2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学（文）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期期末数学（文）试题 一、单选题1．已知全集，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：或，即，故选：D． 2．下列命题中，正确的是（    ）A．的虚部是 B．的共轭复数是C． D．复数在复平面内对应的点在第四象限【答案】D【分析】根据复数的虚部的概念可判断A；根据共轭复数的概念判断B;根据复数模的计算可判断C；根据复数的除法求得，结合复数的几何意义判断D.【详解】因为的虚部是，故A错误；的共轭复数是，故B错误；，故C错误；复数，故在复平面内对应的点在第四象限，D正确，故选：D3．在等差数列中，，则（    ）A．10 B．17 C．21 D．35【答案】B【分析】由已知求出公差即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则，即，解得，所以.故选：B.4．已知，则（       ）A． B．0 C．1 D．32【答案】A【分析】令可得．【详解】令，则.故选：A.5．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的列联表： 看书运动合计男82028女161228合计243256 根据表中数据，得到，所以我们至少有（    ）的把握判定休闲方式与性别有关系.（参考数据：，）A．99%              B．95%              C．1%              D．5%【答案】B【分析】利用与临界值比较，即可得到结论.【详解】结合题意和独立性检验的结论，由，，故这种判断出错的可能性至多为，即，故我们至少有95%的把握判定休闲方式与性别有关系.故选：B【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想与应用，属于基础题.6．已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，则C=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理可得，再根据余弦定理化简求解即可【详解】∵，∴由余弦定理知，整理得，故.故选：D7．现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则A． B． C． D．【答案】C【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出.【详解】解：由题意知，，，所以.故选:C.【点睛】本题考查了条件概率的求解，考查了组合数的计算，考查了分类计数原理.8．等边的外接圆的半径为1，M是的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为（    ）A．1 B．2 C． D．0【答案】A【分析】先将所求问题中的向量转换成起点为外心的向量，再根据向量数量积建立函数模型，最后通过函数思想即可求解．【详解】如图，设等边的外心为，又半径为1，且是的边的中点，、、三点共线，且，，又，当时，的最大值为．故选：A． 二、多选题9．已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（   ）ξ123P A．－ B． C． D．【答案】BC【分析】由题可知，即得.【详解】由题可得， ∴或，经检验适合题意.故选：BC.10．数列的通项公式为则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】直接求出即得解.【详解】解：由通项公式得，，所以.故选：BC.11．某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示．x3467y2.5345.9 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下说法正确的是（    ）A．y与x的样本相关系数B．产量为8吨时预测所需材料一定为5.95吨C．D．产品产量增加1吨时，所需材料约增加0.7吨【答案】CD【分析】由产量与材料正相关否定选项A；求得的值判断选项C；求得产量为8吨时所需材料的估计值判断选项B；求得产品产量增加1吨时所需材料约增加的值判断选项D.【详解】表中的数据可得回归直线方程，则产量与材料正相关，则相关系数.故选项A判断错误；则，解之得.故选项C判断正确；由（吨），可得产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨. 故选项B判断错误；由可得，产品产量增加1吨时，所需材料约增加0.7吨. 故选项D判断正确.故选：CD12．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，下列结论正确的有（    ）A． B．C．最小角的正弦值 D．最大角的余弦值为【答案】AD【分析】由正弦定理可判断A; 由，可设，丛而可判断B;根据题意可判断出最小角和最大角，由余弦定理可求得其值，判断C,D.【详解】对于A，由正弦定理可得，故A正确；对于B，由，可设，故，故B错误；对于C，由可知角A为最小角，设，故 ，则 ，故C错误；对于D，由C的分析可知C为最大角，则，故D正确，故选：AD 三、填空题13．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ .【答案】【详解】∵平面向量与的夹角为，∴.∴故答案为.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2) 常用来求向量的模．14．已知为等比数列，，则_________．【答案】【分析】先由等比数列的性质求出，进而求出，再计算即可.【详解】设公比为，由题意知：，又，解得或，若，则，，则；若，则，，则.故答案为：.15．为纪念北京冬奥会申奥成功，中国邮政发行纪念邮票，每套图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会“会徽飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为______________．【答案】##【分析】由古典概型的概率公式求解即可.【详解】从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，则恰有1枚吉祥物邮票的概率，故答案为：16．已知直线与曲线相切，则___________.【答案】1【分析】首先求出函数的导函数，设切点为，即可得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，设切点为，则，解得，两式相减得，故答案为： 四、解答题17．已知等差数列中，，，设.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）直接利用等比数列的定义证明；（2）采用分组求和法分别求出数列与数列的前n项和，再相加即可.【详解】（1）设的公差为，由，可得，即. 又，可得.故 依题意，，因为（常数）.故是首项为4，公比4的等比数列.（2）的前项和为 的前项和为故的前项和为.18．已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量的调查.（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）3人，2人，2人.（2）分布列见解析，【解析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.（2）根据独立重复试验中概率计算公式,可分别求得随机变量的概率,即可得其分布列.由数学期望公式,即可求得期望值.【详解】（1）由已知,甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人,2人,2人.（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.则,所以,随机变量的分布列为0123 随机变量的数学期望.【点睛】本题考查了分层抽样的特征和计算,独立重复试验概率的计算方法,离散型随机变量分布列及数学期望的求法,属于基础题.19．如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面分别是棱的中点．(1)求证：∥平面；(2)求平面与平面夹角的大小．【答案】(1)证明见详解；(2) 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面与平面夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系，设平面的法向量为所以不妨取又又平面，∥平面；（2）由（1）知：,设平面的法向量为，平面的法向量所以不妨取同理不妨取设平面与平面夹角为所以20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用正弦定理及余弦定理求得的值，进而求得角A的值；（2）先利用余弦定理构造关于的不等式，进而得到的最大值，即可求得面积的最大值．【详解】（1）由，可得，得，则，由于，所以．（2）由，可得，又，则，则，（当且仅当时等号成立）则，（当且仅当时等号成立）则，即面积的最大值为．21．已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.(1)求椭圆的标准方程.(2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）假设椭圆方程，根据短轴长、焦点坐标和椭圆关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；（2）利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程.【详解】（1）由题意可设椭圆方程为：，则，解得：，椭圆的标准方程为：.（2）设，，则，两式作差得：，直线斜率，又中点为，，，，直线方程为：，即.22．已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的最大值；（2）通过分类讨论和构造新函数，列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围．【详解】（1）时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则当时，取得最大值（2），，则，当时，，在单调递增，且，则当时，，不符合要求.当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则当时，取得最大值则由恒成立，可得成立，令则当时，，单调递减；当时，，单调递增，则当时，取得最小值则恒成立，（当且仅当时等号成立）则的解集为则a的取值范围为．