2021-2022学年河北省邯郸市魏县第五中学高二下学期6月期末数学试题（解析版）

2021-2022学年河北省邯郸市魏县第五中学高二下学期6月期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式可得集合，再求交集即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：B.

【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题.

2．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析得到即得解.

【详解】由题得，

，

所以.

故选：C

3．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数值的正负可排除一个选项D；根据函数的奇偶性可排除一个选项C；最后再利用特殊值，可得到结果.

【详解】当时，，故排除D；

而的定义域为，

且，，

∴是奇函数，故排除C；

又有，

∴距离1很近，比较A与B，可排除A.

故选：B.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.

利用上述方法排除、筛选选项.

4．特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（    ）

A．24 B．14 C．12 D．8

【答案】C

【分析】先把4名数学教师平分为2组，再把2名体育教师分别放入这两组，最后把这两组教师分配到两所农村小学，即可计算出结果.

【详解】先把4名数学教师平分为2组，有种方法，

再把2名体育教师分别放入这两组，有种方法，

最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有种方法.

故选：C.

【点睛】本题考查计数原理和排列组合应用，属于基础题.

5．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由条件即，由，得；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．

【详解】由，则，即

所以当时，由正弦函数的单调性可得，

即由可以得到.

反之不成立，例如当时，也有成立，但不成立.

故“”是“”的充分不必要条件

故选：A

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若 是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

6．的展开式中的系数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先写出展开式通项，然后令的指数部分为，由此求解出的值，则项的系数可求.

【详解】由二项展开式知其通项为，

令，解得.

所以的系数为.

故选：B.

7．已知，都是单位向量，满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据得到，从而得到，，再计算即可.

【详解】因为，所以，得到.

因为，，

所以.

故选：A

【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.

8．函数的定义域为R，且与都为奇函数，则下列结论错误的是（    ）

A．为奇函数 B．为周期函数

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行公式变换，找到新的函数关系即可求解.

【详解】①与都为奇函数，

①，②，

由①可得，即③，

由②③得，

,

由 及 ,

得 , 以 代换 ,

得 ,

即 ，因而选项A正确.

②在前面已经证明

所以的周期为2，因而选项B正确；

③==

所以，

所以为奇函数，因而选项C正确.

④

则为奇函数，因而选项D错误.

故选：D.

二、多选题

9．已知，那么下列不等式中，成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据不等式性质及基本不等式，以及三角函数的值域，逐个分析判断即可得解.

【详解】对A，由可得，所以，A正确，

对B，由，可得，所以，B正确，

对C，，，所以，C正确，

对D，当取时，而，显然错误，

故选：ABC.

10．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．在上有4个零点 D．在上单调递增

【答案】BC

【分析】根据三角函数图象的变换即可得出，再根据三角函数的诱导公式、零点的定义及三角函数的单调性即可判断每个选项的正误.

【详解】根据图象变换可得，故A错误；

由，故B正确；

由得，所以在上有4个零点，故C正确；

由得由正弦函数图象与性质可知在上不单调，故D错误.

故选：BC

11．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（    ）

A．5 B．4 C． D．

【答案】BC

【分析】根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积.

【详解】由可得，，所以，

根据对称性只需考虑或，

当时，将代入可得，

如图：，，所以的面积为，

当时，由椭圆的定义可知：，

由勾股定理可得，

因为，

所以，解得：，

此时的面积为，

综上所述：的面积为或.

故选：BC.

12．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是

A．异面直线AC与所成的角为60°

B．直线与平面成角为45°

C．二面角的正切值为

D．四面体的外接球的体积为

【答案】ACD

【分析】对A，平移直线到直线；对B，作出线面所成的角，再利用三角函数求解；对C，作出二面角的平面角，再求正切值；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球.

【详解】如图所示，连接，

对A，平移直线到直线，则异面直线AC与所成的角，显然为正三角形，，故A正确；

对B，，，，平面，为线面角，，，，故B错误；

对C，在三角形中，，为二面角的平面角，，故C正确；

对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，，，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查空间中角的概念与计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.

三、填空题

13．若复数满足：，则______.

【答案】

【分析】利用复数的除法求出后可得其模.

【详解】因为，故，故，填.

【点睛】本题考查复数的除法及复数的模，属于容易题.

14．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则______.

【答案】0

【分析】设等差数列的公差为，，根据，，成等比数列，得到，再根据等差数列的通项公式可得结果.

【详解】设等差数列的公差为，，

因为，，成等比数列，所以，

所以，整理得，

因为，所以，

所以.

故答案为：0.

【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量的运算，属于基础题.

15．如图是某工厂对一批新产品长度单位：检测结果的频率分布直方图估计这批产品的中位数为______．

【答案】22.5

【详解】根据频率分布直方图，得；

∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，

0.3+0.08×5=0.7>0.5；

∴中位数应在20∼25内，

设中位数为x，则

0.3+(x−20)×0.08=0.5，

解得x=22.5；

∴这批产品的中位数是22.5.

故答案为22.5.

点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：

①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；

②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；

③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.

四、双空题

16．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，是上一点，且由点沿棱柱侧面经过棱到的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为，则该三棱柱的侧面展开图的对角线长为________；的长为________．

【答案】          2

【分析】由展开图为矩形，用勾股定理求对角线的长；在侧面展开图中三角形是直角三角形，可以求出线段的长度，进而可以求出的长度.

【详解】正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

；将三棱柱沿展开，如图所示，设，则，在直角三

角形中，，

即，解得，所以.

故答案为：；

【点睛】本题考查三棱柱的侧面展开图以及三棱柱表面上的最短距离问题，考查学生空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.

五、解答题

17．在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，求周长的范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理和和差角公式转化为，即可求出角A;

（2）利用正弦定理表示出，，得到周长为利用三角函数求最值，即可求出周长

【详解】（1）由正弦定理得：，

，，

，

，，，.

（2）由正弦定理：，则，，

，，

周长为

，

又锐角，，结合

，，，，即周长的范围是.

18．已知为等差数列，前n项和为，数列是首项为1的等比数列，，，.

（1）求和的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）的通项公式为，的通项公式为；（2）.

【分析】（1）用基本量表示题干中的量，联立求解即可；

（2）由，，用乘公比错位相减法求和即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.

由已知，

得，而，

所以，

解得，所以.

由得.①，

由得.②，

联立①②解得，所以.

故的通项公式为，的通项公式为.

（2）设数列的前n项和为，

由，

得.

，

，

上述两式相减，得，

所以，

即.

19．数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费､餐饮服务､交通出行､购物消费､政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了-次问卷调查，部分结果如下：

（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；

（2）若从低学历的被调查者中，按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；

（3）根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？

附：

【答案】（1）列联表答案见解析；（2）；（3）没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.

【分析】（1）根据题中所给数据完成列联表即可；

（2）根据分层抽样分别求出不了解数字人民币和了解数字人民币的人数，再根据古典概型公式即可得解；

（3）根据公式求出，在参照临界值表即可得出结论.

【详解】解：（1）列联表如下：

（2）从低学历被调查者中按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，抽取的8人中，不了解数字人民币的有人，

了解数字人民币的有人，

从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率.

（3）根据列联表得

.

故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.

20．在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，E是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）直线与平面所成角为45°，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明详见解析；（2）.

【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，用两个平面的法向量求面面角即可.

【详解】（1）连接，由题意可知是等边三角形，又E是的中点，所以；

由底面，底面，所以，且，

所以，平面，且平面，所以平面平面.

（2）由（1）可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为.

在中，.

所以，在中，，.

以E为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题设可得，，，所以，.

设是平面的法向量，则，得，

可取.

由（1）知是平面的一个法向量，

则.

所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了面面垂直的判断方法，考查了利用空间向量求面面角的问题.

21．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.

（1）求E的方程：

（2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用，再代入，联立即得解；

（2）设l的方程为：，，，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解

【详解】（1）由已知可得，

∴，解得①

又∵点在E上，

∴②

由① ②可得，.

∴双曲线E的方程为.

（2）过点的直线l斜率显然存在，

设l的方程为：，，，

将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，

依题意，且，

所以且，

因此，可得，.

∴

.

22．已知，函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若，证明，.（提示：）

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，进而可求得函数的最小值；

（2）构造函数，利用导数证得，由此可证得所证不等式成立.

【详解】（1），该函数的定义域为，则，.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

因此，函数的最小值为；

（2）令，则.

由（1）得，当时，，即，即，所以，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以的最小值为.

由（1）得时，，所以，等号当且仅当时成立，

所以当，时，有，即，所以.

故原不等式得证.

【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.