2021-2022学年陕西省汉中市高二上学期期中校际联考数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省汉中市高二上学期期中校际联考数学试题

一、单选题

1．不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】转化成一元一次不等式组求解即可．

【详解】解：由得

或，

解得或．

故选：B．

2．等差数列中，，，则公差等于（    ）

A．3 B． C．6 D．

【答案】A

【分析】直接利用等差数列的性质进行求解即可

【详解】由等差数列可得，，，联立得，

故选：A

3．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作差，根据作差后代数式的符号即可判断.

【详解】 ，

所以 ；

故选：B.

4．已知，下列不等式错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质判断即可.

【详解】因为，所以，，，

故选：C

5．在中，角的对边分别为，若，则一定是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】C

【分析】利用余弦定理求解.

【详解】解：因为，

所以,

则，

所以一定是钝角三角形，

故选：C

6．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ）

A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺

【答案】D

【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.

【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.

故选：D

7．记为等比数列的前项和.若，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．7

【答案】D

【分析】根据等比数列前项和的性质列方程求解即可.

【详解】因为为等比数列的前项和，

所以成等比数列，

所以，

因为，

所以，解得7，

故选：D.

8．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则的解的个数是（    ）

A．2 B．1 C．0 D．不确定

【答案】A

【分析】利用正弦定理求解．

【详解】由正弦定理得，所以，

又，所以，所以角可能为锐角，也可能为钝角，B有两解．

故选：A．

9．设实数满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．0 B．2 C． D．5

【答案】D

【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.

【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，

根据平移知当时，有最大值为.

故选：D.

10．设等差数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为（    ）

A．7 B．8 C．3 D．11

【答案】A

【分析】利用与的函数关系即可求得取最大值时的值.

【详解】由已知，所以

所以，又因为

因为的对称轴为，开口向下，

所以取最大值时，

故选：A

11．一艘故障渔船在A点处正以15海里/小时的速度向正西方向行驶，救援船从位于A点北偏西方向相距海里的B点出发，需在1小时内（含1小时）接应到故障船，则救援船的速度最小应为（    ）

A．10海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．20海里/小时

【答案】B

【分析】由题意，当故障船刚好1个小时得到救援时救援船的速度最小，若速度为，应用余弦定理即可求.

【详解】如下图，若为正西方向，为救援船、故障渔船的相遇点，且，

∴要使1小时内（含1小时）接应到故障船，若刚好1个小时得到救援，设救援船的最小速度为，此时，

∴由余弦定理：，则海里/小时.

故选：B

12．若数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】数列是递增的整数数列，则有，且.研究数列为公差为1的等差数列，即可求出的最大值.

【详解】设.

因为数列是递增的整数数列，则有，且.

假设，数列是公差的等差数列，，

则，

因为，当时，，.

由已知可得，显然有，所以.

所以，的最大值为6.

故选：B.

二、填空题

13．不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】数轴穿根法解.

【详解】

令每个括号为0得到三个零点，

数轴穿根法画出上图读解得：

故答案为：

14．若关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是___________.

【答案】

【分析】结合对应二次函数的性质分析可得，函数图象恒在轴上方，与轴无交点，即，求解即可

【详解】由题意，关于x的不等式的解集为R

根据二次函数性质，对应的二次函数开口向上，要保证恒成立，即函数图象恒在轴上方，与轴无交点

即

解得：

故实数m的取值范围是

故答案为：

15．函数的最小值为___________.

【答案】4

【分析】先将拆为两项，显然均为正，然后利用均值不等式计算，注意等号成立的条件.

【详解】，即，当，即时等号成立，所以的最小值为4.

故答案为：4

16．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．

【答案】28

【分析】依题意得数列{an}是周期为3的数列，再由a1＝1，a2＝2，公积为8，求出a3＝4，然后根据周期可求得结果

【详解】因为数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，

所以a1a2a3＝8，所以a3＝4，

同理可得a4＝1，a5＝2，a6＝4，……

所以数列{an}是周期为3的数列，

因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28．

故答案为：28

三、解答题

17．求下列不等式的解集：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】根据方程的根与不等式解集关系进行计算即可.

【详解】（1），

，解得.

原不等式的解集为.

（2）不等式等价于，

，解得或.

原不等式的解集为或.

18．在中，内角的对边分别为.已知.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据正弦定理即可求出的值

（2）通过余弦定理表达出的关系，解方程即可得到的值

【详解】（1）在中，，

由正弦定理得.

（2），

由余弦定理，得，

整理得，解得或.

19．在等比数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)记为的前项和，若，求.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）利用等比数列通项公式化简已知等式，可构造方程求得公比，由等比数列通项公式可得；

（2）分别在和的情况下，根据等比数列求和公式可构造方程求得.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

由得：，即，解得：或，

或.

（2）当时，，解得：；

当时，，解得：；

综上所述：或.

20．已知正数满足.

(1)求的最小值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)36

(2)16

【分析】(1)直接利用基本不等式即可求解的最小值.

(2)利用“1”的代换，结合基本不等式求解.

【详解】（1），

，得，

当且仅当，即时取等号，的最小值为36.

（2），

，

当且仅当时取等号，

的最小值为16.

21．在中，内角所对的边分别为，若，.

（1）求；

（2）若边的中线长为，求的面积.

【答案】（1） （2）1

【解析】（1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式可求得，得角；

（2）在中应用余弦定理求得，再用三角形面积公式求得面积．

【详解】解：（1）在中，，且，

∴，

∴，

又∵，∴.

∵是三角形的内角，∴.

（2）在中，，

由余弦定理得，

∴．即，,

∵，∴.

在中，，，，

∴的面积.

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式．解三角形是时，要注意已知条件，根据条件确定选用正弦定理还是余弦定理是解题关键．

22．已知各项均为正数的等差数列的公差为4，其前n项和为且为的等比中项

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和；

（3）求证：.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求得的通项公式；

（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求得结果，

（3）利用的单调性和放缩法可证得结论

【详解】解：（1）因为数列是公差为4的等差数列，

所以.

又，所以，即，

解得或（舍去），所以.

（2）因为，

所以

.

（3），

单调递增，

n=1时，最小为，

因为，所以

所以.