2023届河北省廊坊市安次区高三上学期12月调研数学试题（解析版）

2023届河北省廊坊市安次区高三上学期12月调研数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合交集与补集概念进行计算.

【详解】由题意可得：，则.

故选：D

2．设复数，，则（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】A

【分析】通分后再利用复数的乘法运算即可.

【详解】.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.

3．若点在角的终边上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先将点化简，得，结合同角三角函数先求出，再结合二倍角公式求出即可

【详解】由得，

则，.

故选：A.

4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右移个单位

【答案】D

【分析】先对函数的解析式进行整理，再结合三角函数的平移规律即可得到结论．

【详解】因为：．

所以：函数的图象向右平移个单位，

可得到函数的图象．

故选:D.

5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车，80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（    ）（参考数据：，）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】根据题意列出不等式，利用指对数幂的互化和对数的运算公式即可解出不等式.

【详解】设该驾驶员至少需经过x个小时才能驾驶汽车，则，所以，则，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车.

故选：C

6．已知向量，若，则在上的投影是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据坐标先求得向量，结合平面向量数量积的运算律求得，即可由平面向量投影的定义求得在上的投影.

【详解】向量，则，

因为，

则，即，

所以，

在上的投影为.

故选：D.

【点睛】本题考查由坐标求平面向量模，平面向量数量积的运算律简单应用，投影的定义和求法，属于基础题.

7．已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过且倾斜角为的直线与双曲线的渐近线交于 点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】由焦点到渐近线的距离为和得直线与双曲线的渐近线垂直，进而在中求解即可.

【详解】解：由题知，所以到渐近线的距离为，

因为，所以直线与双曲线的渐近线垂直，

所以在中，，.

所以.

故选：A

二、多选题

8．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，曲线在点处的切线方程为

B．当时，在定义域内为增函数

C．当时，既存在极大值又存在极小值

D．当时，恰有3个零点，且

【答案】BCD

【分析】按照导数几何意义解决；

证明导数为正值即可；

以极值定义去判定；

构造函数去证明.

【详解】选项A: 当时，曲线,

则，切线斜率

又，

故曲线在点处的切线方程为.

A选项错误；

选项B:

令，

则

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

在处取得最小值

当时，对任意恒成立，

则对任意恒成立，

故当时，在定义域内为增函数.B选项正确；

选项C:

由以上分析知道：

在处取得最小值

当时，必有二根，

不妨设为

则当时，，，为增函数，

当时，，，为减函数，

当时，，，为增函数，

故既存在极大值又存在极小值. C选项正确；

选项D: 由上面分析可知既存在极大值又存在极小值，

不妨设的极大值点为m，极小值点为n,且，

在上单调递减，又

故极大值为正值，极小值为负值，

当时，；当时，

故函数有三个零点，不妨设为，

又

故有，则

即当时，恰有3个零点，且正确.

故选：BCD

9．下列式子等于的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据诱导公式，即可判断A，B不正确；根据三角恒等变换，即可判断C正确；根据余弦的二倍角公式，即可判断D正确，由此即可得到答案.

【详解】，故A不正确；

，故B不正确；

，故C正确；

，故D正确.

故选：CD.

10．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ）

A．该地水稻的平均株高为100

B．该地水稻株高的方差为10

C．随机测量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大

D．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率一样大

【答案】AC

【分析】由可知，由此判断A正确，B错误;然后根据正态分布的对称性及原则求解概率判断C和D.

【详解】由正态分布密度曲线函数，得，该地水稻的平均株高为，所以A正确；该地水稻株高的方差为，所以B不正确；

，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以C正确；

根据正态分布的对称性可知：,所以株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率不一样大，所以D错误；

故选：AC

11．已知直线：与抛物线C：相交于A，B两点，点A在x轴上方，点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】由题意可知，抛物线的准线为，利用抛物线的几何性质求出和抛物线的方程和焦点坐标，结合直线的方程可知，直线经过焦点，利用抛物线的定义表示出以为直径的圆的半径和圆心,由得到关于的方程，解方程求出，利用抛物线的定义求得焦半径计算可判断的对错.

【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；

因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，

又直线 ，所以直线恒过抛物线的焦点，

设点，因为两点在抛物线上，

联立方程，两式相减可得，，

设的中点为，则，因为点在直线上，

解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心，

由抛物线的定义知，圆的半径，

因为，所以，

解得，故选项B正确；

因为，,所以，故选项C正确；

过做轴，过做轴，抛断线的准线交轴与点，设,

，，

，，

又，，则，

则D错误.

故选：ABC

【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质、圆的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.

12．已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱，的中点，M为线段BD上的动点，则（    ）

A．

B．

C．三棱锥的体积为定值

D．M为BD的中点时，则二面角的平面角为60°

【答案】BC

【分析】由题可得与不平行可判断A，利用线面垂直的判断定理及性质定理判断B，利用棱锥的体积公式可判断C，利用坐标法可判断D.

【详解】由正方体的性质可知，与不平行，故A错误；

由正方体的性质可知，又，

∴平面，又平面，

∴，故B正确；

由题可知M到平面的距离为定值d=2，三角形的面积为定值，所以为定值，故C正确；

如图建立空间直角坐标系，则

∴，

设平面PQM的法向量为，则

，令，则，

平面的法向量可取，

设二面角的平面角为，则

，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．展开式的常数项为__________．

【答案】3

【分析】用通项写出第r+1项，整理后令x的指数为0解出r，然后可得.

【详解】，令，得，

所以常数项为.

故答案为：3

14．2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）

【答案】36

【分析】先将4名同学按2,1,1分成3组，再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.

【详解】将4名同学按2,1,1分成3组有种方法.

再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种

则所有分配方案共有种

故答案为：36

15．双曲线的右焦点为F，直线与双曲线相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为___________.

【答案】

【分析】先设出A，B坐标,然后利用直角三角形性质,建立等式,计算即可．

【详解】由题意可知：双曲线（，）焦点在x轴上,右焦点F(c,0)，

则,整理得：,即，

∴A与B关于原点对称,设，

,

∵，

∴，即,

整理得：，

∴,即，

∴，

∵，

∴，

∴，即.

故答案为：

16．函数满足且，则称函数为M函数．当时，，，且，均为M函数，则方程在区间上所有根的和为______．（参考数据：，）

【答案】

【分析】由条件可得M函数为周期为，图象关于对称的函数，由条件作出函数，的图象，观察图象确定方程在区间上所有根，由此可得答案.

【详解】∵ 函数为M函数，

∴ ，

∴ 函数的周期为，函数的图象关于直线对称，

同理可得函数的周期为，函数的图象关于直线对称，

又当时，，，

∵ 函数在上为增函数，在上为减函数，

在上为减函数

当时，，，

，又，，

∴，故

当时，，，

∴

当时，，，

∴

由此可做函数，在上的图象如下：

由图象可得函数，的图象在上有12个交点，

∴ 方程在区间上有12个根，从小到大依次记为

，由图象知，，，

∴方程在区间上所有根的和为.

故答案为：

四、解答题

17．已知数列满足，；数列前项和为，且，.

(1)求数列和数列的通项公式；

(2)设，求前项和.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；

（2）利用错位相减法进行求解即可.

【详解】（1），，∴，又，，

（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列,

∴，，（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列.

∴，∴，∴，

∵，∴时，，∴，

又，∴时，，，∴；

（2）由（1）得，

设    ①

则   ②

①②得，

，∴

18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求角C；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.

(2) 由正弦定理边化角，再由三角函数求最值.

【详解】（1）由已知及正弦定理得，

即，由余弦定理得

，可得．

（2）根据正弦定理得

，

又，则

故，则的取值范围是．

19．中国载人航天工程办公室发布消息，为发挥中国空间站的综合效益，中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向全球进行直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况，现从高三某班随机选取10名学生进行调查，发现有6名学生观看了直播，4名学生未观看直播.

(1)若从这10名学生中任选2名学生，求至多有1名学生未观看直播的概率；

(2)若从这10名学生中任选3名学生，记其中观看了直播的学生人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）任选2名学生，至多有1名学生未观看直播包括这2名学生都观看直播和恰好有1人观看直播两种情况，根据古典概率公式可得答案.

（2）由题意可取0，1，2，3，分别求出其概率，可得分布列，由期望公式可得数学期望.

【详解】（1）设“从10名学生中任选2名学生，至多有1名学生未观看直播”为事件，

.

（2）由题意可知可取0，1，2，3

，，，，

【点睛】.

20．在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．

(1)求证：AD⊥PC；

(2)求二面角P-AB-C的余弦值；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）面面垂直得线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，

∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，

∴AD⊥PC；

（2）在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH⊂平面PDC，

∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，

以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，

∵DH⊥平面ABCD，

∴平面ABCD的一个法向量为，又，，设平面PAB的一个法向量为，

由，取，则，

∴，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，

∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；

21．已知O坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出直线的方程为：，原点到直线的距离为，列出关系式，通过，根据三角形的面积，求出，，即可得到椭圆的标准方程．

（2）依题意可得，即可判断直线与的斜率均存在，设：，，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理即可得到点坐标，同理得到点坐标，从而得到、，再利用基本不等式及对勾函数的性质计算可得；

【详解】（1）解：由题意，①

，，则直线的方程为：，即为，

原点到直线的距离为，

，

，②

，③

由①②③得：，，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）解：由（1）可知，因为，所以，

若直线或中有一条直线斜率不存在，那么、中一点与重合，故斜率一定存在，

设：，则的斜率为，

由可得：，

设，，，，则，，所以

，即，

同理将代入得，

所以，，

所以

令，则，当且仅当即时取等号，

所以，所以，

因为函数在上单调递增，所以当时，

所以，即面积的最大值为；

22．已知，其中．

(1)当时，分别求和的的单调性；

(2)求证：当时，有唯一实数解；

(3)若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）当，时，，当，时，，利用导数计算即可判断单调性.

（2）当时，等价于，构造函数，则，讨论当n为偶数，当n为奇数时，的单调性，结果即可证得结果.

（3）等价于．由（2）知，，即可求得结果．

【详解】（1）．

当，时，，．

由，得；由，得．

所以，在单调递增，在单调递减．

当，时，，．

因为,可知当，取得极小值0，可知，所以在单调递增．

（2）当时，．

即，即

令，则．

所以，当n为偶数时，，单调递减．

因为，所以有唯一解．

当n为奇数时，若，则，在单调递增；

若，则，在单调递减．因为，所以有唯一解．

综上，当时，有唯一实解．

（3）当，时，等价于，

即，即．

由（2）知，，所以，．