2023届四川省遂宁市高三上学期12月“一诊”模拟考试数学（文）试题（解析版）

遂宁市2022-2023学年高三上学期12月“一诊”模拟考试

（文科数学）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．若集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

3．抛物线的焦点为F，P为抛物线C上一动点，定点，则的最小值为（    ）

A．8 B．6 C．5 D．9

4．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

5．某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示：

表格可得y关于x的线性经验回归方程为，则测此回归模型第4周的治愈人数为（    ）

A．105 B．104 C．103 D．102

6．设双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

7．若x，y满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数的图象如图所示，当时，有，则下列判断中正确的是（    ）

A．，，  B．，，

C．，， D．，，

9．函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．已知为偶函数，为奇函数，且满足．若对任意的都有不等式成立，则实数m的最大值为（    ）．

A． B． C．1 D．

11．设半径为R的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，，则球半径R的最小值是（    ）

A．2 B． C． D．4

12．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量，，若，则_______．

14．若函数的定义域和值域分别为和，则满足的函数概率是_______．

15．设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；

（2）若外一条直线l与内一条直线平行，则l和平行；

（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；

（4）若l与内的两条直线垂直，则直线l与垂直．

以上说法正确的是_______．（写出序号）

16．设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为_______．

三、解答题：本大题共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知等差数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒．对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

（1）现在用分层抽样的方法在第二，三组共选取5人参加传染病知识学习，若从参加学习的5人中随机选取2人参加考试，求恰有一人来自第二组的概率；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．

附：

，其中．

19．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

（1）若，求ABC的周长；

（2）若，求ABC的面积．

20．是等腰直角三角形，且，四边形ABCD是直角梯形，，，且，平面平面ABCD．

（1）求证：平面BPD；

（2若点E是线段PB上的一个动点，问点E在何位置时三棱锥的体积为．

21．已知函数．

（1）当时，求的最大值；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），的参数方程为（t为参数）．

（1）求的普通方程并指出它的轨迹；

（2）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线：与曲线的交点为O，P，与的交点为Q，求线段PQ的长．

23．已知函数的最大值为k．

（1）求k的值；

（2）若，，求的最大值．

答案

1．B  【详解】根据集合M表示纵坐标为1的点集，集合N表示横坐标为0的点集，所以两者交集为．

2．B  【详解】因为复数，所以．故选：B．

3．A  【详解】如图，设抛物线C的准线为l，过P作于C，过A作于B，因为，所以当A，P，C三点共线时，

取得最小值，故的最小值为，故选：A．

4．C  【详解】因为，则，，因为，所以，解得．所以．

5．A  【详解】设第4周的治愈人数为m，，

样本中心点为将代入中，，

解得：．

6．【解析】由双曲线方程可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为，所以，．故选：B．

7．D  【详解】由题可知，表示图中阴影部分表示与阴影部分内的点的连线的斜率．

如图所示，A为的交点为，当与连线时，此时斜率最大为，可取到；

当过的直线与平行是斜率最小为，取不到；故．故选D．

8．B  【详解】由图象可得，定义域为，所以可能是的解，也可能是的解，当是的解时，，此时的解为，跟题意不符；

当是的解时，2，符合要求，所以，故A错；

因为，，，所以，

当时，，而，所以的符号在时不变，则的符号也不变，所以只能大于零，即0，故D错；

因为，，所以，即，故B正确，C错．故选：B．

9．A  【详解】∵，∴关于对称，

∴，解得：，

又∵，∴，∴

，，即：，，设，

则在有两个实根，即：在有两个交点，如图所示，

当时，，

∴，即：，

故选：A．

10．D  【详解】为偶函数，为奇函数，且 ①

∴ ②

①②两式联立可得，．

由得，

∵在是增函数，且，在上是单调递增，

∴由复合函数的单调性可知在为增函数，

∴，∴，即实数m的最大值为．故选：D．

11．A  【详解】设，，，AB，AC，AD两两垂直，∴，

，当且仅当等号成立即．

12．D  【详解】构造，，，

在时为减函数，

且，

所以在恒成立，

故在上单调递减，所以，

即，所以，即．故选：D．

13．5  故答案为：5

14．  【详解】因函数的定义域和值域分别为和，则函数有6个，它们是：

，；，；，；

，；，；，，

满足的函数有2个数，它们是，或，，

因此满足的函数有4个，所以满足的函数概率是．

15．（1）（2）

【详解】对于（1），若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，由面面平行的判定定理可知，平行于，所以（1）正确；

对于（2），若外一条直线l与内一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，l和平行，所以（2）正确；

对于（3），和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，这时和所成的角可以是直角，也可是锐角或钝角，所以（3）错误；

对于（4），若l与内的两条直线垂直，则直线l与不一定垂直，可以相交，也可以l在内，只有l与内的两条相交直线垂直时，直线l与垂直．所以（4）错误；故答案为：（1）（2）

16．

【详解】根据题意，令，解得或，不妨设，，

作图如下：

又直线BC的斜率为，数形结合可知，要满足题意，；

且，为方程，即的两根，

当时，，则，，

故；

，为方程，即的两根，

当时，，则，，

故；

则，，

令，，由对勾函数单调性可知在上单调递减，

又，故，即的取值范围为．

17．（1） （2）

【详解】（1）设等差数列的公差为d，

由题意可得解得，故．

（2）设数列的前n项和为，则．

当时，，；

当时，，则

．综上，．

18．【详解】（1）根据分层抽样方法，

第二组抽取人数为，第三组抽取人数为，

假设第二组2人为，；第三组3人为，，，

从5人中抽取2人有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，

共10种选择，恰有一人来自第二组有6种，

故恰有一人来自第二组的概率为；

（2）根据分层抽样方法，

潜伏期不超过6天的抽取人数为，

潜伏期超过6天的抽取人数为，

根据题意补充完整的列联表如下：

则，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．

19．（1）18 （2）

【详解】（1）因为，所以．

又，所以，即．又，所以．

，

解得，则．故的周长；

（2）因为，所以．

由，，得，解得，．

故的面积．

20．【详解】（1）证明：直角梯形ABCD中，，，且，则，由得，

∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，

∵平面，∴，

又，，、平面，∴平面；

（2）设，∵平面，则E到平面的距离d有：，等腰直角三角形，且，则，

∴．

故点E在中点时三棱锥的体积为．

21．（1） （2）

【详解】（1）时，，

则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

则当时，取得最大值

（2），，则，

当时，，在单调递增，

且，则当时，，不符合要求．

当时，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

则当时，取得最大值

则由恒成立，可得成立，

令

则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

则当时，取得最小值

则恒成立，（当且仅当时等号成立）

则的解集为

则a的取值范围为．

22．（1）答案见详解； （2）

23．【详解】（1）由已知可得，，则，

又，所以，则．

所以的普通方程为，轨迹为以为圆心，2为半径的圆的上半圆以及其与x轴的两个交点，．

（2）由曲线：化为极坐标方程：，．

把代入可得，所以．

的参数方程为（t为参数），消去参数t可得，

可得极坐标方程为，把代入方程可得，所以，所以．

又O，P，Q三点共线，且有．

29．（1） （2）2

【详解】（1）由于，

当时，，

当时，，

当时，，

所以，

（2），即，

时等号成立，故，有最大值为2．