数学八年级下册3 三角形的中位线优质课件ppt

6.3  三角形的中位线

教学目标

1.理解三角形的中位线的定义.

2.理解并掌握三角形中位线的性质定理，能够应用这个定理解决有关的问题.

3.探索三角形中位线性质定理的证明过程，体会转化的思想方法，进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力.

教学重点难点

重点：掌握中位线的定义以及中位线定理.

难点：三角形中位线的性质定理的证明.

教学过程

复习旧知

三角形的中线：三角形的一个顶点与它对边中点的连线叫做三角形的中线.

导入新课

活动1　动手操作（探究发现，教师点评）

【问题1】你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?

连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?

【结论】四个全等的三角形.

探究新知

【探究点一】三角形的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

①如果D，E分别为AB，AC的中点,连接DE, 那么DE为△ABC的中位线.          

②如果DE为△ABC的中位线，那么 D，E分别为AB，AC的中点.

活动2

【问题2】除此之外△ABC还有其它中位线吗?你会画吗?（展示图形）

【注意】任意一个三角形都有三条中位线.

【说明】若连接AF，则AF是△ABC的中线.

【问题3】（师生互动，教师点评）

请你说出三角形的中线和中位线的区别.

学生：中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线.

【探究点二】三角形中位线定理

活动3  （动手操作，小组讨论）

【问题4】你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？

小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF.

【问题5】如图，DE是△ABC的中位线，你能猜出DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？能证明你的猜想吗？

猜想：DE∥BC，DE＝ BC.

【总结】

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线.那么DE∥BC ,DE＝BC.

【探究点三】三角形中位线定理的证明

【问题6】（动手操作，小组讨论）

已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线.

求证：DE∥BC ,DE＝BC.

证明:如图,延长DE至F,使EF＝DE,连接CF.

∵ AE＝CE, ∠AED＝∠CEF，DE＝FE，

∴△ADE≌△CFE(SAS) .

∴AD＝CF,∠A＝∠ECF.

∴CF∥AB.

∵AD＝BD,

∴BD＝CF.

∴四边形DBCF是平行四边形.

∴DF∥BC，DF＝BC.

∴DE∥BC，DE＝BC.

【例1】如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(　　)

A.      　　  　　 B.3     　  　　　C.6 　　　      D.9

解析：∵D，E分别为AC，BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C.

答案：C

【即学即练】(小组交流)

如图，C，D分别为EA，EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(　　)

A.80° 　　　　　 B.90°　　　　　  C.100° 　　　 D.110°

解析：∵C，D分别为EA，EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110，∠E＝30，∴∠ECD＝80，∴∠2＝80，故选A.

答案：A

【例2】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长.

【探索思路】(引发学生思考)要证MN为△BCD的中位线，应根据等腰三角形的“三线合一”，得到DM＝MC，即可解决问题.

解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，

∴AD＝AC＝3，DM＝CM.

∵BN＝CN，

∴MN为△BCD的中位线，

∴MN＝(5-3)＝1.

【方法总结】当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点.如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点.

【即学即练】 (学生独学)

已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.

（教师讲解规范证明过程）

证明:如图，连接AC.

∵E,F,G,H分别为各边的中点,

∴EF∥AC,EF＝AC.

HG∥AC,HG＝AC.

∴ EF∥HG, EF＝HG.

∴四边形EFGH是平行四边形.

课堂小结

1.三角形的中位线

连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2.三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

布置作业

完成教材习题6.6.

板书设计

3　三角形的中位线

1.三角形的中位线的定义.

2.三角形中位线定理.

3.三角形中位线定理的证明.