2021-2022学年黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校高二上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算化简，再由共轭复数的定义即可得，进而可得虚部.

【详解】，

所以，的虚部为，

故选：C.

2．已知直线和直线互相平行，则等于（       ）

A．2 B． C． D．0

【答案】C

【分析】根据题意可得，即可求出.

【详解】显然时，两直线不平行，不符合，

则，解得.经检验满足题意

故选：C.

3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（     ）

① 若 ，则         

②若，则    

③若，则            

④若，则

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】C

【分析】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直.

【详解】① 面面平行需要满足面内两条相交直线分别平行另外一个平面, 不在同一平内，有可能平行，所以不正确;②面内的一条直线垂直另外一个平面，则线面垂直，所以命题正确;③面面平行，面内的直线平行另外一个平面，所以命题正确； ④面面垂直面内的直线垂直于两个平面的交线，则线面垂直，没出与交线垂直，所以命题不正确.

故选：C.

4．已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据双曲线的离心率得到，然后由，得，即为所求的渐近线方程，进而可得结果．

【详解】∵双曲线的离心率，

∴．

又由，得，

即双曲线（）的渐近线方程为，

∴双曲线的渐近线方程为．

故选：A

5．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义，求出切线方程，求出切线和横截距a和纵截距b，面积为．

【详解】由题意可得，所以，则所求切线方程为．

令，得；

令，得．

故所求三角形的面积为．

故选：B

6．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（       ）

A． B．椭圆的焦距为

C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则

【答案】C

【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.

【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；

焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；

焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.

故选：C

7．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接交抛物线C于点Q，则（       ）

A． B． C．3 D．2

【答案】D

【分析】设出直线，与抛物线联立，可求出点坐标，在利用抛物线的定义可得，再利用抛物线的对称性求出，则可求.

【详解】如图：相关交点如图所示，

由抛物线，得 ，

则，

与抛物线联立得，

即，

解得

， 又

则为等边三角形

，

，

由抛物线的对称性可得，

故选：D.

8．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切线坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离．

【详解】点是曲线上的任意一点，设，

令，解得1或（舍去），，

∴曲线上与直线平行的切线的切点为，

点到直线的最小距离.

故选：D.

二、多选题

9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．函数在上单调递增

B．函数在上单调递减

C．函数在处取得极大值

D．函数在处取得极小值

【答案】ABD

【分析】对选项A和选项B，可直接通过函数在对应的区间的正负号判断即可；对选项C和D，通过极值的定义，只需看极值点附近两端处的的正负号情况即可判断.

【详解】根据图象可得：当时，，故在上单调递增，故选项A正确；

当时，，故在上单调递减，故选项B正确.

在的左右两边均有，故函数在处无极值，故选项C错误.

当时，，同时存在（）时，使得，故函数在处取得极小值，故选项D正确.

故选：ABD

10．已知曲线：，则（       ）

A．时，则的焦点是，

B．当时，则的渐近线方程为

C．当表示双曲线时，则的取值范围为

D．存在，使表示圆

【答案】ABD

【分析】AB选项，代入的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C选项，要想使曲线表示双曲线要满足；D选项，求出曲线表示圆时m的值.

【详解】当时，曲线：，是焦点在y轴上的椭圆，且，所以交点坐标为，，A正确；当时，曲线：，是焦点在在y轴上的双曲线，则的渐近线为，B正确；当表示双曲线时，要满足：，解得：或，C错误；当，即时，，表示圆，D正确

故选：ABD

11．已知圆和圆相交于､两点，下列说法正确的为（       ）

A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为

C．线段的长为 D．圆上点，圆上点，的最大值为

【答案】ABD

【分析】由给定条件判断圆O与圆M的位置关系，再逐项分析、推理、计算即可作答.

【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，，

，显然有，于是得圆O与圆M相交，

圆O与圆M有两条公切线，A正确；

由得：，则直线的方程为，B正确；

圆心O到直线：的距离，

则，C不正确；

，当且仅当点E，O，M，F四点共线时取“=”，如图，

因此，当点E，F分别是直线OM与圆O交点，与圆M交点时，，D正确.

故选：ABD

12．已知椭圆：上有一点，､分别为左､右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（       ）

A．若，则；

B．若，则满足题意的点有四个；

C．椭圆内接矩形周长的最大值为20；

D．若为钝角三角形，则；

【答案】BCD

【分析】由题可得，，设，结合选项利用面积公式可得可判断ABD，设椭圆内接矩形的一个顶点为，利用辅助角公式可得周长的范围可判断C.

【详解】∵椭圆：，

∴，∴，，

设，则，，

若，则，所以不存在，故A错误；

若，则，可得，故满足题意的点有四个，故B正确；

设椭圆内接矩形的一个顶点为，

则椭圆内接矩形周长为其中，

由得，

∴椭圆内接矩形周长的范围为，即，故C正确；

由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，

先考虑临界情况，当为直角时，易得，此时，

当为钝角三角形时，，所以，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．椭圆：的离心率为_____﹒

【答案】

【分析】根据椭圆的几何性质求解即可﹒

【详解】∵椭圆为，

∴，

∴﹒

故答案为：﹒

14．已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.

【答案】

【分析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.

【详解】因为和，故可得中点为，

又，故所求圆的半径为，

则所求圆的标准方程是：.

故答案为：.

15．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若点满足，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据抛物线的解析式，得出焦点坐标，且由题意可知，进而根据向量的坐标运算求出，再根据向量的数量积求得，从而可求出的取值范围.

【详解】解：由题可知，抛物线的焦点坐标，且，

由于是抛物线上一点，则，

，

，

，且，

解得：，

所以的取值范围是.

故答案为：.

16．已知函数，若，且恒成立，则实数a的取值范围为_________．

【答案】

【分析】由题意得到，由，得到，所以，构造函数，利用导数求出的最小值即可.

【详解】由题可知当时，函数单调递增，，

当时，，设，则必有，

所以，所以，

所以，

设，则，

则时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，

所以的最小值为.

所以恒成立，即，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查利用导数解决双变量问题，将一个变量由另一个变量表示，构造新的函数即可求解，注意变量的范围，考查学生分析转化能力，属于中档题.

四、解答题

17．在中，角所对的边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若，的面积为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案；

（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.

(1)

解：因为，

所以，

因为，

所以，即，

因为，所以.

(2)

解：因为的面积为，，

所以，即，

因为，所以，

所以，解得.

所以.

18．1.已知圆：，其中．

(1)如果圆与圆外切，求的值；

(2)如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值．

【答案】(1)20

(2)8

【分析】（1）两圆外切，则两圆的圆心距等于两圆半径之和，列出方程，进行求解；（2）先用点到直线距离公式，求出圆的圆心到直线的距离，再用垂径定理列出方程，求出的值.

(1)

圆的圆心为，半径为，若圆与圆外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，故，解得：

(2)

圆的圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：

19．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由频率之和为1求参数a，再根据直方图求均值.

（2）由分层抽样的比例可得抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，再应用列举法求古典概型的概率即可.

(1)

根据频率分布直方图得：

∴，

根据频率分布直方图得：，

(2)

由，和的频率之比为：1∶2∶2，

故抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，

记的1人为，的2人为，，的2人为，

故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，

其中至少有1人每天阅读时间位于的包含7种，

故概率．

20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，为的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过证明和得平面，再利用面面垂直判定定理求解；

（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.

(1)

因为底面是菱形，，所以△为等边三角形，

所以平分，所以，

所以，

又因为平面，所以，且，

所以平面，又平面，

所以平面平面；

(2)

据题意，建立空间直角坐标系如图所示：

因为，所以，

设平面一个法向量为，平面一个法向量为，

因为，

则，即，取，则，，

所以，

又因为，

则，即，取，则，

所以，

所以，

由图形知，二面角为钝角，故二面角夹角的余弦值为.

21．已知椭圆的中心是坐标原点，左右焦点分别为，设是椭圆上一点，满足轴，，椭圆的离心率为

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用是椭圆上一点，满足轴，，离心率为．列出方程组，求出，即可得到椭圆方程．

（2）由（1）可知，设直线为，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可得到，从而得到，再根据，即可得到，再利用基本不等式求出最值即可；

(1)

解：由题意是椭圆上一点，满足轴，，离心率为．

所以，解得

所以．

(2)

解：由（1）可知，，

设直线为，由，消去得，设，，则，

所以

所以，令内切圆的半径为，则，即，令，则，当且仅当，，即时等号成立，

所以当时，取得最大值；

22．已知函数，.

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)当函数有两个极值点，，且.证明：

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；

（2）根据一元二次方程根的判别式，结合导数的性质进行分类讨论求解即可；

（3）根据极值的定义，给合（2）的结论，构造新函数，再利用导数的性质， 新函数的单调性进行证明即可.

(1)

当时，.

∴.

，.

.

∴在处的切线方程.

(2)

的定义域.

；

①当时，即，

，此时在单调递减；

②当时，即或，

（i）当时，

∴在，单调递减，

在单调递增.

（ii）当时，

∴在单调递减；

综上所述，当时，在单调递减；

当时，在，单调递减，

在单调递增.

(3)

由（2）知，当时，有两个极值点，，且满足：，

由题意知，.

∴

令.

则.

在单调递增，在单调递减.

∴.

即.