2021-2022学年上海市崇明区高二下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市崇明区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．

【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，

P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．

故选C．

【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．

2．如图所示，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】由平均数和标准差的概念判断即可.

【详解】由图可知，，又样本波动程度大于样本，所以.

故选：B.

3．若双曲线和双曲线的焦点相同，且给出下列四个结论：

①；  

②；

③双曲线与双曲线一定没有公共点；  

④；

其中所有正确的结论序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④

【答案】B

【分析】对于①，根据双曲线的焦点相同，可知焦距相同，可判断；对于②，举反例可说明；对于③，根据可推得，继而推得，可判断双曲线与双曲线一定没有公共点；对于④，举反例可判断.

【详解】对于①：∵两双曲线的焦点相同，∴焦距相同，

∴，即，故①正确；

对于②：若，，，，则，故②错误；

对于③：∵，∴，∴ ，即，

即，双曲线与双曲线一定没有公共点，故③正确；

对于④：∵，∴，

∵且，∴ ，

若，，，，则，故④错误.

故选：B

4．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意及选项构造函数，然后求导判断出函数的单调性，再根据单调性判断出各值的大小，进而得到结论．

【详解】由题意设，

则，

所以函数在上单调递增，

所以，即．

故选B．

【点睛】当题目条件中有含有导函数的不等式，而所求结论与判断函数值的大小有关时，解题时一般需要通过构造函数来解决．构造函数时要根据题意及积或商的导数来进行，然后判断出所构造的函数的单调性，进而可比较函数值的大小．

二、填空题

5．直线的倾斜角的大小等于_____________．

【答案】##

【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.

【详解】解：设直线的倾斜角为

由题知，直线的斜率，

所以

故答案为：

6．椭圆的焦距为______.

【答案】

【分析】根据椭圆的标准方程及间的关系求解.

【详解】由椭圆可知，，

所以，

解得，

所以焦距为.

故答案为：

7．某校高二年级有300人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为___________．

【答案】120

【分析】根据样本量的定义求解即可.

【详解】由已知总体中的元素的个数为300，抽取变量为，故样本量为，

故答案为：120.

8．已知，则方程的解是___________．

【答案】1或2##2或1.

【分析】根据组合数的性质列方程求解即可.

【详解】因为，，

所以由组合数的性质得或，

解得或，

故答案为：1或2

9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石（精确到小数点后一位数字）

【答案】169.1

【分析】根据样本中夹谷的含量估算总体的夹谷的含量即可.

【详解】解：由题意可知样本中夹谷的含量为：＝，

所以总体中夹谷为：1534    169.1（石）.

故答案为：169.1.

10．若关于的二项式的展开式中一次项的系数是，则__________．

【答案】

【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为1，即可得到实数的值．

【详解】展开式的通项公式为，由，得，

所以一次项的系数为，得，

故答案为．

【点睛】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，熟练掌握二项式展开式的通项公式是关键，属于基础题．

11．过原点且与圆相切的直线方程为__________

【答案】或

【分析】根据所给圆的圆心和半径，分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，即可得解.

【详解】由圆的圆心为，半径，

故过原点的切线斜率不存在时，其切线方程为，

当切线斜率存在时，可设直线方程为，

由圆心到直线的距离，

解得，切线方程为，

故答案为：或.

12．已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为__________

【答案】

【分析】设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出实数的值，化简可得双曲线的标准方程.

【详解】设所求双曲线的方程为，则有，即双曲线的方程为，

因此，该双曲线的标准方程为.

故答案为：.

13．已知在区间上．在下面所示的图象中，可能表示函数的图象的有___________ (填写所有可能的选项）．

【答案】（1）

【分析】根据题意切线的斜率始终大于1，对比选项得到答案.

【详解】在上，切线的斜率始终大于1，仅（1）满足．

故答案为：（1）

14．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．

【答案】

【分析】由导数的几何意义求出切线方程，结合切线经过坐标原点，即可求得的值.

【详解】因为，所以，

所以，又，

所以在处的切线方程为：，

又切线方程过原点，把代入得，

解得：．

故答案为：.

15．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有___________种．

【答案】120

【分析】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中.

【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有种方法；

另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中，有种，

因此共有种.

故答案为：120

16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.

【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为

设,

由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）

则，

又设直线PN的方程为

由到直线PN的距离为1，得，整理得

则，又，故

则直线PN的方程为，

故，

由，解得，故椭圆的离心率

故答案为：

【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

三、解答题

17．已知在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程是．

(1)求抛物线的方程；

(2)直线过点与抛物线交于、两点，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据准线方程得到，得到抛物线方程.

（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算得到证明.

【详解】（1）由抛物线的准线方程为，得，        

所以抛物线方程为；

（2）当直线斜率不存在时，直线，此时，

因为，所以；        

当直线斜率存在时，设直线，

联立，消去y得，

所以，

所以

，

所以，

综上，，得证．

18．（1）7个人站成一排．若甲和乙不能相邻排列，有多少种不同的排法?

（2）要将8本各不相同的教科书排成一排放在书架上，其中数学书3本、外语书2本、物理书3本．如果3本数学书要排在一起，2本外语书也要排在一起，那么有多少种不同的排法?

【答案】（1）3600；（2）1440.

【分析】(1)利用插空法解决即可；(2)利用捆绑法解决即可.

【详解】（1）先将除甲，乙外的5人排成一排，共有种排法，再从5人的排列所产生的6个空隙中选择两个空隙排甲与乙，有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法；

（2）将3本数学书与2本外语书分别视为一个整体，与3本物理书排成一排有种排法，再排三本数学书有种排法，最后排2本外语书，有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法.

19．某企业质检人员从所生产的产品中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如下频率分布直方图．

(1)求出直方图中的值；

(2)在样本中，有的个体小于或者等于中位数，同时也有的个体大于或者等于中位数，所以在频率分布直方图中，在中位数的左边和右边直方图的面积相等．请利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的产品的质量指标值的中位数(精确到)．

【答案】(1)0.030

(2)73.33

【分析】（1）用所有的矩形面积之和为1，求得m的值；

（2）先估计中位数n落在内，用n左边的面积为0.5求出n值.

【详解】（1）由，解得，

所以直方图中m的值为0.030

（2）因为，所以中位数在第4组，

设中位数为n，则，解得，

所以估计该企业所生产的产品质量指标值的中位数为73.33．

20．已知函数．

(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；

(2)根据的取值，讨论函数的单调性；

(3)讨论函数在区间上的零点个数．

【答案】(1)

(2)分类讨论，答案见解析.

(3)分类讨论，答案见解析.

【分析】（1）利用切点和斜率求得的值.

（2）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.

（3）对进行分类讨论，结合的单调性和零点的存在性定理求得正确答案.

【详解】（1），

因为函数在点处的切线方程为，

所以，即，解得；

（2）恒成立，

当时，对恒成立，所以在R上单调递增；

当时，时，时，

所以在单调递减，在上单调递增；

（3）①当时，在上单调递增，且有唯一零点，

所以在区间上没有零点；

②当时，由（2）知在单调递减，在上单调递增，

且，所以在区间上有1个零点；

③当时，由（2）知在单调递减，在上单调递增，

且，所以在区间上没有零点；

④当时，由（2）知在单调递减，且，

所以在区间上没有零点；

综上，当时，在区间上没有零点；

当时，在区间上有1个零点．

【点睛】利用导数研究函数的单调性，若导函数含有参数，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.利用导数研究函数的零点，利用导数求得函数的单调区间后，可结合零点存在性定理来判断零点的个数.

21．已知双曲线，双曲线的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．

(1)当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积；

(2)若点A的坐标是，求直线AB的方程；

(3)求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意求得，由三角形面积公式即可求得答案；

（2）设圆C的方程为，由点A的坐标求得m，联立求得B点坐标，可得答案；

（3）设直线AB的方程为，，联立，可得根与系数的关系式，再联立可得，结合根与系数的关系式化简，可得的圆心到直线AB的距离等于半径，可证明结论．

【详解】（1）（1）由题意△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，，

所以点A在直线处，设A，代入，解得，取

则，所以△OFA的面积；

（2）设圆C圆心坐标为，因其过原点，则.

故圆C方程为：.

代入点A，得，解得.

将圆C方程与联立得,消去得：

解得.又B点在双曲线右支，故B.

则AB方程为：.

化简为即.

（3）证明：由题直线AB斜率必存在，

故设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），

圆C的方程为，

由，消去y得:

由题意，得：，且，

由，消去x化简得：，所以.

所以，

即

得原点O到直线AB的距离，所以直线AB与圆相切．

【点睛】关键点点睛：本题为直线，圆，双曲线综合题.（1），（2）为基础题，难点在于（3）.关键在于做第二问时，能够发现对于任意A，B两点，均有，从而在（3）中建立起与关系，得到.