2021-2022学年上海市南汇中学高二下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市南汇中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】利用相关系数的含义,判断每个选项里的相关系数的绝对值的大小即可.

【详解】当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关； ，且 越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小，

故 ，因此线性相关最强的是A,

故选：A

2．甲乙两位游客慕名来到东莞旅游，准备分别从东城黄旗山、虎门威远炮台、道滘粤晖园和长安莲花山4个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择虎门威远炮台，则条件概率=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】应用古典概型的概率求法求、，再由条件概率公式求.

【详解】由题设，，，

所以.

故选：D

3．函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．的极小值点为， B．的极大值点为

C．有唯一的极小值 D．函数在上的极值点的个数为

【答案】D

【分析】根据图象直接判断即可.

【详解】由图像可知，的极小值点为，极大值点为，故A，B选项错误；

，为的极小值点，故C错误；

由极值点的概念知函数在上的极值点是，，个数为2，D正确；

故选：D.

4．在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数(也叫高斯函数)，它表示等于不超过的最大整数，如， ，已知，（，且），则

A．2 B．5 C．7 D．8

【答案】D

【详解】分析：根据题意得到数列项，通过观察可得数列的周期性，然后根据周期性求值即可．

详解：∵，（，且），

∴，

同理可得

∴，即数列的周期为6．

∴．

故选D．

点睛：本题考查数列周期性的判定和应用，考查学生的应用意识和解决问题的能力，解题的关键是通过给出的新定义结合列举得到数列的周期，然后再利用周期求值．

二、填空题

5．设是等差数列的前项和，若，则_____．

【答案】

【分析】根据等差数列的前项和公式求解.

【详解】设等差数列的公差为，

所以.

故答案为：.

6．若函数在区间上的平均变化率为5，则______．

【答案】3

【分析】利用函数平均变化率的计算公式计算.

【详解】解：函数在区间上的平均变化率为，

解得.

故答案为：3.

7．用数学归纳法证明“”时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式______．

【答案】

【分析】根据数学归纳法的定义求解.

【详解】当时，左边，

当时，左边，

所以可在左边乘以一个代数式，

故答案为：.

8．已知等比数列的前项和，则实数___________.

【答案】

【分析】由等比数列前n项和公式及已知条件，可得且，即可求k值.

【详解】由题设，易知等比数列的公比为，

根据等比数列前n项和公式，

∴.

故答案为：

9．已知函数，则在处的切线方程为________．

【答案】

【分析】利用导数，写出切线方程公式，即可求解

【详解】∵，∴

又因为，所以在处的切线方程为．

故答案为：

10．设甲乘汽车､火车前往目的地的概率分别为0.6､0.4，汽车和火车正点达到目的地的概率分别为0.9，0.8，则甲正点到达目的地的概率为___________.

【答案】0.86

【分析】分甲乘汽车和火车两类，分别利用独立事件的概率求解，然后再求和.

【详解】当甲乘汽车时正点到达目的地的概率为，

当甲乘火车时正点到达目的地的概率为，

所以甲正点到达目的地的概率为，

故答案为：0.86

11．在正项等比数列中，则________

【答案】

【分析】先求出，．再利用等比数列前项和的极限性质即可得出．

【详解】设正项等比数列的公比为，，，

，．

解得，．

则．

故答案为：．

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列前项和的极限性质，考查了推理能力与计算能力．

12．设等差数列的公差不为零，若是与的等比中项，则_____.

【答案】4

【分析】是与的等比中项,可以得到关于的关系式，从而求出.

【详解】由题意可得，

，

又，则，或（舍去）.

故答案为:4.

【点睛】本题考查等差数列通项公式，等比数列的性质（等比中项），解题时要注意审题，仔细解答，是基础题

13．在等差数列中，已知公差，且，则__________.

【答案】145

【分析】根据题意得到，再由等差数列性质得到，代入数据计算即可得到答案.

【详解】等差数列中，已知公差，

.

故答案为：145.

14．已知一个随机变量的分布为，若是的等差中项，且，则______．

【答案】

【分析】根据概率的性质、等差中项的性质，以及分布列的均值，方差运算公式求解.

【详解】由题可知，，

所以.

故答案为: .

15．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为为正整数，若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，则_____．

【答案】

【分析】根据等差等比数列的前项和公式求解即可.

【详解】因为

所以数列中前107项去掉的前7项后为数列的前100项，

设数列的前项和为，数列的前项和为，

所以.

故答案为：.

16．已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是_____________

【答案】

【详解】试题分析：，因为 ，所以，所以h（x）在区间，因为，所以h（1）=0.令h（x）>0，因为x>0,所以，得x>1．等价于，因为函数是定义在上的奇函数，所以-1<x<0或x>1.

【解析】奇函数、导函数与单调性、不等式与函数图像的关系

三、解答题

17．已知函数，且，求的导数．

【答案】

【分析】根据导数的运算法则求解.

【详解】,

.

18．现有关于与的5组数据，如下表所示．

(1)依据表中的统计数据，判断求出与的线性相关系数（精确到

(2)求关于的经验回归方程，请预测当时，的值．

附：线性相关系数，，

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据上表中的数据计算出相关系数即可求解；

（2）根据（1）中的数据计算出回归方程的系数得出回归方程，然后将代入回归方程即可求解.

【详解】（1）由表中数据可得，

，

所以.

又，

，

所以，

（2）由（1）知，，，，，

所以，

则，

所以y关于x的线性回归方程为：，

当时，，

所以预测当时，y的值为14.2.

19．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球．

(1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值；

(2)求从乙盒取出2个红球的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据超几何分布概率求解；（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解.

【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有，

所以

分布列如下：

所以.

（2）(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，

此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为0；

(ii) 若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，

此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；

(iii) 若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，

此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；

所以从乙盒取出2个红球的概率为.

20．已知数列的前项和为，且为正整数．

(1)证明：是等比数列；

(2)当取到最小值时，求的值．(参考数据：)

【答案】(1)见解析

(2)15

【分析】(1)利用与的关系证明；(2)根据确定当为何值时，取到最小值.

【详解】（1）当时，因为，

所以

所以，所以，

即，

当时，解得，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

（2）由（1）得，

所以，

由

＝,

令即即，即，

令即即，即，

所以当时单调递减，当时单调递增，

且,

所以当取到最小值时，的值为15.

21．已知函数为实常数）．

(1)若，求证：在上是增函数；

(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；

(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)当时，函数有最小值为，

当时，函数有最大值为.

(3)

【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题.

【详解】（1）由题可知函数的定义域，

因为,所以，所以，

令解得，

所以在上是增函数.

（2）因为,所以，所以，

令解得，令解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数有最小值为，

因为，

所以当时，函数有最大值为.

（3）由得，即，

因为，所以，所以，

且当时，所以在恒成立，所以，

即存在时，，

令，，

令，

令，解得，

令，解得，

所以在单调递减，单调递增，

所以，

所以时，恒成立，

所以，

所以实数的取值范围是.