2023届河南省洛阳市普高联考高三上学期测评（三）数学（文）试题（解析版）

2023届河南省洛阳市普高联考高三上学期测评（三）数学（文）试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据存在量词的命题的否定法则判断可得.

【详解】“，”的否定为“，”

故选：A．

2．若全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先对集合解不等式化简，然后利用补集和交集的定义即可求得结果.

【详解】由题意解得，因为则，

又因为，所以．

故选：C．

3．已知向量，，，且，则实数m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，根据向量垂直，则点乘为0，得到关于的方程，解出即可.

【详解】，由可得，

解得．

故选：A．

4．已知F为抛物线C：的焦点，点A为抛物线C上一点，且点A到直线x＝－p的距离为5，则抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离和到准线的相等即可求得p，既而求得抛物线方程.

【详解】由抛物线的定义知点A到直线的距离为3，所以，解得p＝4，所以抛物线的方程为．

故选：C．

5．定义在R上的偶函数在上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据奇偶性把自变量全部转到 上，再比较 与 的大小关系，再根据单调性判断.

【详解】，又，即，即，所以，

因为为偶函数，所以，又在上单调递增，

所以．即；

故选：D．

6．某正方形数阵如图所示，依据观察，位于第36行第8列的数为（    ）

A．367 B．330 C．328 D．324

【答案】B

【分析】利用观察法找规律，得出第一列的通项公式，则第36行的第一列的数字即确定，再观察得出第36行的通项公式，

就可求得第36行第8列的数.

【详解】观察可知，第n行和第n列均为相同的等差数列，第一列数列的通项公式为，

则第36行第1列的数为．

第36行也是等差数列，公差为37，则通项公式为，

则．

故选：B．

7．如图，在长方体中，，在面中作以棱CD为直径的半圆，且点E在半圆上（不含点C，D），连接AE，BE，CE，DE，则下列说法错误的是（    ）

A．平面平面 B．平面平面BCE

C．平面ABE D．四棱锥E—ABCD的体积的最大值为

【答案】D

【分析】对于A，根据线面垂直判定定理，可得答案；

对于B，根据圆的性质以及线面垂直的性质定理，结合线面垂直判定定理，可得答案；

对于C，根据线面平行的性质定理，可得答案；

对于D，利用四棱锥的体积公式以及圆的性质，可得答案.

【详解】因为平面，平面ADE，所以平面平面，故A正确；

线段CD是半圆的直径，所以，因为平面，平面，，

，平面ADE，所以平面ADE，因为平面，所以平面平面BCE，故B正确；

因为，平面，平面，所以平面ABE，故C正确；

当E为的中点时，四棱锥E—ABCD的体积V最大，此时，故D错误．

故选：D．

8．如果数列对任意的均有恒成立，那么称数列为“M－数列”，下列数列是“M－数列”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据各选项的通项公式，直接验证是否恒成立即得．

【详解】若，则，

即，不满足条件，不是“M－数列”；

若，则，

即，不满足条件，不是“M－数列”；

若，则，即，满足条件，是“M－数列”；

若，则，当n＝1，2，3时，，不满足条件，不是“M－数列”．

故选:C．

9．函数若方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数分析出当时，函数的单调性及最值，作出函数的图象，将问题转化为函数与的图象有三个不同的交点，结合图象即可得实数m的取值范围.

【详解】解：方程有三个不同的实数根函数与的图象有三个不同的交点．

当时，，

令，得，

则当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时，且，

则函数的图象如图所示：

要使函数与的图象有三个不同的交点，

需，

故实数m的取值范围是．

故选：D．

10．函数的最大值为2，且对任意的，恒成立，在区间上单调递增，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据函数的最值可得A＝2，根据恒成立可得，由函数的单调性可得，进而求得，求出函数解析式，即可求解.

【详解】因为的最大值为2，所以A＝2，

因为恒成立，所以当时，函数取得最大值，

则，，所以，．

当时，，

因为在区间上单调递增，

所以，解得，即，

所以，则．

所以，

故选：B．

11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点B在直线上，且位于第一象限，直线与直线交于点A，且A是线段的中点，，则C的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线渐近线方程可设出点坐标，根据和O是的中点，得出，建立等量关系得，即可求得离心率.

【详解】方法一： 由题知直线是双曲线的两条渐近线，如图，

因为O是的中点，且，所以，

设，则解得即．

因为A是的中点，所以，

又点A在直线上，所以，解得c＝2a，

所以，

故选：B．

方法二： 因为O是的中点，，所以，

因为A是的中点，所以，又，

所以，所以，

所以，则c＝2a，

所以．

故选：B．

12．已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为O的球面上，点E在AB上，，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出三棱锥外接球的半径及球心，构造直角三角形即可求得面积最小值.

【详解】如图，因为三棱锥的棱长均为6，所以点P在平面ABC内的射影H是的中心，

取BC的中点D，连接AD，则点H在AD上，且，

所以，，，则．

设三棱锥P-ABC的外接球半径为R，则OP＝OA＝R，

在中，，解得．

因为，所以AE＝2，取AB的中点F，则EF＝1，且，

所以．

当过点E的球O的截面与OE垂直时，截面面积最小，

设截面圆的半径为r，则，

所以截面面积为．

故选：A．

二、填空题

13．已知向量，满足，，，则______．

【答案】2

【分析】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得.

【详解】因为，

所以.

故答案为：2.

14．若，且，则______．

【答案】##90°

【分析】利用三角恒等变换及两角和差公式即可求得的值.

【详解】，即，

即，

则，又，

则，，

则，即．（写成90°也给分）

故答案为：或90°.

15．与直线相切于点的圆C过点，则圆C的半径为______．

【答案】

【分析】由题意知圆心在过点且与直线垂直的直线，求出直线方程，圆心又在MN的垂直平分线上，则两条直线的交点即为圆心，圆心点的距离即为半径.

【详解】过点且与直线垂直的直线为，则圆心在直线上，

又圆心在线段MN的垂直平分线上，即圆心在直线上.

所以圆心坐标为，则圆的半径．

故答案为：

16．实数、满足，目标函数的最大值为，正实数、满足，则的最小值为______．

【答案】

【分析】作出可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数求出的值，可得出，再将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立可得，即点，同理可得点、，

因为，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，

直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，解得，

所以，正数、满足，则，可得，

所以，

当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．

故答案为：.

三、解答题

17．在中，内角、、的对边分别为、、，已知角为锐角，，的面积为，且．

(1)求；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角形的面积公式可得出，代入余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得的值．

【详解】（1）解：由正弦定理和，

得，

又，所以，

因为，所以，则，

又，则，所以．

（2）解：由余弦定理得，

又，

所以，两边同除以，得．

18．数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用与 的关系求通项即可；

(2)利用错位相减法求通项.

【详解】（1）当时，．

①，当时，②，

①-②得，即，

当时，满足公式，

所以．

（2）由（1）知，

则③，

④，

③-④得

，

所以．

19．已知函数，0˂ω˂4，且．

(1)求ω的值及函数的单调递增区间；

(2)求函数在区间的最小值和最大值．

【答案】(1)，，

(2)最小值－1；最大值2．

【分析】（1）利用二倍角公式化简可得，再由可得，再根据正弦函数的单调性可得答案；

（2）根据的范围和正弦函数值域可得答案．

【详解】（1），

由知，

则，或，，

所以，或，，

又，则，所以，

令，，则，，则函数的单调递增区为，；

（2）由（1）知，，则，

当，即时，函数有最小值－1；

当，即时，函数有最大值2．

20．在直三棱柱中，，、、分别为、、的中点，，点在线段上，且，．

(1)当时，证明：平面；

(2)当为何值时，点到平面的距离为？

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接、、，证明出平面，可得出，证明出，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）取的中点，连接、，设，推导出，求出的长，求出的面积，利用可求得的值，即可求得的值.

【详解】（1）证明：因为平面，平面，，

，，、平面，所以，平面，

因为平面，，

连接、，在直三棱柱中，

因为，则，且，

为的中点，则，且，

因为且，则四边形为平行四边形，则且，

、分别为、的中点，则且，

故四边形为平行四边形，所以，且，

因为且，且，故四边形为平行四边形，

平面，平面，，所以，

因为，、平面，所以平面，

因为平面，所以．

连接，如图，，，

因为，所以，则，且，

所以，则，

则，所以．

因为，、平面，所以平面．

（2）解：连接，因为，，是的中点，

所以，且，

，，，

平面，，平面，

设，则，且，

取的中点，则，

连接，则，且，

则，

所以，

又，

由得，解得，

又因为，所以，

因此，当时，点到平面的距离为．

21．已知椭圆的长轴长为，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得直线，关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在点

【分析】（1）依题意可得，再根据离心率求出、从而求出，即可得解.

（2）假设存在点，使得直线，关于轴对称．当直线的斜率不为零时，可设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设直线，的斜率分别设为，，依题意可得，即可得到方程，从而求出的值，即可得解.

【详解】（1）解：因为长轴长为，所以，

因为离心率，所以，则，

所以椭圆的标准方程为．

（2）解：假设存在点，使得直线，关于轴对称．

当直线的斜率不为零时，可设直线的方程为，联立，

得，

设，，则，①．

显然直线，的斜率均存在，分别设为，，则，

所以

，

即②，

把①代入②化简得，该式对任意的恒成立，则，

所以存在点，使直线，关于轴对称，

当直线的斜率为零时、，此时直线，关于轴对称，

综上所述，存在点，使得直线，关于轴对称．

22．已知函数，，．

(1)若曲线在点处的切线与曲线相切，求实数a的值；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的最小整数值．

【答案】(1)或

(2)1

【分析】（1）由导数的几何意义求出在点处的切线，联立，令即可求解a的值；

（2）采用参变分离法得，设，利用导数求出的正负区间，进而确定最值范围，即可求解.

【详解】（1），则，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

令，，则，

则，解得或；

（2）不等式恒成立，即恒成立，

由于，则．

设，则，，

即．设，则，

所以在上单调递减，又，，

所以存在，使，即．

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以．

又，则，

由于恒成立，，所以实数a的最小整数值为1．

【点睛】本题考查由导数的几何意义求解切线方程、由直线与曲线相切求参数范围、由不等式恒成立求参数范围，整体难度不大.

由不等式恒成立求解参数范围，采用参变分离的前提是：分离参数后，构造的函数容易由导数求解最值；在参变分离不易求解时，常常需要对参数进行分类讨论.