2021-2022学年陕西省西安市阎良区关山中学高二下学期第一次质量检测数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省西安市阎良区关山中学高二下学期第一次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．某物体的位移是时间的函数，物体在时的速度为，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的物理意义直接构造方程求解即可.

【详解】，当时，，解得：.

故选：C.

2．一物体的运动速度v＝2t＋1，则在1秒到2秒的时间内该物体通过的路程为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】根据路程，利用定积分即可得解.

【详解】解：因为物体的运动速度v＝2t＋1，

所以在1秒到2秒的时间内该物体通过的路程.

故选：A.

3．已知的图象如图所示，则与的大小关系是（       ）

A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义，结合图象可得答案.

【详解】由导数的几何意义可知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，

由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．

故选：B

4．S1＝2xdx，S2＝3xdx的大小关系是（       ）

A．S1＝S2 B．S＝S2 C．S1＞S2 D．S1＜S2

【答案】D

【分析】根据定积分的几何意义，结合指数函数的性质即可得出答案.

【详解】解：表示的是曲线及轴围成图形的面积，

表示的是曲线及轴围成图形的面积，

因为在内曲线曲线在曲线的下方，

所以.

故选：D.

5．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值是（       ）

A．－4 B．4

C．±4 D．不确定

【答案】B

【分析】由已知结合求导即可求解.

【详解】，

∴α＝4.

故选：B.

6．已知定积分，且为偶函数，则（ ）

A．0 B．8 C．12 D．16

【答案】D

【详解】分析：根据定积分的几何意义知，定积分的值是f（x）的图象与x轴所围成的平面图形的面积的代数和，结合偶函数的图象的对称性即可解决问题．

详解：原式= +．

∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，

∴对应的面积相等，则．

故选D．

点睛：本题主要考查定积分以及定积分的几何意义，属于基础题．

7．设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.

8．由轴和所围成的图形的面积为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意确定交点横坐标，再由定积分即可求出结果.

【详解】由得或，

所以由与轴所围成的图形面积为.

故选C

【点睛】本题主要考查定积分的应用，熟记定积分的几何意义即可，属于基础题型.

9．等比数列中，，，函数，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】对函数进行求导发现中，含有的项的值均为0，而常数项为，由此求得的值．

【详解】解：，

，

考虑到求导中，含有项均取0，

得：．

故选：．

【点睛】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题．

10．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是（       ）

A．[0，1) B．(0，1)

C．(－1，1) D．

【答案】B

【分析】对f(x)求导，然后对a分a≤0和a>0两种情况讨论函数的单调性，由单调性确定函数的最值.

【详解】由题意，＝3x2－3a＝3(x2－a),

当a≤0时，＞0，

∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.

当a＞0时，＝3(x－)( x＋),不妨只讨论时

当x＞，，f(x)为增函数，当0＜x＜时，, f(x)为减函数，

∴f(x)在x＝处取得最小值，

∴＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最小值.

故选：B.

11．设，则等于（       ）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【分析】利用定积分的计算法则可求得结果.

【详解】.

故选：C.

12．函数（       ）

A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值

C．最大值为，最小值为 D．无最值

【答案】C

【分析】由题意，分，，三种情况，利用基本不等式求最值，即可得出结果.

【详解】因为，

当时，；

当时，，且，

当且仅当，即时，等号成立；因此；

当时，，且，

当且仅当，即时，等号成立；因此；

综上，函数的值域为，

即函数有最大值，最小值为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查由基本不等式求函数最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

二、填空题

13．定积分__________.

【答案】2.5

【详解】如图所示，.

故答案为：2.5

14．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，则f（2）＋＝________．

【答案】

【分析】由已知结合导数的计算及几何意义即可求解．

【详解】由题图可知，直线l的方程为：9x＋8y－36＝0．

当x＝2时，y＝，即f（2）＝．

又切线斜率为－，即f′（2）＝－，

∴f（2）＋＝．

故答案为：

15．已知，则________.

【答案】

【分析】利用导数的定义可求得所求代数式的值.

【详解】.

故答案为：.

16．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ________________.

【答案】

【详解】解析：依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：

17．求由抛物线与直线所围成的图形的面积．

【答案】

【分析】求出被积区间，确定被积函数，利用定积分可求得所求图形的面积.

【详解】联立可得，解得或，

当时，，

所以，所求图形的面积为.

三、解答题

18．如果1 N力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，求耗费的功为多少焦耳（J）.

【答案】0.18

【分析】根据胡克定律，得：，即，解得答案．

【详解】解：根据胡克定律，得：，

，

即耗费的功为0.18焦耳

19．求函数在区间上的最大值与最小值.

【答案】，.

【分析】求出函数的导函数，进而求得函数的单调区间，从而可求得函数在区间上的最大值与最小值.

【详解】解：由，则，

令，则或，

令，则，

所以函数在上递减，在和上递增，

又，

所以，.

20．已知函数.

(1)若是的极值点，求在上的最大值和最小值；

(2)若在上是单调递增的，求实数的取值范围.

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)

【分析】（1）由可求得实数的值，再利用函数的最值与导数的关系可求得函数在上的最大值和最小值；

（2）分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围.

【详解】(1)解：因为，则，则，解得，

所以，，则，列表如下：

所以，，因为，，则.

(2)解：由题意可得对任意的恒成立，即，

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故.

21．设函数y=x3+ax2+bx+c的图像如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4.

(1)求a，b，c的值.

(2)求函数的递减区间.

【答案】(1)；

(2)（0，2）．

【分析】（1）由题得到三个方程，解方程即得解；

（2）解不等式＜0即得函数的单调递减区间．

【详解】(1)解：由题意知 ，∴c＝0 .

∴＝x3+ax2+bx ，   所以＝3x2+2ax+b

由题得＝b＝0，

∴＝3x2+2ax＝0，故极小值点为x，

∴f（）＝﹣4，∴a4，解得a＝﹣3.

故.

(2)解：令＜0   即3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2，

∴函数的递减区间为（0，2）．

22．已知函数f（x）＝x3﹣ax2+bx+c（a，b，c∈R）．

（1）若函数f（x）在x＝﹣1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；

（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围．

【答案】（1）； （2）(－∞，－18)∪(54，＋∞).

【分析】(1)根据函数的极值的概念得到方程组解出参数值即可；（2）对函数求导得到函数的单调性和极值，进而得到函数的最大值为c＋54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可.

【详解】(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，

∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，

∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．

∴ ∴.

经检验满足题意.

(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，

f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.

当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，

∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，

要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，

当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54 ，

当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.

∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为实数c的取值范围．

【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性和极值中的应用，涉及恒成立求参的问题，对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0.