广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高一数学上学期第一阶段考试试题（Word版附解析）

深圳实验学校高中部2022-2023学年度第一学期第一阶段考试

高一数学

时间：120分钟     满分：150分    

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】解：因为，所以，又，

所以.

故选：B

2. 设命题：，，则以下描述正确的是（    ）

A. 为假命题，是“，”

B. 为假命题，“，”

C. 为真命题，是“，”

D. 为真命题，是“，”

【答案】B

【解析】

【分析】通过取特殊值，使得是有理数，所以为假命题

【详解】当时，，与，矛盾，所以，，所以为假命题

而是，

故选：B

3. 已知，则函数的解析式是（    ）

A.  B. （且）

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据换元法求解析式即可.

【详解】解：由题知且，令，则（且），

∴（且），

∴（且）．

故选：B．

4. 若实数满足，则的最小值为

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【详解】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.

考点：基本不等式

【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

5. 函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用配方法可得,则,,根据二次函数的对称性即可判断的范围

【详解】由题,,

因为,,且对称轴为,

所以,

因为在区间上的最大值是5,最小值是1,

所以

故选：B

【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题

6. 若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分离参数为，转化为求函数的值域．

【详解】由题意在内有解，，

时，，时，，所以．

故选：A．

7. 若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得，即求，利用基本不等式，可解得，进而得到，进而可求解.

【详解】至少存在一组使得成立，即，

又由两个正实数满足，可得

，

当且仅当，即时，等号成立，，

故有，解得，故，所以实数的取值范围是

故选：C.

8. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.

【详解】由得 ，

若，则不等式无解．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

综上，满足条件的的取值范围是

故选：C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 若a，b，，则下列命题正确的是（    ）

A. 若且，则 B. 若，则

C. 若且，则 D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由不等式的性质逐一判断即可.

【详解】解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；

对于B，等价于，又，故成立，故B正确；

对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；

对于D，等价于，成立，故D正确.

故选：BCD.

10. 下面命题正确的是（    ）

A. “”是“”的必要不充分条件

B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件

C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件

D. “”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B选项；由“”，则不一定有“且”，即可判断C选项；若，则或，结合必要不充分条件的定义，即可判断D选项.

【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确；

对于B，若，则，

所以一元二次方程有两个根，且一正一负根，

若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确；

对于C，若“”，则不一定有“且”，

而若“且”，则一定有“”，

所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确；

对于D，若，则或，

则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”，

所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

11. 下面结论正确的是（        ）

A. 若，则的最大值是

B. 函数的最小值是2

C. 函数（）的值域是

D. ，且，则的最小值是3

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C．

【详解】时，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，

从而的最大值是，A正确；

，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错；

时，，，

因为，所以时，，时，，

时，．

所以值域是，C正确；

，且，，

，

则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，D正确．

故选：ACD．

12. 已知，，且，则（    ）

A. 的取值范围是

B. 的取值范围是

C. 的最小值是3

D. 的最小值是

【答案】BD

【解析】

【分析】根据基本不等式可求得，判断A;将变形为结合基本不等式，判断B；由整理得到结合基本不等式可判断C,D.

【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，

即，解得，即，A错误；

对于B, 由，,，当且仅当时取等号，

得，所以,

又，所以，B正确；

对于C, 由，，，得，

则 ，

当且仅当，即时等号成立,但，

所以．（等号取不到）,故C错误；

对于D，由C的分析知：，,,

，

当且仅当，即时等号成立，D正确，

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，则a的值为________．

【答案】5或－3

【解析】

【分析】

根据元素与集合关系列方程，再代入验证，即得结果.

【详解】因为9∈(A∩B)，所以9∈A，即2a－1＝9或a2＝9，

解得a＝5或a＝±3.

当a＝5时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意；

当a＝3时，A＝，a－5＝1－a＝－2，B中有元素重复，不符合题意，舍去；

当a＝－3时，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合题意，

综上所述，a＝5或a＝－3.

故答案为：5或－3

【点睛】本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.

14. 若函数的定义域为，则的值为_________．

【答案】

【解析】

【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．

【详解】由题意的解是，

所以，解得，，所以．

故答案为：．

15. 若关于x的二次方程的两个根分别为，且满足，则m的值为______

【答案】

【解析】

【分析】先求出方程有两根时的范围，再由根与系数关系将用表示，建立关于的方程，求解即可.

【详解】关于x的二次方程有两个根，

则，

，

又，即，

解得或（舍去），

的值为.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.

16. 已知函数，若且，则取值范围是 _____．

【答案】

【解析】

【分析】确定函数的单调性，由已知得出的范围，及的关系，把表示为的函数，然后由二次函数性质得结论．

【详解】时，是增函数，且，时，是增函数，且，如图，

且，则，，

由得（负值舍去），因此，

，，，

，

所以时，取得最大值，时，取得最小值，

所以的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 设集合，集合．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由根式、分式性质求定义域得集合A，根据已知及集合并运算求即可；

（2）求，根据交集结果，讨论、求参数m的范围.

【小问1详解】

对于集合A：，得，故；

当时，

所以.

【小问2详解】

由或，而，

当时，，即满足题设；

当时，，可得；

综上，.

18. 已知命题 “，”，命题 “，”．

（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据命题是真命题，参变分离，构造函数求最值，得实数的取值范围；

（2）根据命题和中有且仅有一个是假命题，分别求解命题和是真命题和

假命题时实数的取值范围，按要求即可得实数的取值范围．

【小问1详解】

解：当命题是真命题，则不等式对满足的一切恒成立．

由，得．

设，则在上单调递增，在上单调递减，

，

．

因此，实数的取值范围是．

【小问2详解】

解：当命题是真命题时，实数的取值范围是，（1）

当命题是假命题时，实数的取值范围是．…………………（2）

当命题假命题时，则命题“，”是真命题．

由，得，

，且当时取等号，

的最小值是．

当命题是假命题时，实数的取值范围是．…………………（3）

当命题是真命题时，实数的取值范围是．…………………（4）

当命题是真命题且是假命题时，由（1）、（3），得实数的取值范围是；

当命题是假命题且是真命题时，由（2）、（4），得实数的取值范围是；

综上，实数的取值范围是或．

19. （1）已知、、、是实数，求证：

（2）已知，，，且，求证：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

【分析】对不等式进行化简，利用完全平方公式、基本不等式证明即可；

【详解】证明：（1）

，

当且仅当时，取等号，

对任意实数，，，，成立．

（2）

20. 设函数．

（1）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，解关于不等式．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）把不等式整理为关于的不等式，然后利用其在时恒成立可得关于的不等关系从而得结论；

（2）不等式化简为，然后分类讨论求解．

【小问1详解】

不等式对于实数时恒成立，

即，，

显然，函数在上递增，从而得，即，解得，

所以实数的取值范围是；

【小问2详解】

不等式，即，当时，，

当时，不等式可化为，而，解得，

当时，不等式可化为，

当，即时，，，

当，即时，或，

当，即时，或，

所以，当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为.

21. 某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．

（1）求x关于t的函数；

（2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；

（3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？

（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

【答案】（1）   

（2）   

（3）当促销费投入7万元时，企业年利润最大

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求解即可.

（2）利用销售收入减去成本即得利润.

（3）利用基本不等式处理该最值问题.

【小问1详解】

由题意：与成反比例，

所以设，                          

将t＝0，x＝1代入，得k＝2，                   

所以.

【小问2详解】

当年生产x(万件)时，年生产成本为：，       

当销售x(万件)时，年销售收入为：，      

由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，

所以

即：.

【小问3详解】

由（2）有：     

  因为，所以，当且仅当，

即时，等号成立.所以，，即.

所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大．

22. 对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记．

（1）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；

（2）若，且，求使得等式成立的x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，求在区间上的最小值．

【答案】（1），   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据条件可得对任意的恒成立，利用根的判别式即可求出取值范围；

（2）整理为，表示出，分类讨论即可；

（3）由（2）得到，，，分类讨论求出取值范围进而得最小值.

【小问1详解】

解：由题意可得，（2）恒成立，

即对任意的恒成立，

所以，解得，；

【小问2详解】

解：因为，所以，

因为，，

所以，时，；

①当时，，所以，

又因为，所以；

②当时，，所以，

因为，，所以，，所以上式不成立；

综上可知，的取值范围是；

【小问3详解】

由（2）知，且，

即，

所以当时，，所以（1），

当时，，

①当时，又，即时，；

②当时，即时，（6）；

综上，，，，

由，解得时，；

由，解得时，；

当，即时，（6）；

综上．

【点睛】本题考查利用二次函数根的判别式求参数取值范围，考查新定义函数的最值，分类思想，属于难题．