2023届四川省成都市金牛区高三上学期阶段性检测（二）数学（理）试题（解析版）

2023届四川省成都市金牛区高三上学期阶段性检测（二）数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据补集的定义可得结果.

【详解】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.

【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．

2．是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【详解】，在复平面上对应的点位于第三象限．故选.

3．二项式展开式中的系数为（    ）

A．120 B．135 C．140 D．100

【答案】B

【分析】利用二项式定理得到的展开式通项公式，求出，，，进而与对应的系数相乘，求出展开式中的系数.

【详解】的展开式通项公式为，

其中，，，

故二项式中的四次方项为，

即展开式中的系数为.

故选：B

4．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝55，S3＝3，则a5等于（    ）

A．5 B．6

C．7 D．9

【答案】C

【分析】利用等差数列的基本量，转化已知条件，求得首项和公差，再求即可.

【详解】设数列{an}的公差为d，

因为数列{an}是等差数列，所以a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝55，

所以a7＝11，又S3＝3，

所以解得

所以a5＝7.

故选：C.

【点睛】本题考查等差数列通项和前项和基本量的计算，属基础题.

5．下列命题中正确命题的个数是

①命题“函数的最小值不为”是假命题；

②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题，则， 均为假命题;

④若命题： ， ，则： ， ；

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用均值不等式判断①的正误，利用逆否命题同真同假判断②的正误，利用为假命题可知p，q至少有一个假命题判断③的正误，利用特称命题的否定为全称命题判断④的正误.

【详解】对于①，设t，t≥3，

∴y＝t在[3，+∞）上单调递增，

∴y＝t的最小值为，

∴函数y（x∈R）的最小值不为2，是真命题，故①错误；

对于②，因为“” 是“” 的必要不充分条件，根据逆否命题同真同假，可知②正确；

对于③，若为假命题，则， 至少有一个为假命题，故③错误；

对于④，若命题： ， ，则： ， 是真命题，

故选B

【点睛】本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑与函数、基本不等式的应用问题，属于中档题．

6．已知函数，则其导函数的图象大致是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】求函数导数，观察图象，确定导函数的奇偶性，再利用导数确定导函数的单调性，即可求解.

【详解】,

,

,

即函数为奇函数，排除B,D选项，

令，

则，

当时，，

在上单调递减，

故选：A

【点睛】本题主要考查了函数的导数，利用导数判定函数单调性，函数的奇偶性，属于中档题.

7．将一个长方体截去一个棱锥后的三视图如图所示，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积比为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】还原三视图后，由棱锥体积公式及长方体体积公式进行计算，即可求出截去三棱锥体积与剩下的几何体体积，进而得到答案．

【详解】如图，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，

即SA＝a，SB＝b，SC＝c．

由长方体，得SA，SB，SC两两垂直，

所以VA﹣SBC＝SA•S△SBC＝a×bc＝abc，

于是VS﹣ABC＝VA﹣SBC＝abc．

故剩下几何体的体积V＝abc﹣abc＝abc，

因此，VS﹣ABC：V＝1：5．

故选：C．

【点睛】本题考查棱柱的体积公式及棱锥的体积公式和三视图的还原问题.

8．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为，那么判断框中应填入（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可知输出结果为S=5040，

通过第一次循环得到S=1×2=2，k=3，

通过第二次循环得到S=1×2×3=6，k=4，

通过第三次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5，

通过第四次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6，

通过第四次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7，

通过第六次循环得到S=1×2×3×4×5×6×7=5040，k=8，

此时执行输出S=5040，结束循环，所以判断框中的条件为k＞7？．

故选：B．

点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：

（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；

（2）观察每次累加的值的通项公式；

（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；

（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；

（5）输出累加（乘）值．

9．某公司安排五名大学生从事四项工作,每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，项工作仅安排一人，甲同学不能从事项工作,则不同的分配方案的种数为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先排特殊再排一般．

【详解】若甲同学在项工作，则剩余4人安排在B、C、D三项工作中，共有种

若甲同学不在项工作，，则在C或D工作，共有种

所以共有36+96=132种，选C

【点睛】本题考查排列组合，属于中档题．

10．已知离心率的双曲线右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点，若的面积为，则的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】双曲线右焦点为，为坐标原点，以为直径圆与双曲线的一条渐近线相交于两点，所以，则，的面积为4，可得，双曲线的离心率，可得，即，解得，选C.

点睛：由离心率的值结合可得到的值，由面积为4，通过考察三角形三边长度可得到关于的另一关系式，解方程组可求得值，在题目求解过程中用到了双曲线的焦点到渐近线的距离为，该性质在有关于双曲线的题目中经常用到，建议记忆.

11．已知函数在上单调递增，在上单调递减，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由已知条件知，x=时f（x）取得最大值1，

从而有ω•﹣=2kπ+，k∈Z，即8ω=12k+4，k∈Z，

又由题意可得该函数的最小正周期T满足：≥且≥，

于是有T≥，0＜ω≤，满足0＜12k+4≤6的正整数k的值为0，

于是ω=，

令t=x﹣，因为x∈[π，2π]，得t∈[，]，

由y=sint，t∈[，]，

得y∈[，1]，即f（x）的值域为[，1]，

由于x∈[π，2π]时，不等式m﹣3≤f（x）≤m+3恒成立，

故有，

解得﹣2≤m，

即m的取值范围是[﹣2，]．

故选：D．

12．若函数恰有三个极值点，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】因为二次函数最多有一个极值点，故先分析的部分；时，令，利用参变分离将变形为，构造新函数，判断的单调性，得出结论：最多仅有两解，因此可确定：时有两个极值点，时有一个极值点. 时，利用与有两个交点时(数形结合)，对应求出的范围；时，利用二次函数的对称轴进行分析可求出的另一个范围，两者综合即可.

【详解】由题可知，当时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当，令，，解得，综上，.

【点睛】分析极值点个数的时候，可转化为导函数为零时方程解的个数问题，这里需要注意：并不是导数值为零就一定是极值点，还需要在该点左右两侧导数值符号相异.

二、填空题

13．设，满足约束条件，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解.

【详解】作可行域，如图，则直线过点A(1.1)时取最小值

【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．已知等比数列的首项为，且，则__________.

【答案】

【分析】先由等比数列的通项公式得到，进而得到，再根据等比数列的性质得到结果.

【详解】设等比数列的公比为，因为，根据等比数列的通项公式的计算得到：，所以.由等比数列的性质得到：.

故答案为128.

【点睛】这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础. 对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.

15．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．

【答案】4

【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．

【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．

再根据弦长为4，可得经过圆心，

故有，

求得，则，

当且仅当时，取等号，

故则的最小值为4，

故答案为4

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．

16．已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为______.

【答案】

【分析】记三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面的距离为h，

利用三棱锥的体积为求得，利用为球O的直径求得球心O到平面的距离等于，求得正的外接圆半径为，再利用截面圆的性质列方程即可得解．

【详解】依题意，记三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面的距离为h，

则由得.

又为球O的直径，因此球心O到平面的距离等于，

又正的外接圆半径为，

因此.

所以三棱锥的外接球的表面积为.

【点睛】本题主要考查了方程思想及锥体体积公式，还考查了转化思想及利用正弦定理求三角形的外接圆半径，考查了截面圆的性质及球的表面积公式，考查计算能力及空间思维能力，属于难题．

三、解答题

17．某市拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该市在某学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.

(1)请将上述列联表补充完整；

(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；

(3)若在该市男生中随机抽取5人（以频率估计概率），求抽到喜欢游泳的男生人数的数学期望.

下面的临界值表仅供参考：

（参考公式：，其中）

【答案】(1)答案见解析

(2)有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关，理由见解析

(3)4

【分析】（1）根据这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，求出喜欢游泳的学生人数，数据分析得到其他数据，填写列联表；

（2）在第一问基础上计算出卡方，与10.282比较后得到相应结论；

（3）先求出男生中喜欢游泳的概率，从而得到，计算出期望.

【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，

所以喜欢游泳的学生人数为人，其中女生有20人，男生有40人，

则不喜欢游泳的有40人，其中女生有30人，

列联表补充如下：

（2）因为

所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关

（3）易知，样本中有男生50人，喜欢游泳的有40人，故随机抽取一人，抽到喜欢游泳的概率P=0.8，

设在该市男生中随机抽取5人，抽到喜欢游泳的男生人数为X，则

，

故E（X）=5×0.8=4.

18．已知分别为内角的对边，且．

（1）求角A；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合，利用同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求的值．

（2）由已知利用余弦定理可得：，解方程可得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．

【详解】解：（1）．

由正弦定理可得：，

，

，即，

，

．

（2），，，

由余弦定理，

可得：，可得：，

解得：或（负值舍去），

．

19．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

【答案】(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）.

【分析】(Ⅰ) )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；

（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

【详解】(Ⅰ)连接交于点，连接，则为中点，

为的中点，所以，

平面平面，

所以平面；

（Ⅱ）设菱形的边长为，

，

，则.

取中点，连接.

以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，

以方向为轴，建立如图所示坐标系.

，，，

，，

设平面的法向量为，

由，

得，令，则

，

平面的一个法向量为

，

即二面角的余弦值为.

【点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

20．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由离心率与列出方程组，求出，从而得到，求出椭圆方程；

（2）先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据列出方程，求出，得到直线方程.

【详解】（1）由已知得，解得，

，

所求椭圆的方程为；

（2）由（1）得.

①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得.

设，

，这与已知相矛盾.

②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，

设，联立，

消元得，

，

，

又，

，

化简得，

解得或（舍去）

所求直线的方程为或.

21．已知函数：

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，是否存在实数m使得对于任意的，函数在区间上总不是单调函数?若存在，求m的取值范围；否则，说明理由；

（3）求证：．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析，（2）存在满足题意，（3）见解析.

【分析】（1）求出，对的范围分类讨论即可求解．

（2）由函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o可求得，即可求得，又函数在区间上总不是单调函数，转化为：，恒成立，即，解不等式组即可．

（3）对赋值为，由（1）可得：当时，，所以对一切成立，令，即可得到：，问题得解．

【详解】（1），

当时，的单调递增区间为，减区间为.

当时，的单调递增区间为，减区间为，

当时，不是单调函数.

（2）由题可得：，解得，

所以，所以，

所以，所以，

因为在区间上总不是单调函数，且，

所以，

由题意可得，恒成立，

所以，即，

解得，

（3）令，此时，所以，

由（1）可得：在上单调递增，

所以当时，

即，所以对一切成立，

因为，则有，所以

所以，命题得证．

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查了利用导数解决不等式恒成立问题，以及利用导数证明不等式，第（3）问解题的关键是由（1）得到对一切成立，从而可得，则有，所以，然后利用累乘法可证得结论，考查计算能力及转化能力，属于难题，

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线及圆的极坐标方程；

（2）若直线与圆交于两点，求的值.

【答案】（1），；（2） .

【解析】（1）直线的参数方程消去参数后得到直线的普通方程，根据公式代入圆的直角坐标方程，得到原的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程和圆的极坐标方程联立，利用的几何意义求的值.

【详解】解：（1）由直线的参数方程，

得其普通方程为，

∴直线的极坐标方程为.

又∵圆的方程为，

将代入并化简得，

∴圆的极坐标方程为.

（2）将直线：，

与圆：联立，得

，

整理得，∴.

不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.

于是，.

【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中的几何意义的应用，属于中档题型.

23．已知函数

(1)当时，求函数的定义域；

(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段法解不等式，求出函数的定义域；

（2）由的值域为R得到能取遍所有正数，结合绝对值三角不等式得到，故，求出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，令，

即①，或②，或③，

解①得：，解②得：，解③得：，

所以定义域为；

（2）因为的值域为R，

故能取遍所有正数，

由绝对值三角不等式，

故，所以，故实数的取值范围是.