2021-2022学年甘肃省武威市古浪县第二中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年甘肃省武威市古浪县第二中学高二上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．在中，角所对的边分别为，若，b=，，则（  ）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【解析】根据余弦定理表示出，把，和的值代入即可求出的值，由的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的值．

【详解】解：根据余弦定理得：

，

由，得到．

故选：．

【点睛】本题考查了余弦定理的运用和计算能力．属于基础题．

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得解.

【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题得：命题“，”的否定是，.

故选：A.

3．双曲线的渐近线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.

【详解】双曲线的渐近线方程为：.

故选：C

4．设，则下列结论中正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质确定正确选项.

【详解】对于A选项，，则，所以A选项错误.

对于B选项，，则，所以B选项错误.

对于C选项，，则，所以C选项错误.

对应D选项，，所以，所以D选项正确.

故选：D.

【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.

5．已知等差数列前9项的和为27，，则

A．100 B．99 C．98 D．97

【答案】C

【详解】试题分析：由已知，所以故选C.

【解析】等差数列及其运算

【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

6．已知椭圆的左右焦点为，，是椭圆上的点，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】利用椭圆的定义，由即可求解.

【详解】由椭圆，则，

所以，

所以.

故选：D

7．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据充分条件和必要条件的概念，结合一元二次不等式的解法，即可得出结果.

【详解】由得或，所以由“”可得到“”，

但由“”得不到是“”；

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】结论点睛：

判定命题的充分条件和必要条件时，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

8．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】a3，a7是方程x2+4x+2=0的两根，可得a3•a7=2，a3+a7=﹣4，可得a3＜0，a7＜0，根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，可得a5＜0．利用性质可得：a5=﹣．

【详解】a3，a7是方程x2+4x+2=0的两根，

∴a3•a7=2，a3+a7=﹣4，∴a3＜0，a7＜0，

根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，

∴a5＜0．∴a5=﹣=﹣．

故选B．

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，其中判断a5＜0，是解题的关键，属于基础题．

9．如图，空间四边形中，，，，且，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可.

【详解】由题意知，

故选：C.

10．已知正实数，满足，则的最小值为（    ）

A．32 B．34 C．36 D．38

【答案】A

【解析】由题中条件，得到，展开后，利用基本不等式，即可求出结果.

【详解】由，且，

得，

当且仅当，即时，取等号，此时，

则的最小值为32．

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地.

11．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用异面直线的定义找到两条异面直线所成的角，用余弦定理即可求解.

【详解】作的中点，连接，作的中点，连接、,

即为异面直线AM与CN所成的角，

由已知条件得，则,,

由余弦定理得,

在△中，有余弦定理可知,

即,解得，

故选：D.

12．过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】当斜率不存在时符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，与双曲线联立，由判别式求解即可.

【详解】由题设得双曲线的方程为，焦点在y轴上，当直线l斜率不存在时，显然与双曲线有两个交点，为 上下顶点；当斜率存在时，设过原点的直线方程为，与双曲方程联立得：

因为直线与双曲线有2个交点，所以，得：，解得：

或.

故选：B.

二、填空题

13．已知空间向量，，且，则_________.

【答案】1

【分析】由，可建立关于的方程，解出即可.

【详解】因为，，且，

所以，解得.

故答案为：1.

14．抛物线的焦点坐标为______________.

【答案】##(0,-0.03125)

【分析】写出抛物线标准形式，即可得焦点坐标.

【详解】由题设得：，则焦点坐标为.

故答案为：

15．设，满足约束条件，则的最小值是__________.

【答案】1

【分析】先根据条件画出可行域，要使的最小值，即直线在轴上的截距最小，通过图象可知，直线经过可行域上的点时，截距最小.求出点坐标，即可得到.

【详解】，满足约束条件的可行域如图阴影部分所示：

把变形为，得到斜率为，在轴上截距为的一族平行直线.

由图可以看出，当直线经过可行域上的点时，截距最小.

解方程可得点的坐标为..

故答案为：1.

16．有下列四个命题：

①“若，则，互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若，则有实根”的逆命题；

④“等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；

其中真命题的序号是___________.

【答案】①③④

【分析】①写出“若，则，互为相反数”的逆命题，再判断其真假即可；

②写出“全等三角形的面积相等”的否命题，再判断其真假即可；

③写出“若，则有实根”的逆命题，再分析、判断其真假即可；

④利用原命题与其逆否命题的真假性一致，可判断原命题的真假，从而得其逆否命题的真假.

【详解】①“若，则，互为相反数”的逆命题为“若，互为相反数，则”，正确，故①正确；

②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，错误，故②错误；

③有实根，，解得：，

“若，则有实根”的逆命题“若有实根，则”正确，故③正确；

④等边三角形的三个内角相等，原命题正确，原命题与其逆否命题的真假性一致，其逆否命题也正确，故④正确；

综上所述，真命题的序号是①③④.

故答案为：①③④.

三、解答题

17．等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30，a20=50.

（1）求通项an;

（2）若Sn=242，求n.

【答案】（1）an=2n+10；（2）n=11.

【分析】（1）根据a10=30，a20=50，利用“a1，d”法求解；.

（2）由Sn=242，利用等差数列前n项和求解.

【详解】（1）因为a10=30，a20=50，

所以

解得a1=12，d=2.

∴an=2n+10.

（2）由Sn=na1+d，Sn=242，

得12n+×2=242.

解得n=11或n=-22(舍去).

18．设锐角的内角、、的对边分别为、、，

（1）确定角大小；

（2）若，的面积为，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据，利用正弦定理得到求解.

（2）根据的面积为，求得，然后再利用余弦定理求解.

【详解】（1）因为，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以.

（2）因为的面积为，

所以，

所以，

所以，

解得，

所以.

【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．

19．若抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点.

(1)求抛物线的方程；

(2)求.

【答案】(1)

(2)20

【分析】（1）根据题意可知，，即可抛物线的方程；

（2）首先求得直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得.

【详解】（1）由抛物线焦点为，所以，，

所以抛物线的方程：；

（2）由题意可知，直线的方程为：，设，，

联立方程组，消去，整理得，

则，

由抛物线的焦点弦公式，

所以的值为20.

20．已知命题；命题．

（1）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．

（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）分别求出是真命题和是真命题时的取值范围，在根据、一真一假讨论即可；

（2）题目中给的条件等价于是的充分条件，设命题的解集分别为集合，根据即可求得的取值范围.

【详解】由得 ，

，

设

（1）时，由已知可知与一真一假

若为真命题，为假命题，则，所以

若假命题，为真命题，则，

则，

综上：

（2）根据题意知：是的充分条件，

是的充分条件，即

，解得，

所以实数的取值范围.

【点睛】本题主要考查了由符合命题的真假性求参数的取值范围，属于基础题.

21．如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，，为棱的中点.

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建系，可得点、、、的坐标，进而可得、的坐标，利用数量积公式，即可得证；

（2）求得的坐标和平面的法向量，利用线面角的夹角公式，即可求得结果.

【详解】（1）证明：依题意，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

可得，，，，，，，，，

依题意，，，

所以，

所以；

（2）由（1）知，，

设为平面的法向量，

则，即，不妨设，可得，

又，设与平面所成角为，

所以，

直线与平面所成角的正弦值为.

22．设椭圆经过点，且离心率等于.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作直线交椭圆于两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将点代入椭圆标准方程，结合列方程组，解这个方程组求得，椭圆方程为；（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，写出韦达定理，利用，解得，此直线过定点.

【详解】（1）椭圆经过点，且离心率等于，

，，

，，

椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，，，

联立椭圆方程得，

，.

，

由，得，即，代入得

（舍去），，

直线的方程为，所以过定点.