2023届河南省TOP二十名校高三上学期调研模拟卷二数学（文）试题（解析版）

2023届河南省TOP二十名校高三上学期调研模拟卷二数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，或，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先计算得到，进而求出交集.

【详解】，故

故选：D

2．已知复数满足，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义求解.

【详解】由题可得，所以，

故选:A.

3．为了评估某种工艺制作零件的效果，随机选出件产品，这件产品的尺寸（单位：）分别为，求得方差为，如果再生产件产品，尺寸都相应扩大为原来的两倍，则这批新产品的方差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合方差的倍数关系可直接求解.

【详解】因为原产品尺寸为：，新产品尺寸为：，原方差为，故新方差为.

故选：B

4．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.

【详解】由已知，利用基本不等式得出，

因为，则，，

所以，，

∴.

故选：C.

5．函数的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．1

【答案】A

【分析】首先切化弦，然后根据的取值范围去绝对值，化简即可得到函数的最大值.

【详解】由于，且

，

∴，由图像可知，当时最大

即

故选：A

6．从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.

【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.

所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为.

故选：C

7．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由对称性可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，计算得底面外接圆半径为，球半径为即可解决.

【详解】由题知，

由三视图特点长对正，高平齐，宽相等可知：

三棱柱高为1，底面正三角形高为3，

所以底面正三角形边长为，

由对称性可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，

设底面外接圆半径为，

所以，解得，

设球半径为，

所以，

所以,

故选：B.

8．在正方体中，E，F分别为棱，棱的中点，则以下说法正确的是（）

A．平面DEF B．平面CEF

C．平面⊥平面DEF D．平面⊥平面DEF

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量工具逐项判断即可

【详解】

不妨设正方体棱长为2,如图,建立空间直角坐标系,则

,设平面DEF的法向量令a=2,b=2则c=-3

易得平面DEF的法向量

,因为与不平行,所以与平面DEF不垂直,故错

,设平面CEF的法向量令x=2,y=2则z=-1

易得平面CEF的法向量

因为,所以与平面CEF不平行,故B错.

因为,所以

又平面平面

所以平面,即

又平面DEF,所以平面平面DEF,故正确

则为平面的一个法向量

,所以平面与平面DEF不垂直,故D错误

故选：C

9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（    ）

A．？ B．？ C．？ D．？

【答案】C

【解析】运行程序，根据输出确定正确选项.

【详解】运行程序，

，

判断否，

，

判断否，

，

判断否，

，

判断否，

，

判断否，

，

判断是，输出，

所以填：？

故选：C

10．已知函数，且.为了得到函数的图象，可以把函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】D

【分析】，可知为的一条对称轴，从而由可解得的值，再由平移变换即可得出答案.

【详解】据题意可知，所以直线是函数的一条对称轴，则，，

解得，即，.

即函数的图象向左平移个单位长度可得，

故选：D.

11．已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据切线长相等的关系求得，利用双曲线定义求解.

【详解】如图，，，，

所以.根据双曲线定义，

所求轨迹是以A，B为焦点，

实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），

方程为.

故选:C.

12．数列满足，，，则数列的首项的值为（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由可得，取倒数利用裂项相消可得，再结合即可求解.

【详解】由可得，

当或时代入显然不成立，

两边取倒数得即，

所有，

，解得，

故选：B

二、填空题

13．与向量共线的单位向量______.

【答案】或

【分析】由的单位向量为计算可得结果.

【详解】由题意知，

又∵

∴或.

故答案为：或.

14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则面积的最大值为______.

【答案】##

【分析】利用余弦定理、面积公式以及基本不等式综合求解.

【详解】因为，

所以，

即，.

，

，，

所以，，

即.

故答案为: .

15．已知定义在R上函数，对任意的有，若函数的图像关于直线对称，则=______.

【答案】

【分析】由题知函数为偶函数，且周期，进而根据周期性与奇偶性求解即可.

【详解】解：因为函数的图像关于直线对称，

所以函数的图像关于y轴对称，即函数为偶函数，

所以，，，，

所以，函数的周期，，

因为，令，，

所以，.

所以

故答案为：

16．直线过抛物线的焦点，分别与抛物线交于与与，两直线的斜率分别为，且，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】联立直线和抛物线方程结合韦达定理得出，再由基本不等式求解.

【详解】设，直线的方程为，联立可得，，即，同理可得，（当且仅当时，取等号），即的最小值为.

故答案为：

三、解答题

17．已知等差数列的前项和为，公差且成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件利用等比数列的等比中项列出表达式，再利用等差数列的通项公式进行转化，求出公差，即可求出数列的通项公式

（2）先将第一问的结论代入中化简，对分奇偶分别求出前项和.

【详解】（1）由题意可知，，联立得

，又，所以解得

所以.

（2）由，得，则有.

当为偶数时，

；

当为奇数时，

综上所述：

18．某医学院医疗科学研究组在研究一种新药物功效的试验中，选取了5只小白鼠，观察到注入小白鼠体内的药物剂量x与某种生化指标y之间呈线性相关关系，科研组采集的一组试验相关数据如下表：

(1)若从5只试验小白鼠中随机抽取2只，求其中至少有1只小白鼠的生化指标为0.8的概率；

(2)求y关于x的回归方程，并结合相关系数说明是否可以认为该药物对相应生化指标具有较强的线性关系.

参考公式：相关系数，回归方程，，

其中.参考数据：.

【答案】(1)

(2)，该药物对相应生化指标具有较强的线性关系.

【分析】（1）先计算出样本空间，再根据古典概型计算；

（2）按照线性回归公式分别计算参数和回归方程以及相关系数即可.

【详解】（1）“从5只试验小白鼠中随机抽取2只”所包含的等可能基本事件有：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10个；

“从5只试验小白鼠中随机抽取2只，其中至少1只小白鼠生化指标为0.8”所包含的基本事件为13，14，23，24，34，35，45共7个.

设“从5只试验小白鼠中随机抽取2只，其中至少1只小白鼠生化指标为0.8”为事件A，则；

（2）由表格数据，得，.，

，，，.

所以y关于x的回归方程为，

求得，因为非常接近1，所以可以认为该药物对相应生化指标具有较强的线性关系.

综上，，y关于x的回归方程为，该药物对相应生化指标具有较强的线性关系.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD，梯形ABCD中，，，E是PD的中点.

(1)求证：平面平面PBC；

(2)若，求P到平面AEC的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明求解；（2）利用体积公式求点到平面的距离.

【详解】（1）∵PC⊥平面ABCD，平面ABCD，∴.

取AB的中点M，连接CM，

∵，，∴，，

∴四边形ADCM为平行四边形.

∵，∴为菱形，∴.

∵，∴四边形BMDC为平行四边形,

∴,

∴.又有，平面PBC,

∴AC⊥平面PBC.平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.

（2）∵，，，∴，

又有，，，∴.

，E为PD的中点，，

∴在中，.

由,

得,

求得.

在中，，则，∴的面积.

设P到平面AEC的距离为d，又，解得.

20．已知点P在椭圆C：上.

(1)P与椭圆的顶点不重合，过P作圆的两条切线，切点分别为E，F，直线EF与x轴、y轴分别交于点M，N.求证：为定值；

(2)若，过P的两条直线交C于A，B两点，两直线PA，PB的斜率之和为0，求直线AB的斜率.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据直线与圆相切求出切线方程即可求解；(2)利用韦达定理结合直线PA，PB的斜率之和为0，列出方程即可求解.

【详解】（1）设，，，设切线上任意一点，

因为,所以,

且，所以整理得，

所以切线PE的方程为，

同理PF的方程为：，因为P在切线PE，PF上，

所以，，

所以直线EF的方程为：.

于是得，，所以.

因为P在椭圆上，所以，故.

（2）据题意可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：

，，.

，化简整理得，

于是：，

，.

，.

据题意：.

即，

即，

即，

即，

于是有：或.

当，直线AB：，恒过，

不合要求，舍去.

所以直线AB的斜率为.

21．已知函数.

(1)求函数的最小值；

(2)若方程有两个不同的实数根，且，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)利用导数法求函数最值的步骤解求解；

(2)根据题意构造函数，.对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而利用函数的最值得出，再结合（1）中函数的单调性即可得证.

【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为：.

则，令，解得.

当，，函数单调递减；

当，，函数单调递增.

所以为极小值点，且.

所以函数的最小值为.

（2）根据题意可知：，根据（1）设，，

构造函数，.

，所以在上单调递减.

则有，也即.

因为，所以，也即

因为，，由（1）可知在上单调递增，

所以，也即.由已知，所以.

22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线的极坐标方程为为上一点，以为边做等边，且三点按顺时针方向排列．

(1)当点在上运动时，求动点运动轨迹的直角坐标方程；

(2)当时，若直线与曲线交于点（不同于原点），与曲线交于点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用极坐标中极径相等，极角相差的关系即可求解；（2）根据极径的几何意义直接求解即可.

【详解】（1）设，则，

因为为上一点，所以，

展开得，

所以点运动轨迹：，

化为直角坐标方程得.

（2）曲线中令，解得，

因为，所以曲线：，

令，解得，所以.

23．已知函数．

(1)当时，求的解集；

(2)若区间包含于不等式的解集，求取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；

（2）问题等价于在上恒成立，根据x的范围，去绝对值解不等式.

【详解】（1）时，，

，等价于，解得，

故不等式的解集为

（2）若区间包含于不等式的解集，等价于在上恒成立，

即在上恒成立，得在上恒成立，

即在上恒成立，所以或在上恒成立，

解得或.

所以的取值范围为