2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知在等差数列中，，则（    ）

A．2 B．4 C．5 D．7

【答案】C

【分析】由等差数列下标和的性质计算.

【详解】由等差数列下标和的性质可得，

所以.

故选：C

2．已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可.

【详解】根据正弦定理，由

因为，所以，于是有，

故选：A

3．某班有60名同学，一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则本班在100分以上的人数约为（    ）

A．6 B．12 C．18 D．24

【答案】B

【分析】根据正态曲线的性质求出，即可估计人数；

【详解】解：因为，所以本班在100分以上的人数约为.

故选：B

4．二项式的展开式中，常数项是（    ）

A．15 B． C．30 D．

【答案】A

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的幂指数为求出，从而得到展开式中的常数项.

【详解】设展开式中的项为常数项，

，

则，解得，

所以常数项为，

故选：.

5．如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量对应线段的位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义，用表示即可.

【详解】由题图，.

故选：A

6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球，则随机取一袋，再以该袋中随机取一球，该球是白球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】应用独立事件乘法及互斥事件的加法公式，求取出白球的概率.

【详解】由题意，白球的概率为.

故选：D

7．4月1日，根据当前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作总指挥部发布通告，要求我市全域内除特殊人员外，所有人员保持居家，不出小区（村）等待全员核酸检测．为了保障广大居民的生活需要，某小区征集了多名志愿者，现有5名志愿者承包A，B，C三栋居民楼，每位志愿者负责一栋楼，且每栋楼至少一名志愿者，则分派方法的种数为（    ）

A．90 B．150 C．180 D．300

【答案】B

【分析】先分组再分配，分组又分为3,1,1和2,2,1两类，第二类涉及平均分组，需要去重

【详解】先分组:按照居民楼人数分为3,1,1和2,2,1两类

3,1,1:从5名志愿者中选出3名作为一个组,其余2人各自一组,有种

2,2,1:从5名志愿者中选出4名平均分为两组,剩下1人一组,有种

再分配:3个组到三栋居民楼有种

所以总的分派方法数有种

故选：B

8．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前n项和，则的最小值为（    ）

A． B．7 C． D．

【答案】C

【分析】由题意，，，成等比数列，可得，即可求出，代入，再结合双勾函数性质可求出答案.

【详解】由于，，成等比数列，所以，

∴，

解得∴，∴

所以，由双勾函数性质知在上单调递增，所以当时，取得最小值为：，所以的最小值为.

故选：C.

二、多选题

9．已知与线性相关，且求得回归方程为，变量，的部分取值如表所示，则（    ）

A．与负相关 B．

C．时，的预测值为 D．处的残差为

【答案】BC

【分析】利用数据求出样本中心坐标，代入回归直线方程，得到，进而逐一判断正误即可.

【详解】解：由题意得，，

所以样本中心点的坐标为，代入线性回归方程得，

解得，B正确；

由可知与正相关，A错误；

时，，C正确；

时，，残差为，D错误．

故选：BC．

10．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.

【详解】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.

故选：BC.

【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

11．已知随机变量的分布列为

则（    ）A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据随机变量分布列的性质可求解的值，然后再根据分布列计算数学期望即可.

【详解】由，得，则.

故选：AC.

12．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A． B．在处取得极大值

C．有两个不同的零点 D．若在上恒成立，则

【答案】ABD

【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义判断选项AB；由函数零点的定义可判断选项C；构造函数，利用导数求函数的最大值，可判断D.

【详解】对于函数，，

，；

令，得，解得，

当时，，所以函数在上为单调递增函数，

当时，，所以函数在,上为单调递减函数，

∴，又，

∴，故A正确；

所以函数在处取得极大值，故B正确；

因为时，得，解得，所以函数只有一个零点，选项C错误；

因为在上恒成立，则在上恒成立，

令，则，

令，解得，

当时，，单调递增，当时，，则单调递减，

所以当时，，所以，选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．计算：_________．

【答案】

【分析】由平面向量的加减法及其运算律求解即可.

【详解】.

故答案为：.

14．袋子中装有3个黑球和2个白球共5个小球，如果不放回地依次摸取2个小球，则在第1次摸到黑球的条件下，第2次还摸到黑球的概率为________.

【答案】##

【分析】根据条件概率公式进行求解即可.

【详解】设事件：第1次摸到黑球，事件：第2次摸到黑球，

所以，，

因此，

故答案为：

15．现有4种不同颜色要对如图的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有______种.

【答案】48

【分析】根据题意，依次分析四个区域的涂色方法数目，由分步计数乘法原理计算可得答案．

【详解】若先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，

再给中间右边一块着色，有2种结果，最后给下面一块着色，有2种结果，

根据分步乘法计数原理知共有4×3×2×2=48（种）结果．

故答案为：48．

16．若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________.

【答案】2

【分析】由二项式定理与基本不等式求解

【详解】由二项式定理得展开通项为，

令，得，故，，

，当且仅当时等号成立，

故答案为：2

四、解答题

17．如图．正方体中，棱长为1，

(1)求证：AC⊥平面；

(2)求二面角的平面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：∵在正方体中，平面ABCD，

又平面ABCD，

∴，

∵，，，BD，平面，

∴AC⊥平面；

（2）∵，所以，又，而，面BAC，

∴为二面角的平面角．

在中，，，

∴，

∴．

18．在中，分别为内角A，B，C的对边，且．

（1）求C的大小；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先利用正弦定理将转化为，再利用两角和的正弦公式化简可求得答案；

（2）由余弦定理结合已知条件可求出，，然后利用三角形的面积公式可求得结果

【详解】解：（1）∵，

∴根据正弦定理可得，

，

∴，

∴．因为，

∴，又

∴．

（2）由余弦定理，得，

解得，由得

所以的面积

所以的面积．

19．已知数列是等比数列，公比，且是的等差中项，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，将条件化简为的形式并求解，代入写出等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法求和.

【详解】（1）依题意得：

，，又

（2）由（1）知，

相减得：

整理得：

20．新能源汽车是指除汽油､柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企统计了近期购车的车主性别与购车种类的情况，其中购车的男性占近期购车车主总人数的，女性购置新能源汽车人数为所有购车总人数的，男性购置传统燃油汽车人数为所有购车总人数的，现有如下表格：

(1)完成上面的的列联表，并判断能否有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；

(2)以样本中购置新能源汽车的频率作为概率，现从全国购车的车主中随机抽取4人，设其中购置新能源汽车的人数为，求的分布列及期望．

参考公式及数据：，其中．

【答案】(1)填表见解析；有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关

(2)分布列见解析；期望为3

【分析】（1）由题中的数据可计算出每一个值，然后填表即可，再根据表中的数据计算即可求解问题；

（2）由题意，将问题看成是二项分布即可求解问题.

【详解】（1）由题中的数据可得列联表如下：

所以，

所以有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关．

（2）（2）由题意及（1）知，购置新能源汽车的概率为的可能取值为．

，

故的分布列为：

所以

21．已知椭圆：的离心率为，以椭圆上一点和短轴两个端点为顶点的三角形面积的最大值为2.

(1)求的方程；

(2)直线过椭圆长轴上点且与椭圆相交于不同两点，，点，当为何值时为定值，并求其定值.

【答案】(1)；

(2)当时，为定值12.

【分析】（1）列方程组解方程组即得解；

（2）当直线斜率不为0，设直线：，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，为定值，求出或，当直线过点斜率为0时亦成立，即得解.

【详解】（1）解：由题意可知解得，，

故椭圆的方程为.

（2）解：当直线斜率不为0，设直线：，，，

则

整理得：，∴

由知，.

∵，，

∴

又∵，

，

代入上式得：

为定值，

∴，解得：或，

又∵在椭圆长轴上，∴，

满足，且（定值），

当直线过点斜率为0时亦成立，∴当时，为定值12.

22．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的都有成立，求m的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意可得代入求解；（2）整理即为任意的都有成立，即，因为，所以，讨论的大小判断单调性处理．

【详解】（1）由题意，.

，.

由点在切线方程上得，.

（2）由（1）可知，对任意的都有成立，

即对任意的都有成立.

令，

则.

由题可得，所以.

令，解得.

当时，，

则在上单调递增，在上单调递减；在的最小值为.

又，

所以当时，恒成立.

当时，，

则在R上单调递增，又，

所以当时，恒成立.

当时，，

则在上单调递增，则，

所以当时，不可能恒成立.

综上所述：m的取值范围为.