2021-2022学年陕西省榆林市府谷县第三中学高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市府谷县第三中学高二上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号，从中随机摸出一个球，设事件为摸出的小球编号为奇数，则事件的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据古典概型公式计算即可.

【详解】解：由题知，从中随机摸出一个球，小球编号的可能的情况有种，

事件为摸出的小球编号为奇数的情况有种，

所以，根据古典概型得

故选：A

2．在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【答案】C

【分析】当散点图中的点集中在一条直线的附近时，说明两个变量具有线性相关关系，由此进行判断即可

【详解】解：由图可知，②③中的点集中在一条直线的附近，所以图②③中的两个变量具有线性相关关系，

故选：C

3．树人中学为了庆祝中国共产党建党100周年举办党史知识竞赛，在十二进六的半决赛中，12名参赛同学成绩各不相同，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道12名同学成绩的（    ）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

【答案】B

【分析】根据均值、中位数、众数、方差等数据特征的定义判断．

【详解】12名学生的成绩按从小到大顺序排列后中位数是中间两个成绩的平均值，比中位数大的就进入决赛．而12个成绩中有一个偏小时平均值就可能偏小，众数只是出现次数最多的数，它们不能确定名次的前后，方差反应的是数据波动情况，不能确定数据的大小顺序．

故选：B．

4．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】全称命题的否定为特称命题，条件不变，只进行结论的否定.

【详解】全称命题的否定为特称命题，条件不变，只进行结论的否定.只有A选项符合题意.

故选：A

5．下列正确的结论是

A．事件A的概率的值满足

B．如，则为必然事件

C．灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为

D．如，则为不可能事件

【答案】C

【分析】根据必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，利用排除法可得结果.

【详解】因为必然事件的概率为1，

所以可排除选项；

因为不可能事件的概率为0，

所以可排除选项

根据概率的定义可知，灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个是合格品的可能性为，故选C

【点睛】本题主要考查必然事件与不可得事件的概率，考查了概率的性质，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.

6．犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（   ）

A．三次都中靶 B．只有两次中靶

C．只有一次中靶 D．三次均未中靶

【答案】D

【分析】利用互斥事件的定义判断.

【详解】因为连续射击三次的结果有四种：三次都中靶，只有两次中靶，只有一次中靶，三次均未中靶，

而打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”是三次都中靶，只有两次中靶或只有一次中靶，

所以打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是三次均未中靶，

故选：D

7．下列说法中正确的个数是（    ）

①若为真命题，则均为真命题；

②设，命题“若，则”的否命题是真命题；

③命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】依次判断各个命题即可得答案.

【详解】解：①若为真命题，则至少有一个为真命题，均为真命题不一定成立，故错误；

②设，命题“若，则” 否命题是“若，则”，为真命题，故正确；

③命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故正确.

所以，说法中正确的个数是2个.

故选:C

8．在区间中随机选取一个数，则这个数不大于5的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用几何概型的概率公式求解

【详解】解：

由几何概型可知，这个数不大于5的概率为.

故选：D

9．“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出给定方程表示椭圆的等价条件构成的集合，再与集合比对即可判断得解.

【详解】方程表示椭圆，则有，解得或，

于是得方程表示椭圆的m取值集合为，

显然，，

所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.

故选：B

10．已知命题；命题.则（    ）

A．是假命题 B．是真命题

C．是假命题 D．是真命题

【答案】D

【分析】构造函数，证明对恒成立得命题为真命题，再根据命题为假命题，判断各选项即可得答案.

【详解】解：令，，

所以，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，，故对恒成立，

所以，命题为真命题；

由于，故命题为假命题.

所以，，，为真命题，为假命题.

故选：D

11．随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半

B．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的

C．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多

D．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为30%

【答案】B

【分析】利用图表可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数比例，即可判断.

【详解】解：设2020年到该地旅游的游客总人数为，

由题意可知游客中老年人､中年人､青年人的人数分别为，，，

其中选择自助游的老年人､中年人､青年人的人数分别为，，.

因为，所以错误；

2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数与总游客人数的比值为，则正确；

因为，所以错误；

2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为

，则错误.

故选：B

12．已知是椭圆的右焦点，过椭圆的下顶点且斜率为的直线与以点为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求得过椭圆的下顶点且斜率为的直线，利用圆心到此直线的距离列方程，化简求得离心率.

【详解】过椭圆的下顶点且斜率为的直线方程为，

，由点到直线距离公式，得，

即，，则.

又，即，

解得.

故选：A

二、填空题

13．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内所夹的谷约为__________石.

【答案】134

【分析】根据“利用样本估计总体”的知识列方程，化简求得正确答案.

【详解】设批米内所夹的谷为石，

依题意，石.

故答案为：

14．从800名同学中，用系统抽样的方法抽取一个20人的样本，将这800名同学按进行随机编号，若第一组抽取的号码为3，则第五组抽取的号码为__________.

【答案】163

【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案.

【详解】组距为，

所以第五组抽取的号码是.

故答案为：

15．椭圆的焦距为4，则等于________.

【答案】4或8；

【分析】分焦点在x轴，y轴上讨论，结合焦距是4，即得解.

【详解】由题意，若焦点在x轴上，；

若焦点在y轴上，；

综上：m=4或8

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

16．如图所示的茎叶图是甲､乙两队10场比赛的得分数据，给出下列结论：

①甲队得分的极差是27；

②乙队得分的中位数是38；

③乙队得分的众数是43；

④甲､乙两队得分在分数段的频率相等；

⑤甲队得分的稳定性比乙队好.

其中正确结论的序号为__________.

【答案】①③⑤

【分析】根据茎叶图结合统计的相关概念逐项分析判断.

【详解】由茎叶图可得：

甲队得分：，

乙队得分：，

对①：甲队得分的极差是，①正确；

对②：乙队得分的中位数是，②错误；

对③：乙队得分的众数是43，③正确；

对④：甲队得分在分数段的频率为，乙队得分在分数段的频率为，④错误；

对⑤：

甲队的平均数，

方差，

乙队的平均数，

方差，

∵

∴甲队得分的稳定性比乙队好，⑤正确.

故答案为：①③⑤.

三、解答题

17．在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是，在的概率是，在的概率是，在60分以下的概率是.求：

(1)的值；

(2)小江考试及格（成绩不低于60分）的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据其概率和为1求解即可；

（2）结合（1），根据对立事件的概率公式求解即可.

【详解】（1）解：分别记小江的成绩在90分以上，，60分以下为事件，它们是互斥事件，

由条件得：，

由题意得，

所以，.

（2）解：由（1）知，，

小江考试及格（成绩不低于60分）的概率

18．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中的值；

(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

【答案】(1)

(2)71

【分析】(1)根据小矩形面积之和为1可计算得的值.(2)平均值为每组数据中的中点値乘以频率再相加即可.

【详解】（1）由，

得.

（2）样本平均数，

故可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71.

19．乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼，会定期地举办乒乓球竞赛.已知该中学高一､高二､高三三个年级的人数分别为，现采取分层抽样的方法从三个年级共抽取7人参加校内终极赛.

（1）求该中学高一､高二､高三三个年级参加校内终极赛的人数；

（2）现从抽取的7人中再随机抽取2人拍照做海报宣传，求“抽取的2人来自同一年级”的概率.

【答案】（1）高一､高二､高三三个年级参加校内终极赛的人数分别为3，2，2；（2）.

【分析】（1）直接利用分层抽样计算可得；

（2）列举基本事件，利用古典概型求概率即可.

【详解】解：（1）高一､高二､高三三个年级的人数分别为，则分层抽取的人数比为，

由于，

所以高一､高二､高三三个年级参加校内终极赛的人数分别为3，2，2.

（2）设抽取的7人中高一的3人分别用表示，高二的2人分别用表示，高三的2人分别用表示，

则从抽取的7人中再随机抽取2人的所有可能结果为共21种，

抽取的2人来自同一年级的所有结果为共5种，

故“抽取的2人来自同一年级”的概率.

【点睛】古典概型的概率计算中列举基本事件的方法：

（1）枚举法；（2）列表法；（3）坐标法；（4）树状图法.

20．某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革､探索销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量（吨）与相应的生产总成本（万元）的五组对照数据.

(1)根据上表数据，请用最小二乘法求关于的线性回归方程；

(2)预测当为8时，生产总成本的估计值.

参考公式：.

【答案】(1)

(2)万元

【分析】（1）根据题中的数据和公式运算求解；

（2）取代入（1）中所得公式运算求解.

【详解】（1）由题意可得：，

，

则，

故关于的线性回归方程为.

（2）取，可得，

故预测当为8时，生产总成本的估计值为万元.

21．已知命题：指数函数在上单调递减，命题：关于的方程的两根都大于1.

(1)当时，若是真命题，求的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，进而解得答案；

（2）由题知是真命题时，是真命题，，进而得是的真子集，再求范围即可.

【详解】（1）解：当时，，

若是真命题，则，解得，

故的取值范围是.

（2）解：若是真命题，则，解得，

关于的方程的两根分别为和，

若是真命题，则，解得，

因为是的充分不必要条件，

所以是的真子集

所以，，即的取值范围是.

22．已知椭圆的两焦点分别为，椭圆上的动点满足分别为椭圆的左，右顶点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与轴交于点，与直线交于点（异于点），为坐标原点，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆定义结合之间的关系运算求解；

（2）设点，先根据椭圆方程证明再求点P的坐标，即可得.

【详解】（1）由题可设椭圆的方程为，

由椭圆的定义可知：，则，，

故椭圆的方程为.

（2）由（1）可得，

设点，则，，，即，

∴

设直线的方程为，则，

联立，解得，即

则，

∴，

故.