2023届河北省衡水市安平县高三上学期12月调研数学试题（解析版）

2023届河北省衡水市安平县高三上学期12月调研数学试题

一、单选题

1．已知集合，，集合，则集合的子集的个数为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】C

【分析】，求出，再求的子集.

【详解】因为，，

，所以集合的子集的个数为，

故选：C.

【点睛】本题考查集合的基本运算及子集的概念，属于基础题.

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B．4 C． D．32

【答案】C

【分析】求出，即得解.

【详解】解：因为，

所以，

所以.

故选：C

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以齐次式法去求值即可解决.

【详解】

故选：A

4．（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式计算可得；

【详解】解：

．

故选：C

5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车，80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（    ）（参考数据：，）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】根据题意列出不等式，利用指对数幂的互化和对数的运算公式即可解出不等式.

【详解】设该驾驶员至少需经过x个小时才能驾驶汽车，则，所以，则，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车.

故选：C

6．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，则 D．若，，，则

【答案】C

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可；

【详解】解：对于选项A，，，m与n可以平行、异面或者相交，故A错误；

对于选项B，因为，，所以.又，所以，故B错误；

对于选项C，由，则存在直线，使得，又，所以，且，所以.故C正确；

对于选项D，因为，可设，则当，时，可得到，，但此时.故D错误.

故选：C

7．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，若的垂直平分线过的下顶点，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题干条件得到，进而列出方程，求出，进而求出离心率.

【详解】由题可知，因为的垂直平分线过的下顶点，所以，则，解得：，所以的离心率.

故选：A

8．已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则数列是单调递减数列 B．若，则数列是单调递增数列

C．时， D．时，

【答案】C

【分析】将式子进行变形，构造等差数列，之后构造新函数，进而得到结果.

【详解】由得，

即，

所以数列是以4为公差的等差数列，

函数，

A项，，，在上是单调递增函数，即数列是单调递增数列，

B项，，在上是单调递减函数，即数列是单调递减数列，

C项，时，可知，，

，

D项，时，，由C知，，

故选：C.

二、多选题

9．已知等差数列的前n项和为，且，，，则（    ）

A．数列是递增数列 B．

C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14

【答案】BCD

【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果.

【详解】等差数列中，，，，

，公差，数列是递减数列，A错误

，

，B正确.

，数列是递减数列，

当时，最大,C正确.

,

,.

当时，n的最大值为14,D正确.

故选:BCD.

10．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（    ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

【答案】CD

【分析】计算混合检测分式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数，知，利用求解可得p的范围，即可得出选项.

【详解】设混合检测分式，样本需要检测的总次数可能取值为

，

故的分布列为：

设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则

要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需

即，即，即

又，，

故选：CD

11．设，，且，则“”的一个必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】题中为必要条件，则能推出选项，逐一判断

【详解】对于A，若，则成立；

对于B，若，则，成立；

对于C，，无法判断出；

对于D，，且，因为，所以不能得出与2的大小关系.

故选：AB

12．已知函数有两个极值点，，则（    ）

A．a的取值范围为（－∞，1） B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出的取值范围，进而确定的取值范围，再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.

【详解】由题设，且定义域为，则，

当时，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，A错误；

当时，即单调递增，当时，即单调递减，即，

当时，，所以至多有一个零点；

当时，，而，当趋向于0时趋于负无穷大，当趋向于正无穷时趋于负无穷大，

综上，，在内各有一个零点，且，

B：由且趋向于0时趋于负无穷大，所以，故，

令，

，

又，所以单调递减，

故当时，，

又，所以，

而，因此，故正确；

C：，

令，显然有，令，显然，

因此有：，

设，则，

当时，单调递减，当时，单调递增，

因为，所以，

令，即，

因为，所以单调递增，

因为，所以，

而，所以，

因为，所以，

当时，单调递减，因此有，即，正确；

D：由，则，故，正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：构造函数、、，利用导数研究单调性，根据单调性进行求解.

三、填空题

13．展开式中的常数项是______．

【答案】

【分析】写出展开式通项，令的指数为零，求出对应的参数，代入通项计算即可得解.

【详解】的展开式通项为，

因为，

在的展开式通项，由，可得，

在的展开式通项，由，可得.

因此，展开式中的常数项是.

故答案为：.

14．2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）

【答案】36

【分析】先将4名同学按2,1,1分成3组，再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.

【详解】将4名同学按2,1,1分成3组有种方法.

再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种

则所有分配方案共有种

故答案为：36

15．已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则______．

【答案】3

【分析】设出，则可得，根据数量积的坐标运算可得到的表达式，结合可得答案.

【详解】设 ，则,且，

则，

故答案为：3

16．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示）

【答案】（，n为奇数）

【分析】可得为奇数时，即数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.

【详解】当为奇数时，为偶数，为奇数，

则，

故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，

（，n为奇数），

故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为（，n为奇数）.

故答案为：（，n为奇数）.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列.

四、解答题

17．已知数列的前n项和为，满足，n∈N*．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列{bn}的前100项的和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用得到等比数列，求出通项公式；（2）结合第一问利用等比数列求和公式及分组求和进行求解.

【详解】（1）由，得，

两式相减得，即，

又当n=1时，，解得：，

所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；

（2）由（1）可知，

所以是首项为，公比为的等比数列，共有50项，所以．

18．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．

(1)求∠ACB的大小；

(2)求四边形ABCD的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理及二倍角公式即可求解；

（2）由（1），分别运用正弦定理和余弦定理求出相关边长，再由面积公式计算即可.

【详解】（1）由题意，设，则，，

在中，由正弦定理有，即，解得.

所以，

因为，所以.

（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，

在中，由余弦定理有，

即，解得，

四边形ABCD的面积

.

19．某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：

(1)能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？

(2)以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为，求的分布列和期望．

附：，其中．

【答案】(1)没有

(2)分布列见解析，

【详解】解：（1）因为，

所以没有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关．

（2）由统计表得，女生参加环境保护的频率为，

故从女生中随机抽取1人，此人参加环境保护的概率为，

由题意知，，

则，．

的分布列为

故

20．如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．

(1)求证：；

(2)若二面角的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在；CK的长度为2

【分析】（1）由已知条件可得平面ADE，再由线面垂直的性质可证得结论，

（2）方法一：由已知可得是二面角A－EF－D的平面角，即，过A作，垂足为G，则由面面垂直的性质可得平面CDEF，连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，然后在，和中计算即可，

方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量求解即可

【详解】（1）因为，，，

所以平面ADE．

因为平面ADE，所以．

（2）方法一：

因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．

因为平面ADE，所以平面平面ADE．

过A作，垂足为G，因为平面平面，

所以平面CDEF．

连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，即．

在中，因为，，所以．

在中，因为，所以．

设，过K作于H，则．

在中，由，得，

解之得或（舍），所以，即．

方法二：因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．

建立如图所示的空间直角坐标系，设，则

A（2，0，0），，

设直线AK与平面CDEF所成角为，则，从而．

设平面CDEF法向量为，直线AK的方向向量与平面CDEF法向量所成的角为，则．

因为，

所以，令，则

所以，解得．

此时，点K为点F，CK的长度为2．

21．已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，且过点．

(1)求双曲线的方程；

(2)设为双曲线的左顶点，直线过坐标原点且斜率不为，与双曲线交于，两点，直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，与直线，分别交于（不在坐标轴上）两点，若直线，的斜率之积为定值，求点的坐标．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意可得，，解方程求出的值即可求解；

（2），设，，，，直线，的斜率分别为，根据，，可得利用和所表示的点的坐标，同理可得利用和所表示的点的坐标，将整理为关于的方程，由对于任意的恒成立列出等价条件即可求解.

【详解】（1）由可得渐近线方程为：，

因为两条渐近线互相垂直，所以，可得，

又因为，解得：，

所以双曲线的方程为.

（2）设，，，，

由（1）知：，设直线，的斜率分别为，

因为三点共线，所以，即，

因为直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，

所以，即，所以，

由可得，所以，

同理可得，

因为直线，的斜率之积为定值，设定值为，

则，

整理可得：，其中，

因为上式对任意的都成立，所以，可得，，

所以点的坐标为.

【点睛】思路点睛：破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出草图，把已知条件翻译到图形中；二是“转化”搭桥，即利用斜率，联立方程等，将问题代数化，一般运算量较大.

22．已知，其中．

(1)当时，分别求和的的单调性；

(2)求证：当时，有唯一实数解；

(3)若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）当，时，，当，时，，利用导数计算即可判断单调性.

（2）当时，等价于，构造函数，则，讨论当n为偶数，当n为奇数时，的单调性，结果即可证得结果.

（3）等价于．由（2）知，，即可求得结果．

【详解】（1）．

当，时，，．

由，得；由，得．

所以，在单调递增，在单调递减．

当，时，，．

因为,可知当，取得极小值0，可知，所以在单调递增．

（2）当时，．

即，即

令，则．

所以，当n为偶数时，，单调递减．

因为，所以有唯一解．

当n为奇数时，若，则，在单调递增；

若，则，在单调递减．因为，所以有唯一解．

综上，当时，有唯一实解．

（3）当，时，等价于，

即，即．

由（2）知，，所以，．