2023届贵州省铜仁市石阡县民族中学高三上学期期末联考数学模拟试题（解析版）

这是一份2023届贵州省铜仁市石阡县民族中学高三上学期期末联考数学模拟试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届贵州省铜仁市石阡县民族中学高三上学期期末联考数学模拟试题

一、单选题
1．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（    ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.
【详解】解：选项A中直线，还可能相交或异面，
选项B中，还可能异面，
选项C，由条件可得或．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.
2．已知条件，条件直线与直线平行，则是的
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结果.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得或；即或；
所以由能推出；不能推出；
即是的充分不必要条件.
故选C
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.
3．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（    ）
A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx
C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]
【答案】A
【分析】根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.
【详解】根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，
当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （ x）]＝1，
当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （ x）]＝0，
当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （ x）]＝﹣1，
综合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）；
故选：A．
【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.
4．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：
①以为直径的圆与抛物线准线相离；
②直线与直线的斜率乘积为；
③设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则．
其中，所有正确判断的序号是（    ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】对于①，利用抛物线的定义，利用可判断；
对于②，设直线的方程为，与抛物线联立，用坐标表示直线与直线的斜率乘积，即可判断；
对于③，将代入抛物线的方程可得，，从而，，利用韦达定理可得，再由，可用m表示，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，可得a，即可判断.
【详解】如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．

设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，
显然，，三点不共线，
则．所以①正确．
由题意可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所以．
则直线与直线的斜率乘积为．所以②正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，．根据抛物线的对称性可知，
，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上．
由上，有，，
则．
所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以．
于是，，
代入，，得，
所以．
所以③正确．
故选：D
【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.
5．已知，且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于的式子，代入从而求得结果.
详解：根据题中的条件，可得为锐角，
根据，可求得，
而，故选B.
点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.
6．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，
，，，
因为点在线段的延长线上，设，

解得

，
所在直线的方程为
因为点在边所在直线上，故设






当时
故选：

【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
7．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.
【详解】由题,因为,所以,
设,则由,可得,解得,
可将三棱锥还原成如图所示的长方体,

则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,
所以外接球的体积.
故选:A
【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.
8．执行如下的程序框图，则输出的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.
【详解】满足，执行第一次循环，，；
成立，执行第二次循环，，；
成立，执行第三次循环，，；
成立，执行第四次循环，，；
成立，执行第五次循环，，；
成立，执行第六次循环，，；
成立，执行第七次循环，，；
成立，执行第八次循环，，；
不成立，跳出循环体，输出的值为，故选A.
【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
9．设为锐角，若，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用诱导公式和二倍角公式计算．
【详解】．
故选：D．
【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系．
10．已知函数，则下列结论错误的是
A．函数的最小正周期为π
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】D
【解析】由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D.
【详解】由题知，最小正周期，所以A正确；当时，
，所以B正确；当时，，所以C正确；由
的图象向左平移个单位，得
，所以D错误.
故选：D.
【点睛】本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.
11．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出
和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.
【详解】设,根据图象可知,
,
再由, 取,
∴.
将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,
∴.
,,
令,则,显然,
∴是的必要不充分条件.
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.
12．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆交双曲线于两点，若直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，可得，在中，由余弦定理得，结合双曲线的定义，即得解.
【详解】
连接，
则，，
所以，
在中，，，
故
在中，由余弦定理

可得.
根据双曲线的定义，得，
所以双曲线的离心率
故选：D
【点睛】本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题
13．曲线在点处的切线方程是________.
【答案】
【解析】根据导数的几何意义先求解出切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程.
【详解】，.又，所以切点坐标为.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程的求法，主要考查导数的几何意义，难度较易.
14．函数在的零点个数为________．
【答案】
【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数．
【详解】［方法一］：【最优解】

由题可知，或
解得,或故有3个零点．
故答案为：．
方法二：
令，即，解得，，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3．
故答案为：．
【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；
方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．
15．已知数列满足对任意，若，则数列的通项公式________．
【答案】
【分析】由可得，利用等比数列的通项公式可得，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.
【详解】由，得
，数列是等比数列，首项为2，公比为2，
，，

，
，满足上式，.
故答案为:.
【点睛】本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.
16．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则__________．

【答案】
【分析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出．
【详解】四棱锥为阳马，侧棱底面，
且，，设该阳马的外接球半径为，
该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，
，
，
侧棱底面，且底面为正方形，
内切球在侧面内的正视图是的内切圆，
内切球半径为，
故．
故答案为．

【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.

三、解答题
17．设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆外一点满足，平行于轴，，动点在直线上，满足.设过点且垂直的直线，试问直线是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）根据点到直线的距离公式可求出a的值，即可得椭圆方程；
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根据，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根据向量的运算可得，即可证明．
【详解】（1）左顶点A的坐标为（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴椭圆C的标准方程为+y2＝1，
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），则依题意可知y1≠y0，得（x0﹣2 x0，y1﹣2y0） （0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y0 （舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴•＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题.
18．已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若“，”为假命题，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1））当时，将函数写成分段函数，即可求得不等式的解集.
（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“，”为真命题，只需满足即可.
【详解】解：（1）当时，
由，得.
故不等式的解集为.
（2）因为“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
所以.
因为，
所以，则，所以，
即，解得，即的取值范围为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.
19．如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【详解】试题分析：（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件
得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.
（1），，
又是等腰三角形，所以，
把点代入椭圆方程，求得，
所以椭圆方程为；
（2）由题易得直线、斜率均存在，
又，所以，
设直线代入椭圆方程，
化简得，
其一解为，另一解为，
可求，
用代入得，，
为定值.
【解析】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率
20．中，内角的对边分别为，.
（1）求的大小；
（2）若，且为的重心，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用正弦定理，转化为，分析运算即得解；
（2）由为的重心，得到，平方可得解c,由面积公式即得解.
【详解】（1）由，由正弦定理得
C，即
∴
∵∴，
又∵
∴
（2）由于为的重心
故，
∴
解得或舍
∴的面积为.
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
21．为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1∶4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中，a，b，c构成以2为公比的等比数列.


文科生
理科生
合计
获奖
6


不获奖



合计


400

（1）求a，b，c的值；
（2）填写上面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】（1）0.005；0.010；0.020；（2）列联表见解析；不能；（3）答案见解析.
【分析】（1）由题知，再结合成等比数列得即可得答案；
（2）根据题意完善列联表，求得的观测值，故不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关；
（3）由题知获得“优秀作文”学生的概率为，故，再根据二项分布的公式求解即可.
【详解】(1)由题意，得，
而构成以2为公比的等比数列，
所以，解得.
则.
(2)获得“优秀作文”的人数为.
因为文科生与理科生人数之比为1∶4，所以文科生与理科生人数分别为80，320.
故完成2×2列联表如下：

文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400

由表中数据可得
的观测值，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.
(3)由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为 ，
将频率视为概率，所以可取，且.
则
故X的分布列为
X
0
1
2
P




故X的期望为（或）
【点睛】本题考查了频率分布直方图、独立性检验、分层抽样、二项分布的概率公式和数学期望公式，考查运算求解能力，属于中档题.本题第三问解题的关键在于由题知获得“优秀作文”学生的概率为,进而根据二项分布的概率公式求解.
22．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
设的平分线与边交于点，已知，，求的值.
【答案】；.
【解析】利用正弦定理化简求值即可；
利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出的值.
【详解】解：，由正弦定理得：，
，
，
，
，
又，为三角形内角，故，，
则，故，；
（2）平分，设，则,,
，，则，
，又，
则

在中，由正弦定理：，.
【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.