2022届新疆博乐市高级中学高三下学期数学（理）试题（解析版）

2022届新疆博乐市高级中学高三下学期数学（理）试题

一、单选题

1．（    ）

A．3 B． C．10 D．100

【答案】C

【分析】利用复数的乘方运算得到，从而求出模长.

【详解】，故.

故选：C

2．已知集合，，则集合的子集有（    ）

A．2个 B．4个 C．8个 D．16个

【答案】B

【分析】解不等式，结合，求出，计算出，从而求出，并求出交集的子集个数.

【详解】，解得：，又因为，

所以，

因为，且，

所以，

故的子集有个.

故选：B

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由余弦的二倍角公式，然后再结合平方关系和商的关系，转化为的式子，得出答案.

【详解】

故选：A

4．若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据题意得到渐近线方程的斜率，从而得到，求出离心率.

【详解】由题意得：渐近线方程的斜率为，

又渐近线方程为，

所以，

所以C的离心率为

故选：D

5．已知向量，满足，，，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据求出，从而求出答案.

【详解】由得：，

因为，所以，

故

.

故选：A

6．“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设出球的半径，求出圆柱的体积与球的体积，进而求出圆柱的体积与球的体积之比.

【详解】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，

设球的半径为R，

则圆柱的体积为：，

球的体积为，

所以圆柱的体积与球的体积之比为

故选：B

7．数据，，，…，的平均数为，数据，，，…，的平均数为，则数据，，，…，，，，，…，的平均数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用平均数的计算公式计算.

【详解】由题意得：，，

所以

故选：D

8．如图，A，B是函数的图象与x轴的两个交点，若，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】将代入，求出，求出A，B两点的横坐标，进而列出方程，求出.

【详解】由图象可知，点在函数图象上，将其代入得：，

因为，所以，

，令，

解得：，，

因为，所以当时，解得：，

当时，，所以，

解得：

故选：B

9．甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】令，则方程可化为，根据甲计算出常数，根据乙计算出常数，再将 代入关于x的方程解出 即可

【详解】令，则方程可化为，甲写错了常数b，

所以和是方程的两根，所以，

乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，

则可得方程，解得，

所以原方程的根是或

故选：D

10．已知函数满足，且函数与的图象的交点为， ，，，则（    ）

A．－4π B．－2π C．2π D．4π

【答案】B

【分析】由题意可得出函数与的图像的交点关于点对称，从而可得出答案.

【详解】函数满足，则的图像关于点 成中心对称.

又的图像关于点 成中心对称

所以函数与的图像的交点关于点对称.

则，

所以

故选：B

11．已知函数，若对任意，，恒成立，则m的最大值为（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．e

【答案】C

【分析】对任意，恒成立等价于对任意，恒成立；可换元，设，令，则，即在恒成立，求导由单调性即可求出最值.

【详解】由题知对任意，恒成立，

等价于，即，即对任意，恒成立，

不妨设，令，则，

则原式等价于，即在恒成立，

设，，则，

所以在上为增函数，所以，

所以，即m的最大值为，当且仅当，即时取得最大值，

故选：C.

12．在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先设，根据求出点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，即可得到 的取值范围

【详解】设，则，解得（舍去）或=4，

所以点P的轨迹方程为，曲线过点（1，2）且关于直线x=1对称，

由题可知k<0.当直线与相切时，解得k=或.

所以k的取值范围为

故选：A

二、填空题

13．若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．

【答案】3

【分析】根据约束条件画出可行区域，再利用几何意义求出最大值即可.

【详解】

画出可行区域如图所示，由得，显然当直线过点时，

直线在轴上的截距最大，即最大，最大值为.

故答案为：3.

14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为1，，则A＝______．

【答案】##45°

【分析】由面积公式和余弦定理列出方程，求出，从而求出.

【详解】由余弦定理得：①，

由面积公式得：，即②，

将②代入①得：，

即，

因为，

所以

故答案为：

15．3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为______．

【答案】

【分析】首先求出基本事件总数，再分女生都不相邻和有两个女生相邻两种情况讨论，求出符合题意的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意基本事件总数为，

若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有种排法，

若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体，将4个男生全排列，

再将整体插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入4个空中的1个空，则有种排法，

故每名女生旁边都有男生的概率

故答案为：

16．如图，正方体的棱长为4，点M是棱AB的中点，点P是底面ABCD内的动点，且P到平面的距离等于线段PM的长度，则线段长度的最小值为______．

【答案】

【分析】根据抛物线的定义，可知点是以为焦点，以 为准线的抛物线，然后根据空间中两点的距离来求解.

【详解】由P到平面的距离等于线段PM的长度，可知点是以为焦点，以 为准线的抛物线.以中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

，设

点的方程为：

当时，长度最小为

故答案为：

三、解答题

17．已知数列满足，且，且数列是等比数列．

(1)求的值；

(2)若，求．

【答案】(1)3；

(2).

【分析】（1）设数列的公比为，可得结合条件即得；

（2）由题可知，然后利用分组求和即得.

【详解】（1）设数列的公比为，则，

∴，又，

∴，

所以；

（2）由上可知，，

所以数列是3为首项，3为公比的等比数列，

∴，即，

∴，

∴

.

18．为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试，从该次考试成绩中随机抽取样本，以，，，，分组绘制的频率分布直方图如图所示．

(1)根据频率分布直方图中的数据，估计该次考试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)取（1）中的值，假设本次考试成绩X服从正态分布，且，从所有参加考试的乡镇干部中随机抽取3人，记考试成绩在范围内的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式计算可得；

（2）由（1）可知，根据正态曲线对称性可得，则，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；

【详解】（1）解：依题意可得

（2）解：由（1）可知，且，

所以

所以，则的可能取值为、、、，

所以，，

，，

所以的分布列为

所以

19．在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为的中点，点P在平面内的投影F恰好在直线上．

(1)证明：．

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由四边形为长方形得，由平面得，根据线面垂直的判断定理可得平面，再由性质定理可得答案；

（2）连接，由（1）和已知得，求出、，过做交于，分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出

平面的一个法向量、，利用线面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）因为，，E为的中点，所以，

所以四边形为长方形，，

因为平面，平面，所以，

又因为，所以平面，

平面，所以．

（2）连接，由（1）平面，平面，所以，

因为，所以，

所以，即，，，

所以，即，

过做交于，分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，，，，，

设平面的一个法向量为，

所以，即，令，则，

所以，

设直线PB与平面PAD所成角的为，所以

，

所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为．

20．已知椭圆，为其左焦点，在椭圆 上．

(1)求椭圆C的方程．

(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，且，问△OAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）根据题目所给条件，列出关于 的方程，解出即可

（2）先分斜率存在和不存在两种情况讨论，①斜率不存在时， ，此时三角形面积为定值；②斜率存在，先利用弦长公式求出 ，再写出三角形面积的表达式，利用函数的单调性求出面积的取值范围即可

【详解】（1） 为其左焦点,

又在椭圆上，

又

解得 ，

椭圆方程为：

（2）（1）当直线 的斜率不存在时，此时易求

此时

（2）当直线 的斜率存在且不为0时，设的斜率为 ，直线与椭圆交于两点

直线 的方程为：      

联立直线 与椭圆的方程

整理得：    

同理可求得

令 ，则

令 ，则

又 ，

综上，△OAB的面积有最大值，最大面积为

21．已知函数．

(1)若，求曲线在x＝0处的切线方程；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，求导后求出，点斜式写出切线方程；（2）根据，得到要想恒成立，需要，由，解得：，接下来验证充分性成立

【详解】（1）当时，，

，

则，

所以曲线在x＝0处的切线方程为；

（2）定义域为R，

，

因为，

所以要想恒成立，需要，

由，解得：，

下面证明充分性：

当时，，

令，

则恒成立，故在R上为增函数，

因为，

所以在上恒成立，在上恒成立，

所以在R上有唯一的极小值点0，

且，满足题意.

综上：a的取值范围是

【点睛】导函数处理某些参数取值范围的题目，要结合特殊点的函数值或特殊点的导函数值进行求解，再进行充分性证明即可，本题中就是注意到，从而确定了要想恒成立，需要，由，解得：，接下来证明充分性即可.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线与的直角坐标方程；

(2)已知直线l的极坐标方程为，直线l与曲线，分别交于M，N（均异于点O）两点，若，求．

【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，

(2)

【分析】（1）的参数方程消参可求出的直角坐标方程；的极坐标方程同乘，把，代入的极坐标方程可求出的直角坐标方程.

（2）设M、N两点的极坐标分别为、，用极径的几何意义表示出，即，解方程即可求出.

【详解】（1）解：的参数方程为（t为参数），把代入中可得，

，所以曲线的直角坐标方程为，

的极坐标方程为，即，所以曲线的直角坐标方程为，

综上所述：曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，

（2）由（1）知，的极坐标方程为，

设M、N两点的极坐标分别为、，

则，，由题意知可得，

因为，所以，

所以，故，所以或（舍）

所以.

23．已知函数．

(1)当m＝2时，解不等式；

(2)若函数有三个不等实根，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段法解绝对值不等式；（2）有三个不等实根转化为有两个大于0的实根，列出不等式组，求出实数m的取值范围.

【详解】（1）当m＝2时，，

，

解得：或

综上：不等式的解集为.

（2）由题意得：有三个不等实根，

令，则与有三个交点，

结合函数图象可知，满足要有两个交点，

即有两个大于0的实根，

故，解得：

所以实数m的取值范围是.