2023届黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2023届黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高三上学期第三次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知，，则的子集个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】求出补集，再由子集的定义求解．

【详解】由已知，子集有4个．

故选：C．

2．若，则（    ）

A．1 B．2 C．－1 D．－2

【答案】A

【分析】先利用复数的除法化简复数z，进而得到共轭复数求解.

【详解】解：，

则，所以，

故选：A

3．过两点，的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，再由点斜式可得直线的方程.

【详解】因为点，，所以直线的斜率为，

所以过两点，的方程为即，

故选：A.

4．命题“”的否定形式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出否定形式即可.

【详解】命题“”的否定形式是 “”，

故选：D

5．已知，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由于，可得，再将化为，然后利用基本不等式可求出其最小值

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故选：B

6．已知数列的前项和为，当时，（    ）

A．20 B．12 C．8 D．4

【答案】C

【分析】根据求解即可.

【详解】由题知：.

故选：C

7．已知，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C．， D．

【答案】A

【分析】根据直线的斜率与倾斜角的变化关系求解即可.

【详解】如图所示：

由题意得，所求直线的斜率满足或，

即，或，或，所以直线的斜率的取值范围是

故选：A.

8．已知向量，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先根据向量的坐标运算求出的坐标，再利用模长公式求解.

【详解】因为向量，所以，所以；

故选：D.

9．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.

【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．

【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．

10．若异面直线l1，l2的方向向量分别是，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用数量积公式求异面直线的夹角的余弦值即可.

【详解】因为，所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于基础题.

11．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则以下命题一定正确的序号是（    ）

①如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β

②如果，，那么

③如果，，那么

④如果m⊥n，m⊥α，，那么α⊥β

A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④

【答案】A

【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．

【详解】①如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，直线的方向向量分别是平面的法向量，法向量垂直，则两个平面垂直，那么α⊥β，命题正确；

②如果，，直线与平面无公共点，那么，命题正确；

③如果，，与可相交，可平行也可异面，命题错误；

④如果m⊥n，m⊥α，，与可能平行，可能相交，相交时也可能垂直，命题错误．

故选：A．

12．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（    ）．

A．0 B． C．0或 D．0或

【答案】C

【分析】根据向量夹角公式解方程即可得解

【详解】由题可得：

所以

两边同时平方：

所以等于0或.

故选：C

二、填空题

13．若，则__________．

【答案】

【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.

【详解】.

故答案为：.

【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.

14．幂函数在上增函数，则________.

【答案】3

【分析】根据幂函数的定义和单调性，求得的值.

【详解】由于函数为幂函数，所以，解得或，当时，函数为，不满足在上递增，故舍去.当时，符合题意.综上所述，的值为.

【点睛】本小题主要考查幂函数的定义，考查幂函数的单调性，属于基础题.

15．在三棱锥中,平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________

【答案】

【分析】以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积.

【详解】由题意，在三棱锥中，平面，

以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥的外接球，

所以三棱锥的外接球的半径为，

所以三棱锥的外接球的表面积为.

【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.

16．记为等差数列的前n项和．若，则__________．

【答案】

【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.

【详解】是等差数列，且，

设等差数列的公差

根据等差数列通项公式：

可得

即：

整理可得：

解得：

根据等差数列前项和公式：

可得：

.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

三、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

（1）若a=c，b=2，求的面积；

（2）若sinA+sinC=，求C.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；

（2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.

【详解】（1）由余弦定理可得，

的面积；

（2）[方法一]：多角换一角

，

，

，

.

[方法二]：正弦角化边

由正弦定理及得．故．

由，得．

又由余弦定理得，所以，解得．

所以．

【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.

18．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求，的值；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)，

(2)最大值1；最小值

【分析】（1）根据图象直接可得与函数的最小正周期，从而求出.

（2）由（1）可得函数解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）解：由图象知，由图象得函数的最小正周期为，

则由得．

（2）解：由（1）知，

，，

，

．

当，即时，取得最大值1；

当，即时，取得最小值．

19．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得

，即，从而证得平面，即可证得结论；

（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.

【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，

在上，，

是圆内接正三角形，，≌，

，即，

平面平面，平面平面；

（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，

，解得，，

在等腰直角三角形中，，

在中，，

三棱锥的体积为.

【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.

20．已知{an}是各项均为正数的等比数列，，．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设，求数列{bn}的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；

（2）把（1）中求得的的通项公式代入，得到，说明数列是等差数列，再由等差数列的前项和公式求解．

【详解】（1）是各项均为正数的等比数列，设等比数列的公比为，

由，，得，即，解得（舍或．

；

（2），，，

数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

则数列的前项和．

21．如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点．

(1)求证：；

(2)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标，

（1）求出直线的方向量，利用证明即可；

（2）求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.

【详解】（1）由题意，以为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示

可得，，，

，，

所以，，

从而，所以

所以；

（2）因为平面，平面，

所以，，,

所以平面.

所以平面的一个法向量为

，

设为平面的法向量，

则，即，令，则，

可得．

设二面角所成的角为，则

，

所以二面角的正弦值为.

22．已知函数．

（）求函数的极值点．

（）设函数，其中，求函数在上的最小值．

【答案】（1）是函数的极小值点，极大值点不存在．（2）见解析

【详解】分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值点，（2）先作差函数，求导得，再根据零点 与区间 关系分类讨论 ，结合单调性确定函数最小值取法.                   

详解：解：（）函数的定义域为，，

∴令，得，令，得，

∴函数在单调递减，在单调递增，

∴是函数的极小值点，极大值点不存在．

（）由题意得，

∴，

令得．

①当时，即时，在上单调递增，

∴在上的最小值为；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

∴在上的最小值为；

③当，即时，在区间上单调递减，

∴在上的最小值为，

综上所述，当时，的最小值为；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为．

点睛：求含参数问题的函数最值，一般利用导数结合参数讨论函数单调性，根据单调性求最值.讨论点一般分为导函数有无零点，导函数零点在不在定义区间，导数零点对单调性的分割.