2023届广东省珠海市第四中学高三上学期开学摸底数学试题（解析版）

2023届广东省珠海市第四中学高三上学期开学摸底数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：由题意知，故选B.

【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据交集的定义计算可得；

【详解】因为，

所以

故选：C

3．已知事件A，B，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用条件概率公式计算即可求出.

【详解】因为, .

所以.

故选：A.

4．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得线性回归方程：.则的值为A． B． C． D．

【答案】C

【详解】样本平均数为，即样本中心，则线性回归方程过，则，解得，即的值为，故选C.

5．函数的大致图象是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据和函数值得正负即可排除CD，再根据f(1)和f(2)的函数值即可排除A．

【详解】时，指数函数增速快于二次函数，故f(x)→+，图象单调递增，故排除C；

时，，，故，故排除D；

又，即f(x)>0时有两个零点，故图象B符合，图象A不符合．

故选：B．

6．已知正项等比数列中，公比，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】由已知条件列方程求出，从而可求出

【详解】因为，

所以，所以，

因为，所以，

所以，

故选：A

7．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（    ）

A．12种 B．18种 C．36种 D．54种

【答案】B

【分析】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有组，再分配到各个房间即可得解.

【详解】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，

则剩下四盆花有组，再分配到3个不同的房间中，

共有种排法，

所以不同的放法数（种）.

故选：B.

【点睛】本题考查了排列组合求所有可能，考查了平均分组法，解题关键是平均分组时注意消序，计算量不大，属于基础题.

8．数列满足，则（    ）

A．2022 B．2020 C． D．

【答案】C

【分析】逐项计算，确定的周期，再求和即可

【详解】由题意，，，

，，

故的周期为4.又，

故

故选：C

二、多选题

9．下列函数的求导正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】对每一选项的函数分别求导即得解.

【详解】解：A. ，所以该选项错误；

B. ，所以该选项正确；

C. ，所以该选项正确；

D. ，所以该选项错误.

故选：BC

10．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】使用赋值法可判断AB；令，然后根据通项直接求解可判断CD.

【详解】

取，则有，A正确；

取，则有，B正确；

令，则，

因为，所以，C错误；

因为，，所以，D正确.

故选：ABD

11．某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为，计算其相关系数为，决定系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为，相关系数为，决定系数为．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据散点图对相关性的强弱的影响即可判断四个选项.

【详解】由图可知两变量呈现正相关，故，，去掉“离群点”后，相关性更强，所以，故，故A正确，B不正确．

根据图象当去掉F点后，直线的基本在A,B,C,D,E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略向轴偏向，故斜率会变小，因此可判断，故C正确,D错误.

故选：AC．

12．甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（    ）

A．不同的安排方法共有240种

B．甲志愿者被安排到学校的概率是

C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种

D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是

【答案】ABD

【分析】先将5人分成4组，然后排入4所学校即可判断A；

分甲学校只有一个人和甲学校只有2个人，两种情况讨论，求出甲志愿者被安排到A学校的排法，再根据古典概型即可判断B；

先将A学校的两名志愿者排好，再将剩下的3名志愿者安排到其他3所学校即可判断C；

求出甲志愿者被安排到A学校的排法，然后再求出在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可判断D.

【详解】甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，

则共有种安排方法，故A正确；

甲志愿者被安排到A学校，

若甲学校只有一个人，则有种安排方法，

若甲学校只有2个人，则有种安排方法，

所以甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，

所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，故B正确；

若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C错误；

甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，

在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，

所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．的展开式中的系数为___________.（用数字作答）

【答案】15

【分析】结合二项式展开项通项公式，即可求出对应的展开项以及系数

【详解】由二项式展开项通项公式可得，，，故所求系数为15，

故答案为：15

14．已知函数在x＝1处取得极值，则a＝_________．

【答案】2

【分析】由已知可得，可求出的值，然后再检验即可

【详解】由，得，

因为函数在x＝1处取得极值，

所以，即，得，

所以，

当时，，当时，，

所以为函数的极小值点，

所以，

故答案为：2

15．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果服从正态分布，为使测量结果在的概率不小于，则至少测量___________次.（参考数据：若，则.

【答案】32

【分析】因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，则，得到不等式计算即可.

【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，

则且，，

所以，解得，所以至少要测量32次.

故答案为：32

16．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则___________.

【答案】

【分析】根据题意求解可得对称中心，再根据对称中心的性质求解即可.

【详解】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数在处取得极小值．

(1)求c的值；

(2)求在区间上的最值．

【答案】(1)；

(2)的最大值为0 ，最小值为.

【分析】（1）由题意，根据，解得或，然后分情况讨论即可求解；

（2）由（1）判断函数在区间上的单调性，然后根据单调性即可求解.

【详解】（1）解：，

由得或，

当时，，

令，可得或，令，可得，

所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，

所以函数在处取得极小值；

当时，，

令，可得或，令，可得，

所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，

所以函数在处取得极大值，舍去；

综上，；

（2）解：由（1）知函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，

又因为，

所以的最大值为0 ，最小值为.

18．已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.

(1)求切线的方程；

(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义先求解的值，然后得到切点坐标，即可得到切线的方程；

（2）化简不等式，分离常数，即，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可.

【详解】（1）解：函数的定义域为，，

由题意知，，所以，

故，所以，切点坐标为

故切线的方程为．

（2）解：由（1）知，，

所以，可化为：，

即在上恒成立，

令，则，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

所以当时，函数取得最大值，

故当时，在上恒成立，

所以实数的取值范围是.

19．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶饮，按事先拟定的价格进行试销，得到销售数据，如下表所示：

参考数据：.

(1)已知变量具有线性相关关系，求销量（壶）关于试销单价（元）的线性回归方程和的值；

(2)用表示根据线性回归方程得到的与对应的销量的估计值，当销售数据中与估计值满足时，则称该销售数据为一组“理想数据”.现从6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据中至少有1组是“理想数据”的概率.

附：回归直线方程的斜率，截距.

【答案】(1)；；

(2)

【分析】（1）根据题干中所给数据，分别计算，根据解得，然后求解斜率和截距即可得到回归直线方程；

（2）根据题意计算出满足“理想数据”的情况，利用古典概型的概率公式计算即可.

【详解】（1）解：由题意得，，

由，可求得，

所以，

，

故所求的线性回归方程为．

（2）解：当时，当时，

当时，当时，

当时，当时，．

与销售数据对比可知满足的共有4组：、、、．

从6组销售数据中任意抽取2组的所有可能结果有种，

其中2组数据中至少有一组是“理想数据”的结果有种，

所以抽取的2组销售数据中至少有1组是“理想数据”的概率为．

20．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：

(1)请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；

(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；

②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值.

附：

参考公式：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；

(2)①应从销售额不少于30万元的企业抽取3家；从销售额不足30万元的企业抽取2家；②解答见解析.

【分析】（1）由题意分析数据，完成列联表，计算，对着参数判断下结论；

（2）①利用分层抽样即可求解；②判断出X的可能取值为0，1，2.，分别求概率，写出分布列，求出数学期望.

【详解】（1）由题意分析可得：签约企业共45家，线上销售时间不少于8小时的企业有20家，那么线上销售时间少于8小时的企业有25家，每天的销售额不足30万元的企业占，共有.

完成列联表如下：

所以.

对应的参数为6.635.而，所以可判断赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；

（2）①由题意可知销售额不少于30万元有27家，销售额不足30万元有18家.

按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，抽样比为，

所以应从销售额不少于30万元的企业抽取（家）；

从销售额不足30万元的企业抽取（家）；

②由题意进行数据分析可知：每天的销售额不足30万元，每天线上销售时间不少于8小时的企业有3家，线上销售时间少于8小时的企业有15家.

由①可知，从销售额不足30万元的企业抽取2家.所以X的可能取值为0，1，2.

则;;

.

所以X的分布列如下：

所以.

所以X的期望值为.

21．已知数列满足，设.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设数列，记数列的前项和为，请比较与1的大小.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由，可得，再根据等比数列的定义可证得结论，

（2）由（1）可得，从而可得，则，然后利用裂项相消法可求出，从而可与1比较大小

【详解】（1）证明：因为，所以，

因为，

所以，

所以，

因为，所以，

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列

（2）由（1）可得，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以

22．已知函数，且点在函数的图像上，记，其中是自然对数的底数，，

(1)求实数的值并求函数的极值；

(2)当时，证明：函数有两个零点，且.

【答案】(1)；当时，函数的极小值为；当时，函数的极小值为，函数没有极大值.

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据题意代入即可解得，分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调性，进而求得极值；

（2）根据函数的单调性结合零点存在定理可判断函数在内有一个零点，当时，，构造函数，利用导数证明，即可得到在上有一个零点，即可得到，进而证明不等式.

【详解】（1）解：由题意知，，所以，

此时，，则，

若，令，得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

故当时，函数取得极小值，所以，

同理，若，当时，函数取得极小值，此时，

综上，当时，函数的极小值为当时，函数的极小值为，函数没有极大值.

（2）解：当时，由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，

所以函数最多有两个零点，又，，

所以函数在内有一个零点，

又当时，，而，

令，所以，

所以函数在上单调递增，则，

所以，所以在上有一个零点，

综上，当时，函数有且仅有两个零点，，且，

故．