义，结合不等式的性质，即可得答案.
【详解】若，则，
又，所以，
所以，充分性成立；
若，则，
左右同时平方可得，即，必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
5．已知函数，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断出为偶函数，再求导确定单调性，借助指数、对数运算比较的大小，再由单调性即可求解.
【详解】显然，定义域为R，由可知函数为偶函数，又当时，，有，
可知函数的减区间为，增区间为，又由，
，由，可得．
故选：D.
6．已知、、是半径为的球的球面上的三个点，且，，，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】计算出的外接圆半径，可计算得出三棱锥的高，利用余弦定理可求得，可计算得出的面积，再利用锥体的体积公式可求得结果.
【详解】因为，，所以，的外接圆半径为，
所以，三棱锥的高为，
在中，由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因为.
故选：B.
7．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，若线段的中点的纵坐标为6，则的值是( )
A．1B．2C．1或2D．-1或2
【答案】C
【分析】设切点分别为，，结合导数的几何意义求切线，的方程，由此确定直线的方程，联立方程组求出的中点的纵坐标的表达式，列方程求的值.
【详解】由题意得，，设切点分别为，，所以切线方程为别为，，化简可得，由于两条切线都过点，所以，，所以点，都在直线上， 所以过，两点的直线方程为，联立，消去得，方程的判别式
由已知，解得或，
故选：C.
8．已知奇函数在R上是减函数.若，，，则a､b､c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由对数函数性质、指数函数性质比较，，的大小后，结合奇偶性单调性可得结论．
【详解】解：因为奇函数在R上是减函数.
若，，，
∵，
∴，
即.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查比较函数值的大小，利用奇偶性 各函数值中自变量的值化为同一单调区间，比较出自变量的大小后由单调性得出函数值的大小，自变量涉及到对数函数与指数函数的性质，可结合中间值比较大小．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．命题“，”的否定是“，使得”
D．已知函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件
【答案】ACD
【解析】对于A、B，解不等式即可判断；对于C，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可；对于D，根据奇函数的性质判断即可；
【详解】解：对于A：，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B：，则解得且，故B错误；
对于C：全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“，”的否定是“，使得”正确；
对于D：因为函数的定义域为，若函数为奇函数，则，若得不到为奇函数，若，故“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，故D正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查了命题真假性的判断问题，也考查了充分条件、必要条件，属于中档题．
10．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．的单调递减区间为
C．的最小值为-1
D．的解集是
【答案】AD
【分析】根据给定条件结合正余弦函数的性质，逐一分析各个选项判断作答.
【详解】依题意，，是以为周期的函数，A正确；
，函数在上单调递减，
函数在上单调递减，B不正确；
函数在上单调递增，因此，时，，C不正确；
由得或，
解得，
解得，
综上得：，的解集是，D正确.
故选：AD
11．在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．若，则
C．若，则D．当时，
【答案】ACD
【分析】利用等差数列的通项公式可判断A；利用已知条件结合等差数列的通项公式可判断B；利用等差数列的求和公式可判断C；利用等比数列求和公式可判断D.
【详解】对于A，当时，，可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，故A正确；
对于B，由已知，是公差为的等差数列，则，
是公差为的等差数列，则，即，解得：或，故B错误；
对于C，，解得：，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD
12．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为棱CC1上的动点，AM⊥平面，下面说法正确的是（ ）
A．若N为DD1中点，当AM+MN最小时，CM=
B．当点M与点C1重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
C．若点M为CC1的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为
D．直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为
【答案】AC
【分析】对于A，由展开图求解；对于B，取特殊情况判断；
对于C，由垂直关系确定截面后计算；对于D，由空间向量求解
【详解】对于A，由展开图如下，当最小时，，
得，故A正确
对于B，如图，取各边中点连接成六边形，
由立体几何知平面，平面，
截面周长为，面积为，
截面的周长为，面积为，
故B错误
对于C，取中点分别为，
以为原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
，，，
由数量积可知，而，
故平面，
截面为等腰梯形，
面积为，故C正确
对于D，设
，平面的一个法向量为
故直线AB与平面所成角的正弦值
则，故D错误
故选：AC
三、填空题
13．已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为______．
【答案】
【分析】利用求解即可
【详解】当时，，得，
当时，由，得，
所以，
所以，所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
故答案为：
14．下列四个命题中：①已知则；②③若则④在锐角三角形中，已知则其中真命题的编号有_______.
【答案】②③
【解析】对于①：运用诱导公式化简，再运用同角三角函数的关系可判断；
对于②：先运用同角三角函数的商数关系“切化弦”，再运用诱导公式可判断；
对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断；
对于④：运用同角三角函数求得再用正弦的和角公式代入可判断．
【详解】对于①：因为所以所以即解得，故①不正确；
对于②：因为故②正确；
对于③：因为所以，故③正确；
对于④：因为在锐角三角形中， 所以，
所以所以
，故④不正确，
故答案为：②③．
15．已知定义在上的函数为奇函数,且在区间上单调递增,则满足的的取值范围为______
【答案】
【分析】由奇函数的性质得出在上的单调性与上的单调性相同，从而在上是增函数，由单调性的性质可得，同时注意定义域．
【详解】∵为奇函数，且在上为增函数，
∴在上为增函数．
∵，∴，解得．
故答案为．
【点睛】本题考查的奇偶性与单调性．若函数在奇函数，则其在关于原点对称的两个区间上单调性相同；若函数在偶函数，则其在关于原点对称的两个区间上单调性相反．
16．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________.
【答案】
【分析】设顶角为，由余弦定理可得 的值，可得 的值，再由正弦定理求得它的外接圆半径．
【详解】解：设顶角为，由余弦定理可得：
，
解得：，
，
再由正弦定理可得，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．
四、解答题
17．已知是递增的等差数列，是方程的两根．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由已知是递增的等差数列，求通项，可先利用根与系数的关系，再运用等差数列的定义，求出公差，可求出（注意），可得出数列的通项公式．
（2）由（1）已知数列的通项公式，可由，代入进行化简变形，观察可运用裂项法求新数列的和．
【详解】（1）∵是递增的等差数列, ∴，
又是方程的两根，∴，
∴， ∴.
（2）,
∴.
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；并写出函数的单调区间；
（2）函数在区间上的最小值为，求的值域.
【答案】（1），单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）
【分析】（1）令，则，利用可求得在时的解析式；经验证，时满足所求解析式，进而可整理得到解析式；结合二次函数的图象和性质可得函数的单调区间；
（2）分别在、、和四种情况下，结合函数单调性可确定最小值，进而得到每一段区间上对应的值域，综合可得最终结果.
【详解】（1）当时，
为奇函数
为上的奇函数 ，满足
的单调递增区间为，；单调递减区间为
（2）当时，，即
当时，，即
当时，，即
当时，，即
综上所述：的值域为
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式、函数单调区间的求解、函数最值和值域的求解问题；关键是能够结合分段函数的解析式，根据二次函数的性质确定最值取得的点.
19．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；
（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据题意，写出双曲线的左顶点，求出直线的方程，联立求得三角形顶点坐标，之后利用三角形的面积公式求得结果.
（2）设直线的方程为，通过直线与已知圆相切，得到，通过求解.证明.
（3）当直线垂直轴时，直接求出到直线的距离为.当直线不垂直轴时，设直线的方程为：，（显然），推出直线的方程为，求出，，设到直线的距离为，通过，求出.推出到直线的距离是定值.
【详解】（1）根据题意可得的左顶点为，
设直线方程为，
与另一条渐近线联立求得交点坐标为，
所以对应三角形的面积为；
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，
故，即，
由得，
设，，则，，
则，
故；
（3）当直线ON垂直于x轴时，，，
则O到直线MN的距离为．
当直线不垂直于轴时，
设直线的方程为（显然），
则直线的方程为.
由与椭圆方程联立，
得，，所以.
同理.
设O到直线MN的距离为d，
则由，
得．
综上，O到直线MN的距离是定值.
【点睛】该题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
20．在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝acs C＋csin A，点M是BC的中点.
(1)求A的值；
(2)若a＝，求中线AM长度的最大值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简b＝acs C＋csin A即得解；
（2）由余弦定理和基本不等式得b2＋c2≤6，由已知得＝，平方后利用基本不等式即得解.
【详解】（1）解：因为b＝acs C＋csin A，
根据正弦定理得sin B＝sin Acs C＋sin Csin A，
所以sin（A＋C）＝sin Acs C＋sin Csin A，
所以sin Acs C＋cs Asin C＝sin Acs C＋sin Csin A，
所以cs Asin C＝sin Csin A.
因为sin C≠0，所以tan A＝.
又0＜A＜π，所以A＝.
（2）解：在ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3.
因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号，
所以b2＋c2≤6.
因为AM是BC边上的中线，
所以＝，两边平方得||2＝（b2＋c2＋bc）≤＝××（b2＋c2）＝，
当且仅当b＝c＝时，中线AM的长度取得最大值.
21．已知椭圆C：的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求（O为坐标原点）的面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)1.
【分析】(1)根据给定条件结合列式计算得解.
(2)设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理结合均值不等式计算作答.
【详解】（1）椭圆C的半焦距为c，离心率，因过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长为1，
将代入椭圆C方程得：，即，则有，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）由(1)知，，依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为，，，
由消去x并整理得：，，，
的面积，，
设，，，
，当且仅当，时取得“=”，于是得，，
所以面积的最大值为1.
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．设函数
(1)若在，x处取得极值，
①求a、b的值；
②在存在，使得不等式成立，求最小值
(2)当b＝a时，若在上是单调函数，求a的取值范围．
（参考数据，）
【答案】(1)①；②．
(2)
【分析】（1）①先对函数进行求导，根据函数在取得极值，则，代入可求a，b的值．
②转化为，从而求函数在区间上的最小值，从而求c的值
（2）此时，
先说明当符合条件，当时，分讨论在上的正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a的取值范围.
【详解】（1）①∵，∴．
∵在x＝1，x处取得极值，∴
即，解得，
∴所求a、b的值分别为；
②在存在，使得不等式成立，只需，
由，
∴时，，故在是单调递减；
当时，，故在是单调递增；
当时，，故在是单调递减；
∴是在上的极小值．
，
且，
又，∴，
∴，∴，
∴c的取值范围为，
所以c的最小值为．
（2）当a＝b时，，
当时，．则在上是单调递增；
当时，∵，∴，∴，则在上是单调递增；
当时，设，只需，从面得，
此时在上是单调递减；
综上得，a的取值范围是．