2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高二上学期第一次检测考试数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市神木中学高二上学期第一次检测考试数学试题

一、单选题

1．若点是角的终边上一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义可知，将数值代入计算可得结果.

【详解】由题意可知，将代入得

，即.

故选：D.

2．若函数的最小正周期为，则（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【分析】结合最小正周期的公式直接求解即可.

【详解】因为，所以，

故选：A.

3．在等差数列中，，则

A．72 B．60 C．48 D．36

【答案】B

【解析】由等差数列的性质可知：由，可得，所以可求出，再次利用此性质可以化简为，最后可求出的值.

【详解】根据等差数列的性质可知：，

，故本题选B.

【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算能力.

4．已知且，那么下列不等式中，成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】选项，利用，的正负判断即可；、选项，利用不等式两边同乘，判断；选项，利用不等式开方性质判断．

【详解】解：因为，所以，又，所以，即，所以选项错误；

选项：因为，所以，所以选项错误；

选项：因为，，所以，所以选项错误；

选项：因为，，所以，所以选项正确．

故选：．

5．若，，且，则xy的最大值为（    ）

A．9 B．6 C．3 D．

【答案】D

【分析】由，，且为定值，利用基本不等式求积的最大值.

【详解】因为，，且，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

即的最大值为.

故选：D.

6．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】B

【分析】由题意可得，解不等式即可求出结果.

【详解】关于的一元二次不等式的解集为，

所以，解得，

故选：B.

7．若函数图像的一条对称轴为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据为对称轴，得到，然后对取值，结合的取值范围即可求解.

【详解】因为为的一条对称轴，则，所以，当时，，此时，符合题意.

故选：A

8．如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量加法的三角形法则，把,分别用和来表示，再根据共线向量都转化成.

【详解】在中由向量加法的三角形法则得：，

又因为是的中点，所以,

所以.

在中由向量加法的三角形法则得：

又因为E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，

所以

所以.

故选：B.

9．若，，则P，Q的大小关系为（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】C

【分析】求出，然后比较与的大小后可得．

【详解】，

∵，，

所以，所以，

所以，，所以．

故选：C．

10．把函数图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A．1 B． C．－1 D．

【答案】D

【分析】由题意，将函数的图像，向右平移个单位长度，再把所得曲线图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得的图像，即可得解析式，由此可得答案.

【详解】解：由题意，将函数的图像，向右平移个单位长度，得，

再把所得曲线图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得，

解析式为，

则，

故选：D

11．数列中，，对任意 ，若，则 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.

【详解】在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.

12．数列满足，对任意，都有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题设条件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂项相消法求和即可.

【详解】由，得，则

，

所以，

.

故选：C.

【点睛】本题考查累加法求数列通项，考查利用错位相减法求数列的前n项和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

二、填空题

13．已知，则_________.

【答案】

【分析】由诱导公式求得，再由正切的二倍角公式计算．

【详解】，

，

故答案为：．

14．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为_________.

【答案】##

【分析】根据向量夹角公式求解即可.

【详解】设夹角为，则由平面向量数量积的定义可得，

因为，，，

所以，因为，所以.

故答案为：.

15．若，满足约束条件则的最小值为______．

【答案】6

【分析】作出可行域，作直线，平移该直线可得最优解．

【详解】作出可行域，如图内部（含边界），

作直线，直线中是直线的纵截距，

代入得，即．

向下平移直线，减小，当直线过点时取得最小值6．

故答案为：6．

16．宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为_________m.（，，结果取整数）

【答案】44

【分析】根据题意可得为等腰三角形，即可得，然后在中利用正弦定理可求得结果.

【详解】因为，，，

所以，

所以，所以，

因为，

所以，

，

在中，由正弦定理得，

，

所以

所以，

故答案为：44.

三、解答题

17．已知.

(1)化简；

(2)若角为第二象限角，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由诱导公式化简；

（2）由平方关系求得，再由商数关系得，从而得结论．

【详解】（1）.

（2）∵，，角为第二象限角，

∴，∴.

∴.

18．在等差数列中，已知，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前n项和为，且，求m的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）代入等差数列的通项公式解出答案即可.

（2）由（1）的结论写出等差数列的前n项和为，解出式子即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得，.

∴.

（2）由（1）可得，

∴，解得或.

19．已知函数的部分图像如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求函数的最值.

【答案】(1)

(2)最小值为，最大值为1

【分析】（1）最值求，周期求，特殊点求求；（2）先求出的范围，再求最大和最小值即可.

【详解】（1）由图像知，的最小正周期，∴.

又函数过点，

∴.

∴，，，∴.

∴.

（2）∵，∴.

∵函数在上单调递增，在上单调递减，

又∵，，，

∴函数在上的最小值为，最大值为1.

∴函数的最小值为，最大值为1.

20．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;

（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.

【详解】（1）根据正弦定理及，

得.

∵，

∴.

∵，

∴.

（2）由（1）知，又，

由余弦定理得，

即，

∵，

∴，即，

当且仅当时取等号.

∴.

∴的最大值为.

21．已知二次函数，.

(1)若关于x的不等式的解集为，求实数a，b的值；

(2)若，解关于x的不等式；

(3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）由题意可得1，2是方程的两个根，然后利用根与系数的关系可求出实数a，b的值；

（2）将化为，再分，和三种情况求解；

（3）将问题转化为在上恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可.

【详解】（1）∵的解集为，

∴1，2是方程的两个根.

∴，.

∴，.

（2）当时，不等式等价于，

∴.

∴当，即时，，解得；

当，即时，不等式的解集为或；

当，即时，不等式的解集为或.

（3）∵在上恒成立，

∴在上恒成立.

∴在上恒成立.

∴在上恒成立.

∵，当且仅当时等号成立，

∴.

22．已知向量，，其中.

(1)若，求的值；

(2)记，若函数在上单调递增，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换、诱导公式求解；

（2）利用三角函数的性质求解.

【详解】（1）∵，，，

∴.

∴，即.

∴.

（2）由（1）知.

当时，.

∵函数在上单调递增，

又∵的单调递增区间为，，

∴，.

∴，.

∴，，解得，又，

∴当时，.