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高中物理高考 2023届高考物理一轮复习 第12讲 机械能守恒定律
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这是一份高中物理高考 2023届高考物理一轮复习 第12讲 机械能守恒定律，共29页。试卷主要包含了重力势能，弹性势能，机械能守恒定律，则下列说法正确的是，注意事项，则有等内容，欢迎下载使用。
第12讲 机械能守恒定律
知识图谱
机械能守恒定律的理解和应用
知识精讲
1．重力势能
（1）重力做功：WG＝mgh，h为初、末位置的高度差。
（2）重力势能：Ep＝mgh，重力势能是物体和地球共有的。
（3）重力做功与重力势能的关系：WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
2．弹性势能
（1）弹簧的弹性势能：。
（2）弹力做功与弹性势能变化的关系：。
3．机械能守恒定律
（1）条件：系统内只有重力或弹簧弹力做功，其他力不做功或做功代数和为零。
（2）表达式：
守恒观点
转化观点
转移观点
（3）利用机械能守恒定律分析问题的基本思路
①选取研究对象（单个物体或多物体系统）；
②明确研究过程，确定初、末状态；
③判断机械能是否守恒；
④选择合适的表达式，列方程求解。
（4）多个物体的机械能守恒定律的应用
①对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒；
②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系；
③列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
三点剖析
学习目标：
1．理解重力做功与重力势能、弹力做功与弹性势能的关系；
2．理解机械能守恒定律的条件；
3．掌握应用机械能守恒定律解决问题的方法。
机械能守恒定律的理解和判断
例题1、[多选题] 如图所示，在光滑四分之一圆弧轨道的顶端a点，质量为m的物块（可视为质点）由静止开始下滑，经圆弧最低点b滑上粗糙水平面，圆弧轨道在b点与水平轨道平滑相接，物块最终滑至c点停止，若圆弧轨道半径为R，物块与水平面间的动摩擦因数为μ，下列说法正确的是（ ）
A.物块滑到b点时的速度为
B.物块滑到b点时对b点的压力是mg
C.物块滑到b点时对b点的压力是3mg
D.c点与b点的距离为
例题2、 把质量是0.2kg的小球放在竖立的轻质弹簧上，并将球向下按至A的位置，如图甲所示。迅速松手后，球被弹起并沿竖直方向运动到最高位置C（图丙），途中经过B的位置时弹簧正好处于自由状态（图乙）。已知B、A的高度差为0.1m，C、B的高度差为0.2m，不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A.从A到C的过程中，球先加速后减速，在B位置时动能最大
B.从A到C的过程中，球的机械能守恒
C.松手瞬间球的加速度为10m/s2
D.弹簧被压缩至A位置时具有的弹性势能为0.6J
例题3、 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
A.圆环的机械能守恒
B.弹簧弹性势能变化了mgL
C.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
例题4、[多选题] 如图所示，长为的轻质细绳悬挂一个质量为的小球，其下方有一个倾角为的光滑斜面体，放在光滑水平面上．开始时小球刚好与斜面接触无压力，现用水平力缓慢向左推动斜面体，直至细绳与斜面平行为止，对该过程中有关量的描述正确的是（ ）
A.绳的拉力和小球对斜面的压力都在逐渐减小
B.绳的拉力在逐渐减小，小球对斜面的压力逐渐增大
C.重力对小球做负功，斜面弹力对小球不做功
D.推力做的功是
随练1、 下列人或物在运动过程中，机械能守恒的是（ ）
A.风中飘落的羽毛
B.竖直放置的真空牛顿管中下落的羽毛
C.乘电梯匀速上升的人
D.弹性蹦床上跳跃的运动员（不计空气阻力）
随练2、 把一个重为G的物体，用一个水平的推力F＝kt（k为正的常数，t为时间）压在竖直的足够高的平整的墙上，如图所示，从t＝0开始计时，物体从静止开始运动，关于此后物体的动能Ek、重力势能Ep、机械能E随着物体位移x变化图象定性来说可能正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
随练3、[多选题] 如图所示，轻弹簧一端固定在倾角为θ的光滑斜面底端，弹簧上端放着质量为m的物体A，处于静止状态。将一个质量为2m的物体B轻放在A上，则在A、B一起向下运动过程中（ ）
A.放在A上的瞬间，B对A的压力大小为mgsinθ
B.A、B的速度先增大后减小
C.A、B间的弹力先增大后减小
D.A、B组成的系统机械能守恒
单个物体的机械能守恒
例题1、 如图所示，质量m的小球套在半径为R的固定光滑圆环上，圆环的圆心为O，原长为0.8R的轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与圆环在同一竖直平面内，圆环上B点在O的正下方，当小球在A处受到沿圆环切线方向的恒力F作用时，恰好与圆环间无相互作用，且处于静止状态．已知：R＝1.0m，m＝1.0kg，∠AOB＝θ＝37°，弹簧处于弹性限度内，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g＝10m／s2．求：
（1）该弹簧的劲度系数k；
（2）撤去恒力，小球从A点沿圆环下滑到B点时的速度大小vB；
（3）小球通过B点时，圆环对小球的作用力大小NB．
例题2、 如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F．小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动．整个过程中，物块在夹子中没有滑动．小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g．下列说法正确的是（ ）
A.物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B.小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F
C.物块上升的最大高度为
D.速度v不能超过
例题3、 如图，在竖直平面内由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为．一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
（1）求小球在B、A两点的动能之比；
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
例题4、 轮滑受到很多年轻人的喜爱。某轨道如图所示，圆弧轨道半径R＝3m且与水平地面相切，倾斜直轨道与圆弧相切于B点且与水平面成α＝37°角，某轮滑爱好者连同装备质量为m＝60kg，从图示轨道A点静止下滑（A与圆心O等高），已知BC长度L＝1m，不计摩擦阻力和空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1） 运动到圆弧轨道最低点对轨道压力大小；
（2） 经倾斜轨道末端C点飞出后，在地面上的落点D到C点的水平距离。（该小题计算结果保留两位有效数字，取）
例题5、[多选题] 如图所示，光滑水平面上有一个四分之三圆弧管，内壁也光滑，半径R＝0.2m，质量M＝0.8kg管内有一个质量m＝0.2kg的小球，小球直径略小于弯的内径，将小球用外力锁定在图示位置，即球和环的圆心连线与竖直方向成37°角，对圆弧管施加水平恒定外力F作用，同时解除锁定，系统向右加速，发现小球在管中位置不变。当系统运动一段距离后管撞击到障碍物上突然停下，以后小球继续运动通过最高点后又落入管中，g取10m／s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．则下列说法正确的是（ ）
A.拉力F的大小为6N
B.小球在轨道最高点时速度为1m／s
C.系统运动一段距离后管撞击到障碍物时速度为2m／s
D.拉力F 做的功为4.1J
例题6、 轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l．现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后释放，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g．
（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
随练1、[多选题] 有一款蹿红的微信小游戏“跳一跳”，游戏要求操作者通过控制棋子（质量为m，可视为质点）脱离平台时的速度，使其能从同一水平面上的平台跳到旁边的另一平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，轨迹的最高点距平台上表面高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则（ ）
A.棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh
B.棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，机械能增加mgh
C.棋子离开平台后距平台面高度为时动能为
D.棋子落到另一平台上时的速度大于
随练2、 如图所示，让摆球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达A孔进入半径R＝0.3m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭A孔．已知摆线长L＝2m，θ＝60°，小球质量为m＝1kg，D点与小孔A的水平距离s＝2m，g取10m/s2．试求：
（1）求摆线能承受的最大拉力为多大？
（2）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求粗糙水平面摩擦因数μ的范围．
多个物体的机械能守恒
例题1、 如图所示，质量为m的物体A和质量为2m的物体B适过不可伸长的轻绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧。开始用手托着物体A使弹簧处于原长且细绳伸直，此时物体A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。现由静止释放A，A与地面即将接触时速度恰好为0，此时物体B对地面恰好无压力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A.物体A下落过程中一直处于失重状态
B.物体A即将落地时，物体B处于失重状态
C.物体A下落过程中，弹簧的弹性势能最大值为mgh
D.物体A下落过程中，A的动能和弹簧的弹性势能之和先增大后减小
例题2、[多选题] 如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30°，质量分别为M、m的两个物体通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板．开始时用手按住物体M，此时M距离挡板的距离为s，滑轮两边的细绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态．已知M＝2m，空气阻力不计．松开手后，关于二者的运动下列说法中正确的是（ ）
A.M和m组成的系统机械能守恒
B.当M的速度最大时，m与地面间的作用力为零
C.若M恰好能到达挡板处，则此时m的速度为零
D.若M恰好能到达挡板处，则此过程中重力对M做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体m的机械能增加量之和
例题3、 如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°．松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6．求：
（1）小球受到手的拉力大小F；
（2）物块和小球的质量之比M︰m；
（3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。
随练1、[多选题] 如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM＜∠OMN＜．在小球从M点运动到N点的过程中（ ）
A.弹力对小球先做正功后做负功
B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C.弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
随练2、[多选题] 如图所示，用铰链将三个质量均为m的小球A、B、C与两根长为L轻杆相连，B、C置于水平地面上。在轻杆竖直时，将A由静止释放，B、C在杆的作用下向两侧滑动，三小球始终在同一竖直平面内运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，则此过程中（ ）
A.球A的机械能一直减小
B.球A落地的瞬时速度为
C.球B对地面的压力始终等于
D.球B对地面的压力可小于mg
随练3、[多选题] 如图所示，置于足够长斜面上的盒子闪为放有光滑球B，B洽与盒子前、后壁接触，斜面光滑且固定于水平地面上。一轻质弹簧的一端与固定在斜面上的木板P拴接，另一端与A相连。今用外力推A使弹簧处于压缩状态，然后由静止释放，则从释放盒子直至其获得最大速度的过程中（ ）
A.弹簧的弹性势能一直减小直至为零
B.A对B做的功等于B机械能的增加量
C.弹簧弹性势能的减小量等于A和B机械能的增加量
D.A所受重力和弹簧弹力做功的代数和小于A动能的增加量
随练4、[多选题] 如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A.环与重物组成的系统机械能守恒
B.小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D.小环在B处的速度时，环的速度为
实验：验证机械能守恒定律
知识精讲
1．实验目的：验证机械能守恒定律
2．实验原理
在自由落体运动中，物体的重力势能和动能互相转化，但总的机械能保持不变。
若物体某时刻瞬时速度为v，下落高度为h，则重力势能的减少量为mgh，动能的增加量为mv2，看它们在实验误差允许的范围内是否相等，若相等则验证了机械能守恒定律。
3．数据处理
（1）求瞬时速度
利用求解重物下落h1、h2、h3…的高度时对应的瞬时速度v1、v2、v3、…
（2）验证守恒
方法1：利用起始点和第n点计算，若在误差允许的范围内， ，则说明机械能守恒；
方法2：任取两点A、B测出hAB，若在实差允许的范围内，，则说明机械能守恒；
方法3：图象法，测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，绘出图线，若在误差允许的范围内图象是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒。
4．注意事项
（1）打点计时器安装时，必须使两纸带限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。
（2）重物要选择质量、密度较大的材料，以减小空气阻力的影响。
（3）实验时，应先接通电源，打点计时器工作正常后再释放重物。
（4）因不需要知道动能和势能的具体数值，所以不需要测量重锤的质量。
（5）本实验为验证机械能守恒，故不能运用自由落体的运动规律来计算某点的速度。
5．误差分析
（1）系统误差
本实验中因重锤和纸带在下落过程中要克服各种阻力(空气阻力、打点计时器阻力)做功，故动能的增加量ΔEk稍小于重力势能的减少量ΔEp，即ΔEk<ΔEp，这属于系统误差，改进的方法是调整器材的安装，尽可能地减小阻力。
（2）偶然误差
本实验的另一个误差来源于长度的测量，属于偶然误差．减小误差的方法是测下落距离时都从O点测量时，一次将各打点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值。
三点剖析
学习目标：
1．了解实验目的和实验原理；
2．掌握实验过程和数据处理的方法；
3．掌握实验的注意事项和误差分析。
验证机械能守恒定律
例题1、 如图1所示，将打点计时器固定在铁架台上，用重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置可验证机械能守恒定律．
（1）已准备的器材有打点计时器（带导线）、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台和带夹子的重物，此外还需要的器材是____（填字母代号）
A．直流电源、天平及砝码
B．直流电源、毫米刻度尺
C．交流电源、天平及砝码
D．交流电源、毫米刻度尺
（2）实验中需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度v和下落高度h．某同学对实验得到的纸带，设计了以下四种测量方案，这些方案中合理的是：____
A．用刻度尺测出物体下落的高度h，由打点间隔数算出下落时间t，通过v=gt计算出瞬时速度v
B．用刻度尺测出物体下落的高度h，并通过v=计算出瞬时速度v
C．根据做匀变速直线运动时，纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v，并通过计算得出高度h
D．用刻度尺测出物体下落的高度h，根据做匀变速直线运动时，纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v
（3）安装好实验装置，正确进行实验操作，从打出的纸带中选出符合要求的纸带，如图2所示．图中O点为打点起始点，且速度为零．选取纸带上打出的连续点A、B、C、…作为计数点，测出其中E、F、G点距起始点O的距离分別为h1、h2、h3．已知重锤质量为m，当地重力加速度为g，计时器打点周期为T．为了验证此实验过程中机械能是否守恒，需要计算出从O点到F点的过程中，重锤重力势能的减少量△Ep=____，动能的增加量△Ek=____（这两个空均要求用题中所给字母表示）
（4）实验结果往往是重力势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是____
A．该误差属于偶然误差
B．该误差属于系统误差
C．可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差
D．可以通过减小空气阻力和摩擦阻力的影响来减小该误差．
例题2、 图1是“验证机械能守恒定律”的实验装置示意图，以下列出了一些实验步骤：
A．用天平测出重物和夹子的质量
B．把打点计时器用铁夹固定放到桌边的铁架台上，使两个限位孔在同一竖直面内
C．把打点计时器接在交流电源上，电源开关处于断开状态
D．将纸带穿过打点计时器的限位孔，上端用手提着，下端夹上系住重物的夹子，让重物靠近打点计时器，处于静止状态
E．接通电源，待计时器打点稳定后释放纸带，之后再断开电源
F．用秒表测出重物下落的时间
G．更换纸带，重新进行两次实验
（1）对于本实验，以上不必要的两个步骤是_____和_____
图2为实验中打出的一条纸带，O为打出的第一个点，A、B、C为从合适位置开始选取的三个连续点（其他点未画出），打点计时器每隔0.02s打一个点．若重物的质量为0.5kg，当地重力加速度取g=9.8m/s2，由图乙所给的数据可算出（结果保留两位有效数字）：
①从O点下落到B点的过程中，重力势能的减少量为_____J．
②打B点时重物的动能为_____J．
（2）试指出造成第（1）问中①②计算结果不等的原因是________________________________．
随练1、 在用打点计时器验证机械能守恒定律的实验中，使质量为m＝1.00kg的重物自由下落，打点计时器在纸带上打出一系列的点，选取一条符合实验要求的纸带如图所示。O为第一个点，A、B、C为从合适位置开始选取连续点中的三个点。已知打点计时器每隔0.02s打一个点，当地的重力加速度为g＝9.80m／s2，那么：
（1）根据图上所得的数据，应取图中O点到________点来验证机械能守恒定律；
（2）从O点到（1）问中所取的点，重物重力势能的减少量△Ep＝________J，动能增加量△Ek＝________J（结果取三位有效数字）；
（3）若测出纸带上所有各点到O点之间的距离，根据纸带算出各点的速度v及物体下落的高度h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图象是图2中的________。
随练2、 如图甲为验证机械能守恒定律的实验装置，图乙是该实验得到的一条点迹清晰的纸带，已知所用交流电源的频率为50Hz。现要取A到B过程来验证实验。
①若x1、x2数据已测出，则实验还必需要测出的物理量是________；
②若测得x2＝5.20cm，则在纸带上打下计数点B时的速度υB＝________m／s；
③该同学经过测量计算后，作出重锤重力势能减少量ΔEp和动能增加量ΔEk随重锤下落高度h变化的图线如图丙中a、b所示，比较这两条图线可知在实验误差允许的范围内，重锤下落过程机械能守恒，其理由是________。
机械能守恒定律的实验创新
例题1、 某同学利用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。将气垫导轨固定在水平桌面上，调节旋钮使其水平。在气垫导轨的左端固定一光滑的定滑轮，在B处固定一光电门，测出滑块及遮光条的总质量为M，将质量为m的钩码通过细线与滑块连接。打开气源，滑块从A处由静止释放，宽度为b的遮光条经过光电门挡光时间为t，取挡光时间t内的平均速度作为滑块经过B处的速度，A、B之间的距离为d，重力加速度为g。
（1）用游标卡尺测量遮光条的宽度，示数如图乙所示，其读数为______mm。
（2）调整光电门的位置，使得滑块通过B点时钩码没有落地。滑块由A点运动到B点的过程中，系统动能增加量△Ek为_________，系统重力势能减少量△Ep为__________。（以上结果均用题中所给字母表示）
（3）若实验结果发现△Ek总是略大于△Ep，可能的原因是___________-。
A．存在空气阻力
B．滑块没有到达B点时钩码已经落地
C．测出滑块左端与光电门B之间的距离作为d
D．测出滑块右端与光电门B之间的距离作为d
例题2、 一位同学用光电计时器等器材装置做“验证机械能守恒定律”的实验，如图甲所示。通过电磁铁控制的小球从B点的正上方A点自由下落，下落过程中经过光电门B时，光电计时器记录下小球过光电门时间t，当地的重力加速度为g。
（1）为了验证机械能守恒定律，该实验还需要测量下列哪些物理量________。
A．AB之间的距离H
B．小球的质量为m
C．小球从A到B的下落时间tAB
D．小球的直径d
（2）小球通过光电门时的瞬时速度V＝________（用题中以上的测量物理量表达）
（3）多次改变AB之间距离H，重复上述过程，作出1／t2随H的变化图象如图乙所示，当小球下落过程中机械能守恒时，该直线斜率k0＝________。
（4）在实验中根据数据实际绘出的图乙直线的斜率为k（k＜k0）则实验过程中所受的平均阻力f与小球重力mg的比值为________（用k、k0表示）。
随练1、 某探究小组验证机械能守恒定律的装置如图甲所示，细线一端拴一个球，另一端连接力传感器，固定在天花板上，传感器可记录球在摆动过程中细线拉力大小，用量角器量出释放球时细线与竖直方向的夹角，用天平测出球的质量为m，重力加速度为g。
（1）用游标卡尺测出小球直径如图乙所示，读数为________mm。
（2）将球拉至图示位置，细线与竖直方向夹角为θ，静止释放球，发现细线拉力在球摆动过程中作周期性变化。为求出球在最低点的速度大小，应读取拉力的________（选填“最大值”或“最小值”），其值为F。
（3）球从静止释放运动到最低点过程中，满足机械能守恒的关系式为________（用测定物理量的符号表示）。
（4）关于该实验，下列说法中正确的有________。
A．细线要选择伸缩性小的
B．球尽量选择密度大的
C．不必测出球的质量和细线的长度
D．可以直接用弹簧测力计代替力传感器进行实验
随练2、 用如图甲实验装置验证m1、m2组成的系统机械能守恒．m2从高处由静止开始下落，m1上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律．图乙给出的是实验中获取的一条纸带：0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点（图中未标出），计数点间的距离如图所示．已知m1＝50g、m2＝150g，则（g取10m／s2，结果保留两位有效数字
（1）在打点0～5过程中系统动能的增量△EK＝________J，系统势能的减少量△EP＝________J，由此得出的结论是________；
（2）若某同学作出图象（h是m2下降的高度）如图丙，则当地的实际重力加速度g＝________m／s2．
随练3、 在如图所示的“用DIS研究机械能守恒定律”的实验中，有实验1和实验2两部分。
摆锤释放器
定位挡片
标尺盘
光电门
（1）实验1中，装上定位挡片，将摆锤从A点静止释放，观察到它到达左侧最高点，此点与A点高度基本相同。由此得到的结论是：摆锤________。（选填“①”或“②”）
①在摆动过程中，机械能处处相等
②在左侧最高点的机械能与A点的机械能基本相等
（2）实验2有如下步骤，其中两处步骤有错误，请找出并写出该步骤的正确内容：
其一，_________________________________________________________________________；
其二，_________________________________________________________________________。
①开启电源，运行DIS软件，点击实验条目中的“研究机械能守恒定律”。
②卸下“定位挡片”和“小标尺盘”，安装光电门传感器并接入数据采集器。
③摆锤置于A点，先释放摆锤，然后点击“开始记录”，摆锤通过D点速度将自动记录在表格对应处。
④把光电门传感器放在标尺盘最底端D点，并以此作为零势能点。A、B、C点相对于D点的高度已事先输入，作为计算机的默认值。
⑤依次将摆锤放在标尺盘的C、B点，重复实验，得到相应数据。
⑥点击“数据计算”，计算D点的势能、动能和机械能。
⑦测量摆锤的直径△s及其质量m，将数据输入软件界面内。
（3）请将第（2）问中步骤按正确实验步骤进行排序_________________。
（4）该实验的结论是____________________________________________________________。
拓展
1、[多选题] 如图所示，一轻质弹簧一端固定在水平面上通过O点的转轴上，另一端与一质量为m的小环相连。环可以沿与水平方向成30°的光滑固定杆下滑，已知弹簧原长为L．现让环从O点的正上方距O点为L的A点由静止开始下滑，环刚好滑到与O点处于同一水平面上的B点时速度变为零。则小环在从A点下滑到B点的过程中（ ）
A.小环的机械能守恒
B.弹簧的弹性势能一直变大
C.弹簧的最大弹性势能为mgL
D.除A、B两点外，弹簧弹力做功的瞬时功率为零还有两处
2、[多选题] 如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，O是圆心，OC竖直，OA水平，B是最低点，A点紧靠一足够长的平台MN，D点位于A点正上方，DA距离为有限值．现于D点无初速度释放一个大小可以忽略的小球，在A点进入圆弧轨道，从C点飞出后做平抛运动并落在平台MN上，P点是小球落在MN之前轨迹上紧邻MN的一点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A.只要D点的高度合适，小球可以落在平台MN上任意一点
B.小球由D经A，B，C到P的过程中，其在D点的机械能等于P点的机械能
C.小球从A运动到B的过程中，重力的功率一直增大
D.如果DA距离为h，则小球经过B点时对轨道的压力为
3、 如图所示，一根原长为l0的轻弹簧套在光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO'匀速转动，且杆与水平面间始终保持30°角。已知杆处于靜止状态时弹簧的压缩量为，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A.弹簧为原长时，杆的角速度为
B.当杆的角速度为时，弹簧处于压缩状态
C.在杆的角速度增大的过程中，小球与弹簧所组成的系统机械能不守恒
D.在杆的角速度由0缓慢增大到过程中，小球机械能增加了
4、[多选题] 如图所示，A、B两物体的质量分别为m、2m，中间用轻杆相连，放在光滑的斜面上。现将它们从静止释放，在下滑的过程中（ ）
A.两物体下滑的加速度相同
B.轻杆对A做正功，对B做负功
C.系统的机械能守恒
D.任意时刻两物体重力的功率相同
5、 如图所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m．撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g．求：
（1）A固定不动时，A对B支持力的大小N；
（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
（3）A滑动的位移为x时的速度大小vx．
6、 利用所学物理知识解答问题：
（1）如图1所示为某同学“验证机械能守恒定律”的实验装置图，下列有关说法正确的是________．
A．该图中的打点计时器为电磁打点计时器，使用的电源为220V交流电
B．该实验中的重物应选用密度较大的实心重物
C．固定打点计时器时，应使两纸带限位孔在同一竖直线上
D．为使纸带方便穿入打点计时器，打点计时器的复写纸片应被压在纸带的内部
（2）若该同学在实验时发现他打出的纸带的开始两点间的距离总是较大（明显大于2mm），则他的操作错误在于________．
（3）纠错后，打出了一条如图所示的纸带，O点为纸带上第一点，若重物的质量为0.5kg，从开始下落到打D点的过程中重物的重力势能减少量为________J，（重力加速度g＝9.8m／s2，结果保留三位有效数）
7、 一组同学利用如图1所示的装置来验证机械能守恒定律。在铁架台的顶端有一电磁铁，电磁铁吸住直径为d、长度为a的小圆柱体，电磁铁下方固定一光电门，小圆柱体的中心到光电门的距离为h（a远小于h）。断开电源，小圆柱体下落，通过光电门的挡光时间为t。不计空气阻力。请回答下列问题：
（1）如图2所示，用螺旋测微器测量小圆柱体的直径d＝________mm，用游标卡尺测量小圆柱体的长度a＝________cm；
（2）若小圆柱体的质量为m，重力加速度为g，则该实验需要验证的表达式为________；（用题中字母表示）
（3）若考虑小圆柱体的长度，小圆柱体由静止下落h过程中的重力势能减少量________测算出的动能的增加量。（填“大于”、“等于”或“小于”）
答案解析
机械能守恒定律的理解和应用
机械能守恒定律的理解和判断
例题1、[多选题]
【答案】 C D
【解析】 A、由机械能守恒可知，mgR=mv2；
解得b点时的速度为，故A错误；
B、b点时，物体受重力、支持力而做圆周运动，则由F﹣mg=m可得，支持力F=3mg，由牛顿第三定律可知，物块对b点的压力为3mg； 故B错误，C正确；
D、对全程由动能定理可知，mgR﹣μmgs=0，解得bc两点间的距离为，故D正确
例题2、
【答案】 D
【解析】 A、小球从A上升到B位置的过程中，弹簧的弹力先大于重力，后小于重力，小球先加速后减速，当弹簧的弹力等于重力时，合力为零，小球的速度达到最大。从B到C的过程，小球做匀减速运动，动能不断减小。所以从A到C的过程中，球先加速后减速，在AB间某位置动能最大，故A错误；
B、从A到C的过程中，由于弹簧要对小球做功，所以小球的机械能增加，故B错误；
C、假如小球从A只能运动到B，在B点的加速度为a=g=10m/s2，方向竖直向下。根据简谐运动的对称性知小球在A点的加速度为10m/s2，方向竖直向上。现由于弹簧在A点的压缩量更大，合力更大，所以小球在A点的加速度大于10m/s2，故C错误；
D、从A到C的过程中，根据系统的机械能守恒得：弹簧被压缩至A位置时具有的弹性势能Ep=mg（hAB+hBC）=0.2×10×（0.1+0.2）J=0.6J；故D正确。
例题3、
【答案】 B
【解析】 A、圆环沿杆滑下过程中，弹簧的拉力对圆环做功，圆环的机械能不守恒，故A错误，
B、图中弹簧水平时恰好处于原长状态，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L，可得物体下降的高度为h=L，根据系统的机械能守恒得
弹簧的弹性势能增大量为△Ep=mgh=mgL，故B正确．
C、圆环所受合力为零，速度最大，此后圆环继续向下运动，则弹簧的弹力增大，圆环下滑到最大距离时，所受合力不为零，故C错误．
D、根据圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，知圆环的动能先增大后减小，则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大，故D错误．
故选：B．
例题4、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 对小球受力分析可知，小球受重力、轻绳的拉力和斜面的支持力个力的作用而处于一系列的动态平衡状态，做出受力分析的力三角形可知，轻绳的拉力一直减小，斜面的支持力方向不变，大小一直增大．由牛顿第三定律可知小球对斜面的压力一直增大，故A错误，B正确．根据力做功的条件：1．作用在物体上的力；2．物体必须是在力的方向上移动一段距离，可知重力对小球做负功，斜面弹力对小球做正功，C错误．若取小球和斜面体整体为研究对象，根据能量守恒得做的功等于系统机械能的增量，斜面体的动能和势能不变，小球的动能不变，所以系统机械能的增量等于小球的重力势能的增加量，所以推力做的功应等于小球重力势能的增量，故D正确．
随练1、
【答案】 B
【解析】 A、风中飘落的羽毛运动过程中，由于空气阻力对它做功，所以它的机械能不守恒，故A错误。
B、竖直放置的真空牛顿管中下落的羽毛在运动过程中，只受重力，机械能守恒，故B正确。
C、乘电梯匀速上升的人在运动过程中，电梯底板对人做功，则人的机械能不守恒。故C错误。
D、弹性蹦床上跳跃的运动员在与蹦床接触的过程，蹦床要对他做功，所以人的机械能不守恒，故D错误。
随练2、
【答案】 D
【解析】 A、水平的推力F＝kt，不断变大，物体水平方向受推力和支持力，竖直方向受重力和滑动摩擦力，滑动摩擦力不断变大，故物体先加速下滑后减速下滑，即动能先增加后减小；但合力为mg－μkt，是变力，故动能与位移间不是线性关系，故A错误；
BC、重力做正功，故重力势能不断减小，故BC错误；
D、由于克服滑动摩擦力做功，机械能不断减小，故D正确；
随练3、[多选题]
【答案】 A B
【解析】 A、在放B之前，物体A保持静止状态，重力和弹簧的弹力平衡：F=mgsinθ；
在放B瞬间，对A、B整体研究，根据牛顿第二定律有：（2m+m）sinθ﹣F=（3m）a
解得：a=gsinθ；对物体B受力分析，根据牛顿第二定律有：2mgsinθ﹣N=2ma：
解得：N=mgsinθ．由牛顿第二定律知，B对A的压力大小为mgsinθ．故A正确，
B、由于在AB向下运动过程中，弹簧的弹力一直增大，3mgsinθ先大于弹力，后小于弹力，则A、B的速度先增大后减小。故B正确。
C、对AB整体，合力先减小后增大，加速度先减小后反向增大，当加速度沿斜面向下时，根据牛顿第二定律有：2mgsinθ﹣N=2ma，知a减小，N增大。当加速度沿斜面向上时，根据牛顿第二定律有：N﹣2mgsinθ=2ma，知a增大，N增大，则A、B间的弹力一直增大，故C错误；
D、由于在运动过程中，弹簧对A、B系统做功，因此A、B的机械能不守恒，故D错误。
单个物体的机械能守恒
例题1、
【答案】 （1）40N／m
（2）2m／s
（3）6N
【解析】 （1）在A处：小球受到重力、弹簧的弹力和恒力F．
沿半径方向有：k（R－0.8R）＝mgcosθ
得：k＝40N／m；
（2）由A到B过程，由动能定理得：
得：vB＝2m／s；
（3）在B点，由牛顿第二定律得：
得：NB＝6N．
例题2、
【答案】 D
【解析】 A、物块向右匀速运动时，则夹子与物体M，处于平衡状态，那么绳中的张力等于Mg，与2F大小关系不确定，故A错误；
B、小环碰到钉子P时，物体M做圆周运动，依据最低点由拉力与重力的合力提供向心力，因此绳中的张力大于Mg，而与2F大小关系不确定，故B错误；
C、依据机械能守恒定律，减小的动能转化为重力势能，则有：，那么物块上升的最大高度为h=，故C错误；
D、因夹子对物体M的最大静摩擦力为2F，依据牛顿第二定律，结合向心力表达式，对物体M，则有：2F﹣Mg=，解得：v=，故D正确；
例题3、
【答案】 （1）小球在B、A两点的动能之比是5：1．
（2）小球恰好到达C点．
【解析】 （1）根据机械能守恒定律得
EKA=mg
EKB=mg（+R）=
则得小球在B、A两点的动能之比 EKB：EKA=5：1．
（2）假设小球能到达C点，由机械能守恒定律得
mg=
即得到达C点的速度 vC=
设小球通过C点的临界速度为v0．则有
mg=m
即得 v0=
因为 vC=v0，所以小球恰好到达C点．
例题4、
【答案】 （1）1800Ｎ
（2）4.6m
【解析】 （1）从A到最低点过程，由机械能守恒定律
在最低点，由牛顿第二定律有得Ｎ
由牛顿第三定律得对轨道压力大小为1800Ｎ
（2）从A到C过程，由机械能守恒定律有
从C点抛出时后，上升的时间为上升的高度为
从最高点到落地做平抛运动且竖直高度为
又有落地点D到C的水平距离为
解得m
例题5、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、以小球为研究对象，根据牛顿第二定律可得mgtam37°＝ma，解得a＝7.5m／s2，整体根据牛顿第二定律可得F＝（M＋m）a＝7.5N，故A错误；
B、设小球在轨道最高点时的速度为v0，根据平抛运动的规律可得，R＝v0t，解得v0＝1m／s，故B正确；
C、设系统运动一段距离后管撞击到障碍物时速度为v，根据机械能守恒定律可得：，解得，故C错误；
D、根据动能定理可得拉力F 做的功为，故D正确。
例题6、
【答案】 （1）P到达B点时速度的大小是，它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离是（2）P的质量的取值范围为： m≤mP＜m
【解析】 （1）将弹簧竖直放置在地面上，物体下落压缩弹簧时，由系统的机械能守恒得
Ep=5mgl
如图，根据能量守恒定律得
Ep=μmg•4l+
联立解得 vB=
物体P从B到D的过程，由机械能守恒定律得
mg•2l+
解得 vD=＞
所以物体P能到达D点，且物体P离开D点后做平抛运动，则有
2l=
x=vDt
解得
即落地点与B点间的距离为．
（2）P刚好过B点，有：Ep=μm1g•4l，解得 m1=m
P最多到C而不脱轨，则有 Ep=μm2g•4l+m2gl，解得 m2=m
所以满足条件的P的质量的取值范围为：m≤mP＜m．
随练1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力做功为－mgh，所以重力势能增加mgh，故A正确；
B、棋子在最高点具有水平方向的速度，所以机械能的增加量大于mgh，故B错误；
C、棋子离开平台后机械能守恒，设最高点的动能为EK1，距平台面高度为时动能为EK2，则，解得：，故C错误；
D、由最高点落到另一平台上时，由机械能守恒得：，所以，故D正确。
随练2、
【答案】 （1）摆线能承受的最大拉力为20N
（2）粗糙水平面摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125
【解析】 （1）当摆球由C到D运动，机械能守恒，则得：，
在D点，由牛顿第二定律可得：，
代入数据解得Fm＝20N．
（2）小球不脱圆轨道分两种情况：
①要保证小球能达到A孔，设小球到达A孔的速度恰好为零，
对小球从D到A的过程，由动能定理可得：
解得：μ1＝0.5
若进入A孔的速度较小，那么将会在圆心以下做等幅摆动，不脱离轨道．其临界情况为到达圆心等高处速度为零，由机械能守恒可得：，
由动能定理可得：，
解得：μ2＝0.35
②若小球能过圆轨道的最高点则不会脱离轨道，在圆周的最高点由牛顿第二定律可得：，
由动能定理可得：，
解得：μ3＝0.125
综上，所以摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125
多个物体的机械能守恒
例题1、
【答案】 C
【解析】 A、开始时弹簧处于原长，弹力为零。物体B对地压力恰好为零，故细线的拉力为2mg，故弹簧对A的拉力也等于2mg，可知弹簧对A的拉力先小于A的重力，后大于A的重力，所以物体A先处于失重状态，后处于超重状态，故A错误。
B、物体A即将落地时，A的速度恰好为零，物体B对地面恰好无压力，则知物体B一直处于平衡状态，故B错误。
C、对弹簧和A组成的系统，由机械能守恒得弹簧的弹性势能最大值Epm=mgh，故C正确。
D、物体A下落过程中，A的重力势能一直减小，由系统的机械能守恒知动能和弹簧的弹性势能之和一直增大，故D错误。
例题2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、因Mm之间有弹簧，故两物体受弹簧的弹力做功，机械能不守恒；故A错误；
B、M的重力分力为Mgsinθ＝mg；物体先做加速运动，当受力平衡时M速度达最大，则此时m受力为mg，故m恰好与地面间的作用力为零；故B正确；
C、从m开始运动至到M到达底部过程中，弹力的大小一直大于m的重力，故m一直做加速运动，M到达底部时，m的速度不为零；故C错误；
D、M恰好能到达挡板处，则此过程中重力对M做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体m的机械能增加量之和；故D正确。
例题3、
【答案】 （1）
（2）6︰5
（3）
【解析】 （1）松手前小球受力分析如图所示，由平衡得：
T1sin53°＝T2cos53°
F＋mg＝T1cos53°＋T2sin53°
且T1＝Mg
联立解得：
（2）小球运动到与A、B相同高度过程中，
小球上升高度为：h1＝3lsin53°
物块下降高度为：h2＝2l
整个过程系统机械能守恒，则有：mgh1＝Mgh2
联立解得：
（3）根据机械能守恒定律可知，小球向下运动到最低点即为小球回到起始点，设此时AC方向拉力为T，由牛顿第二定律得：
对物块：Mg－T＝Ma
对小球：T′－mgcos53°＝ma
根据牛顿第三定律可知：T′＝T
解得：
随练1、[多选题]
【答案】 B C D
【解析】 A、由题可知，M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，则在运动过程中AM为压缩状态，N点为伸长状态；小球向下运动的过程中弹簧的长度先减小后增大，则弹簧的弹性势能先增大，后减小，再增大，所以弹力对小球先做负功再做正功，最后再做负功．故A错误．
B、在运动过程中M点为压缩状态，N点为伸长状态，则由M到N有一状态弹力为0且此时弹力与杆不垂直，加速度为g；当弹簧与杆垂直时小球加速度为g．则有两处加速度为g．故B正确．
C、由图可知，弹簧长度最短时，弹簧与杆的方向相互垂直，则弹力的方向与运动的方向相互垂直，所以弹力对小球做功的功率为零，故C正确．
D、因M点与N点弹簧的弹力相等，所以弹簧的形变量相等，弹性势能相同，弹力对小球做的总功为零，则弹簧弹力对小球所做的正功等于小球克服弹簧弹力所做的功；小球向下运动的过程中只有重力做正功，所以小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差．故D正确．
随练2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、三球组成的系统在水平方向所受外力为零，系统在水平方向动量守恒，初状态系统在水平方向动量为零，由动量守恒定律可知，A球落地时系统水平方向动量为零，三球在水平方向速度都为零，从A开始下落，B、C两球在水平方向做加速运动，最终B、C的速度为零，由此可知，A先对B、C做正功、后做负功，B、C先对A做负功、后做正功，A的机械能先减小后增大，故A错误；
B、A落地时A、B、C在水平方向速度为零，正功过程系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：，解得：，A落地的瞬时速度为，故B正确；
CD、A球从静止开始下落，最终速度为零，A向下运动过程先加速后减速，系统先处于失重状态、后处于超重状态，B对地面的压力不是失重为、对地面的压力可能小于mg，故C错误，D正确。
随练3、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 A、由于弹簧一直处于压缩状态，故弹性势能一直减小，但没有减为零，故A错误；
B、除重力外其余力做的功等于物体机械能的增加量，故A对B做的功等于B机械能的增加量，故B正确；
C、由于AB整体和弹簧系统机械能守恒，故弹簧弹性势能的减小量等于A和B机械能的增加量，故C正确；
D、对物体A，重力、支持力、弹簧弹力、和B对A弹力的合力做的功等于动能的增加量，故重力和弹簧弹力做功的代数和不等于A动能的增加量，故D错误。
随练4、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、由于小环和重物只有重力做功，故系统机械能守恒，故A正确；
B、结合几何关系可知，重物上升的高度：，故B错误；
C、两个物体沿着绳子方向的分速度，故：v环cos45°＝vG，故环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为，故C错误；
D、小环和重物系统机械能守恒，故：；联立解得：
，故D正确。
实验：验证机械能守恒定律
验证机械能守恒定律
例题1、
【答案】 （1）D（2）D（3）mgh2；（4）BD
【解析】 （1）打点计时器的工作电源是交流电源，在实验中需要刻度尺测量纸带上点与点间的距离从而可知道重锤下降的距离，以及通过纸带上两点的距离，求出平均速度，从而可知瞬时速度．纸带上相邻两计时点的时间间隔已知，所以不需要秒表．重锤的质量可以不测．
（2）物体由静止开始自由下落过程中受到空气阻力和纸带与打点计时器的摩擦阻力作用，不是自由落体运动，v=gt，v=，都是自由落体运动的公式．若用这些公式进行分析，就不需要验证了，相当于用机械能守恒验证机械能守恒．下落的高度用刻度尺测量，瞬时速度用平均速度的方法计算．故ABC错误，D正确．
（3）从O点到F点的过程中，重物重力势能的减少量为：|△Ep|=mgh2，
F点的瞬时速度为：，
则动能的增加量为：．
（4）实验结果往往是重力势能的减少量略大于动能的增加量，这个误差是系统误差，无法避免，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力的影响来减小该误差
例题2、
【答案】 （1）A；F；0.86；0.81（2）由于空气阻力和纸带与打点计时器的摩擦阻力做功
【解析】 （1）实验中验证动能的增加量和重力势能的减小量是否相等，两边都有质量，可以约去，所以不需要测出重物和夹子的质量，故A不需要．
物体下落的时间可以通过打点计时器直接得出，不需要秒表测重物下落的时间，故F不需要．
①从O点下落到B点的过程中，重力势能的减少量△Ep=mgh=0.5×9.8×0.176J=0.86J．
②B点的速度=1.8m/s，则B点的动能=0.81J．
（2）第（1）问中①②计算结果不等的原因是由于空气阻力和纸带与打点计时器的摩擦阻力做功．
随练1、
【答案】 （1）B
（2）1.88；1.84
（3）A
【解析】 （1）因为通过某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度可以求出B点的速度，所以取图中O点到B点来验证机械能守恒定律。
（2）重物重力势能的减少量△Ep＝mg△h＝9.80×0.192＝1.88J。
B点的速度，则B点的动能．所以动能的增加量△Ek＝1.84J。
（3）根据得，，即与h成正比。故A正确。
随练2、
【答案】 ①AB间的高度差hAB
②1.30m／s
③两图象基本重合
【解析】 ①在该实验中，需验证动能的增加量和重力势能的减少是否相等，A、B两点的瞬时速度可以通过某段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度求出，所以还需测量A、B间的距离hAB
②根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，B点的瞬时速度
③因为图线a、b几乎重合，可知下降相同的高度，重力势能的减小量和动能的增加量近似相等，从而验证了机械能守恒。
机械能守恒定律的实验创新
例题1、
【答案】 （1）9.4
（2）；mgd
（3）C
【解析】 （1）宽度b的读数为：9mm+4×0.1mm=9.4mm；
（2）由于光电门的宽度b很小，所以我们用很短时间内的平均速度代替瞬时速度。
滑块通过光电门B速度为：vB=；
滑块从A处到达B处时m和M组成的系统动能增加量为：△Ek=（M+m）（）2=；
系统的重力势能减少量可表示为：△Ep=mgd；
比较△Ep和△Ek，若在实验误差允许的范围内相等，即可认为机械能是守恒的。
（3）A、若存在空气阻力的，则有△Ek总是略小于△Ep，故A错误；
B．滑块没有到达B点时钩码已经落地，拉力对滑块做的功会减小，△Ek应小于△Ep，故B错误；
C．将滑块左端与光电门B之间的距离作为d，钩码下落的高度算少了，△Ek将大于△Ep，故C正确。
D．将滑块右端与光电门B之间的距离作为d，钩码下落的高度算多了，△Ek将小于△Ep，故D错误。
例题2、
【答案】 （1）AD
（2）
（3）
（4）
【解析】 （1）A、根据实验原理可知，需要测量的是A点到光电门B的距离，故A正确；
B、根据机械能守恒的表达式可知，方程两边可以约掉质量，因此不需要测量质量，故B错误；
C、利用小球通过光电门的平均速度来代替瞬时速度，不需要测量下落时间，故C错误；
D、利用小球通过光电门的平均速度来代替瞬时速度时，需要知道挡光物体的尺寸，因此需要测量小球的直径，故D正确。
（2）已知经过光电门时的时间小球的直径；则可以由平均速度表示经过光电门时的速度；
故；
（3）若减小的重力势能等于增加的动能时，可以认为机械能守恒；
则有：mgH＝mv2；
即：
解得：，
那么该直线斜率。
（4）乙图线，
因存在阻力，则有：；
所以重物和纸带下落过程中所受平均阻力与重物所受重力的比值为；
随练1、
【答案】 （1）18.50
（2）最大值
（3）2mg（1－cosθ）＝F－mg
（4）AB
【解析】 （1）小球的直径d＝18mm＋10×0.05＝18.50mm
（2）球在最低点的速度最大，对应的拉力最大，为求出球在最低点的速度大小，应读取拉力的最大值。
（3）在最低点：…①
球从静止释放运动到最低点过程中，满足机械能守的关系式：mgr（1－cosθ）＝mv2…②
由①②解得：2mg（1－cosθ）＝F－mg
（4）A．细线要选择伸缩性小的，则A正确；
B．球尽量选择密度大的，则B正确；
C．要测出球的质量，不必测出细线的长度，则C错误；
D．用弹簧测力计不能准确读数力的最大值，则D错误。
随练2、
【答案】 （1）0.58；0.60；在误差允许的范围内，系统机械能守恒
（2）9.7
【解答】
（1）计数点5的瞬时速度，则系统动能的增加量，系统重力势能的减小量△Ep＝（m2﹣m1）gh＝（0.15﹣0.05）×10×（38.40＋21.60）×10﹣2J＝0.60J，可知，在误差允许的范围内，系统机械能守恒．
（2）根据系统机械能守恒得，，解得，则图线的斜率，解得g＝9.7m／s2．
【解析】 暂无解析
随练3、
【答案】 （1）②
（2）③错误，改为：摆锤置于A点，先点击“开始记录”，然后释放摆锤，然后，摆锤通过D点速度将自动记录在表格对应处；
⑤错误，改为：依次将光电门放在标尺盘的C、B点点，重复实验，得到相应数据
（3）②①⑦④③⑥⑤
（4）摆锤在运动过程中动能与势能相互转化，但机械能的总量基本保持不变
【解析】 （1）机械能守恒对应某一过程，根据实验可知：在左侧最高点的机械能与A点的机械能基本相等；
（2）实验步骤③错误，应该是：摆锤置于A点，先点击“开始记录”，然后释放摆锤，然后，摆锤通过D点速度将自动记录在表格对应处；
实验步骤⑤错误，应该是：依次将光电门放在标尺盘的C、B点点，重复实验，得到相应数据。
（3）实验时，要先安装实验器材，然后进行实验，再处理实验数据，即：卸下“定位挡片”和“小标尺盘”，安装光电门传感器，用来采集数据；再开启电源，运行软件；确定零势能点，然后输入相应的高度；开始点击“开始记录”，同时释放摆锤；更换光电门位置，重复实验；最后点击“数据计算”，计算D点的势能、动能和机械能，因此合理的实验步骤是：②①⑦④③⑥⑤；
（4）由实验可知：摆锤在运动过程中动能与势能相互转化，但机械能的总量基本保持不变。
拓展
1、[多选题]
【答案】 C D
【解析】 A、对小环而言，有弹簧弹力对其做功，故小环的机械能不守恒，是小环和弹簧的系统机械能守恒，故A错误；
B、弹簧的长度先缩短后伸长，故弹簧的弹性势能先增加后减小、最后再次增加，故B错误；
C、小环和弹簧的系统机械能守恒，系统重力势能在减小，而在最低点时重力势能最小，动能为零，故此时弹簧的弹性势能最大，为mgL，故C正确；
D、根据功的瞬时功率表达式P=Fvcosθ，要使得P为零，可能是F为零、v为零、或者cosθ为零，故除A、B两点外，弹簧弹力做功的瞬时功率为零还有两处，其中一处为弹力与速度垂直，一处为弹力为零，故D正确。
2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、当小球恰好C点时，有：
得：
小球离开C点后做平抛运动，则有，x＝vCt，联立得，所以小球只能落在平台MN上离A点距离的右侧任意一点。故A错误。
B、小球在运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，则其在D点的机械能等于P点的机械能，故B正确。
C、在B点，重力与速度垂直，重力的瞬时功率为零，所以小球从A运动到B的过程中，重力的功率先增大后减小，故C错误。
D、小球从D运动到的过程中，由机械能守恒得：
在B点，有：，联立得：．由牛顿第三定律知小球经过B点时对轨道的压力为．故D正确。
3、
【答案】 C
【解析】 A、弹簧为原长时，小球只受到重力和杆的支持力，它们的合力提供向心力，
则：mω12•l0cos30°＝mgtan30°
代入数据可得：，故A错误；
B、当杆的角速度为时，弹簧处于伸长状态，故B错误；
C、在杆的角速度增大的过程中，杆对小球做功，小球与弹簧所组成的系统机械能增加，故C正确；
D、在杆处于静止状态时，小球处于平衡状态，则：
在杆的角速度增大为时，
设弹簧的伸长量为△l，球受力如图所示，
则竖直方向：N•cosθ＝mg＋k△l
水平方向：Nsinθ＋k•△lcosθ＝mω22（l0＋△l）sinθ
联立得：△l＝0.5l0
小球的线速度：
所以小球增加的动能：，
小球增加的重力势能：，
由于当杆的角速度增大为时，弹簧的伸长量为，与开始时弹簧的压缩量相等，可知弹簧的形变量相同，则弹簧的弹性势能不变，所以小球的机械能增加量为：△E＝△EP＋△Ek＝mgl0，故D错误。
4、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 ABD、斜面光滑，则对整体分析可知，加速度a＝gsin30°＝10×0.5＝5m/s2，故此时AB间的杆没有弹力，故轻杆对A不做功，故A正确，B错误；
C、由于斜面光滑，系统只有重力做功，系统机械能守恒，故C正确；
D、由于AB两物体加速度相同，任意时刻A、B两物体速度相同，但重力大小不同，故重力的瞬时功率不同，故D错误。
5、
【答案】 （1）A固定不动时，A对B支持力的大小mgcosα；
（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小2xsin；
（3）A滑动的位移为x时的速度大小．
【解析】 （1）根据受力分析：重力、支持力与绳子的拉力，
结合力的平行四边形定则，及平衡条件与三角知识，
则斜面的支持力大小为：
N=mgcosα；
（2）撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动，根据运动的合成与分解，当A滑动的位移为x时，设B的位移大小s，依据几何关系有：
则有：sx=x（1﹣cosα）
sy=xsinα
且s=；
解得：s=x；
（3）因B的下降的高度为sy=xsinα；
根据系统只有重力做功，机械能守恒定律，则有：
mgsy=
如下图所示，画阴影部分的三角形相似，依据位移之比等于速度之比，
可得：
则有：vB=vA；
解得：vA=
6、
【答案】 （1）BC
（2）先释放纸带，后接通电源
（3）0.951
【解析】 （1）A、该图中的打点计时器为电磁打点计时器，使用的电源为4到6V交流电；故A错误；
B、为了让重物的运动接近自由落体，忽略阻力；重物应选择密度大体积小的物体；故B正确；
C、为了减小摩擦力，限位孔应在同一竖直线上；故C正确；
D、为使纸带方便穿入打点计时器，打点计时器的复写纸片应被压在纸带的上部，故D错误．
故选：BC
（2）测得第1、2两个点间的距离明显大于2mm，初速度不是从零开始的，造成这种现象的原因是先释放纸带后接通电源；
（3）重力势能的减小量为：△EP＝mgh＝0.5×9.8×19.41×10－2J≈0.951J。
7、
【答案】 （1）2.150；0.565
（2）mgh
（3）大于
【解析】 （1）小圆柱体的直径为：d＝2＋15×0.01＝2.150mm，
小圆柱体的长度为：a＝5＋13×0.05＝0.565cm。
（2）该实验需要验证重力势能的减小等于动能的增加其表达式为：，即mgh；
（3）若考虑小圆柱的长度则其下落高度要大于实验测得的高度，其生重力势能减少量要大于测算出的动能的增加量。
第12讲 机械能守恒定律
知识图谱
机械能守恒定律的理解和应用
知识精讲
1．重力势能
（1）重力做功：WG＝mgh，h为初、末位置的高度差。
（2）重力势能：Ep＝mgh，重力势能是物体和地球共有的。
（3）重力做功与重力势能的关系：WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
2．弹性势能
（1）弹簧的弹性势能：。
（2）弹力做功与弹性势能变化的关系：。
3．机械能守恒定律
（1）条件：系统内只有重力或弹簧弹力做功，其他力不做功或做功代数和为零。
（2）表达式：
守恒观点
转化观点
转移观点
（3）利用机械能守恒定律分析问题的基本思路
①选取研究对象（单个物体或多物体系统）；
②明确研究过程，确定初、末状态；
③判断机械能是否守恒；
④选择合适的表达式，列方程求解。
（4）多个物体的机械能守恒定律的应用
①对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒；
②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系；
③列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
三点剖析
学习目标：
1．理解重力做功与重力势能、弹力做功与弹性势能的关系；
2．理解机械能守恒定律的条件；
3．掌握应用机械能守恒定律解决问题的方法。
机械能守恒定律的理解和判断
例题1、[多选题] 如图所示，在光滑四分之一圆弧轨道的顶端a点，质量为m的物块（可视为质点）由静止开始下滑，经圆弧最低点b滑上粗糙水平面，圆弧轨道在b点与水平轨道平滑相接，物块最终滑至c点停止，若圆弧轨道半径为R，物块与水平面间的动摩擦因数为μ，下列说法正确的是（ ）
A.物块滑到b点时的速度为
B.物块滑到b点时对b点的压力是mg
C.物块滑到b点时对b点的压力是3mg
D.c点与b点的距离为
例题2、 把质量是0.2kg的小球放在竖立的轻质弹簧上，并将球向下按至A的位置，如图甲所示。迅速松手后，球被弹起并沿竖直方向运动到最高位置C（图丙），途中经过B的位置时弹簧正好处于自由状态（图乙）。已知B、A的高度差为0.1m，C、B的高度差为0.2m，不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A.从A到C的过程中，球先加速后减速，在B位置时动能最大
B.从A到C的过程中，球的机械能守恒
C.松手瞬间球的加速度为10m/s2
D.弹簧被压缩至A位置时具有的弹性势能为0.6J
例题3、 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
A.圆环的机械能守恒
B.弹簧弹性势能变化了mgL
C.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
例题4、[多选题] 如图所示，长为的轻质细绳悬挂一个质量为的小球，其下方有一个倾角为的光滑斜面体，放在光滑水平面上．开始时小球刚好与斜面接触无压力，现用水平力缓慢向左推动斜面体，直至细绳与斜面平行为止，对该过程中有关量的描述正确的是（ ）
A.绳的拉力和小球对斜面的压力都在逐渐减小
B.绳的拉力在逐渐减小，小球对斜面的压力逐渐增大
C.重力对小球做负功，斜面弹力对小球不做功
D.推力做的功是
随练1、 下列人或物在运动过程中，机械能守恒的是（ ）
A.风中飘落的羽毛
B.竖直放置的真空牛顿管中下落的羽毛
C.乘电梯匀速上升的人
D.弹性蹦床上跳跃的运动员（不计空气阻力）
随练2、 把一个重为G的物体，用一个水平的推力F＝kt（k为正的常数，t为时间）压在竖直的足够高的平整的墙上，如图所示，从t＝0开始计时，物体从静止开始运动，关于此后物体的动能Ek、重力势能Ep、机械能E随着物体位移x变化图象定性来说可能正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
随练3、[多选题] 如图所示，轻弹簧一端固定在倾角为θ的光滑斜面底端，弹簧上端放着质量为m的物体A，处于静止状态。将一个质量为2m的物体B轻放在A上，则在A、B一起向下运动过程中（ ）
A.放在A上的瞬间，B对A的压力大小为mgsinθ
B.A、B的速度先增大后减小
C.A、B间的弹力先增大后减小
D.A、B组成的系统机械能守恒
单个物体的机械能守恒
例题1、 如图所示，质量m的小球套在半径为R的固定光滑圆环上，圆环的圆心为O，原长为0.8R的轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与圆环在同一竖直平面内，圆环上B点在O的正下方，当小球在A处受到沿圆环切线方向的恒力F作用时，恰好与圆环间无相互作用，且处于静止状态．已知：R＝1.0m，m＝1.0kg，∠AOB＝θ＝37°，弹簧处于弹性限度内，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g＝10m／s2．求：
（1）该弹簧的劲度系数k；
（2）撤去恒力，小球从A点沿圆环下滑到B点时的速度大小vB；
（3）小球通过B点时，圆环对小球的作用力大小NB．
例题2、 如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F．小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动．整个过程中，物块在夹子中没有滑动．小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g．下列说法正确的是（ ）
A.物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2F
B.小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2F
C.物块上升的最大高度为
D.速度v不能超过
例题3、 如图，在竖直平面内由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为．一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
（1）求小球在B、A两点的动能之比；
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
例题4、 轮滑受到很多年轻人的喜爱。某轨道如图所示，圆弧轨道半径R＝3m且与水平地面相切，倾斜直轨道与圆弧相切于B点且与水平面成α＝37°角，某轮滑爱好者连同装备质量为m＝60kg，从图示轨道A点静止下滑（A与圆心O等高），已知BC长度L＝1m，不计摩擦阻力和空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1） 运动到圆弧轨道最低点对轨道压力大小；
（2） 经倾斜轨道末端C点飞出后，在地面上的落点D到C点的水平距离。（该小题计算结果保留两位有效数字，取）
例题5、[多选题] 如图所示，光滑水平面上有一个四分之三圆弧管，内壁也光滑，半径R＝0.2m，质量M＝0.8kg管内有一个质量m＝0.2kg的小球，小球直径略小于弯的内径，将小球用外力锁定在图示位置，即球和环的圆心连线与竖直方向成37°角，对圆弧管施加水平恒定外力F作用，同时解除锁定，系统向右加速，发现小球在管中位置不变。当系统运动一段距离后管撞击到障碍物上突然停下，以后小球继续运动通过最高点后又落入管中，g取10m／s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8．则下列说法正确的是（ ）
A.拉力F的大小为6N
B.小球在轨道最高点时速度为1m／s
C.系统运动一段距离后管撞击到障碍物时速度为2m／s
D.拉力F 做的功为4.1J
例题6、 轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l．现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后释放，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g．
（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
随练1、[多选题] 有一款蹿红的微信小游戏“跳一跳”，游戏要求操作者通过控制棋子（质量为m，可视为质点）脱离平台时的速度，使其能从同一水平面上的平台跳到旁边的另一平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，轨迹的最高点距平台上表面高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则（ ）
A.棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh
B.棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，机械能增加mgh
C.棋子离开平台后距平台面高度为时动能为
D.棋子落到另一平台上时的速度大于
随练2、 如图所示，让摆球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达A孔进入半径R＝0.3m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭A孔．已知摆线长L＝2m，θ＝60°，小球质量为m＝1kg，D点与小孔A的水平距离s＝2m，g取10m/s2．试求：
（1）求摆线能承受的最大拉力为多大？
（2）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求粗糙水平面摩擦因数μ的范围．
多个物体的机械能守恒
例题1、 如图所示，质量为m的物体A和质量为2m的物体B适过不可伸长的轻绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧。开始用手托着物体A使弹簧处于原长且细绳伸直，此时物体A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。现由静止释放A，A与地面即将接触时速度恰好为0，此时物体B对地面恰好无压力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A.物体A下落过程中一直处于失重状态
B.物体A即将落地时，物体B处于失重状态
C.物体A下落过程中，弹簧的弹性势能最大值为mgh
D.物体A下落过程中，A的动能和弹簧的弹性势能之和先增大后减小
例题2、[多选题] 如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为30°，质量分别为M、m的两个物体通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板．开始时用手按住物体M，此时M距离挡板的距离为s，滑轮两边的细绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态．已知M＝2m，空气阻力不计．松开手后，关于二者的运动下列说法中正确的是（ ）
A.M和m组成的系统机械能守恒
B.当M的速度最大时，m与地面间的作用力为零
C.若M恰好能到达挡板处，则此时m的速度为零
D.若M恰好能到达挡板处，则此过程中重力对M做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体m的机械能增加量之和
例题3、 如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°．松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6．求：
（1）小球受到手的拉力大小F；
（2）物块和小球的质量之比M︰m；
（3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。
随练1、[多选题] 如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM＜∠OMN＜．在小球从M点运动到N点的过程中（ ）
A.弹力对小球先做正功后做负功
B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C.弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
随练2、[多选题] 如图所示，用铰链将三个质量均为m的小球A、B、C与两根长为L轻杆相连，B、C置于水平地面上。在轻杆竖直时，将A由静止释放，B、C在杆的作用下向两侧滑动，三小球始终在同一竖直平面内运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，则此过程中（ ）
A.球A的机械能一直减小
B.球A落地的瞬时速度为
C.球B对地面的压力始终等于
D.球B对地面的压力可小于mg
随练3、[多选题] 如图所示，置于足够长斜面上的盒子闪为放有光滑球B，B洽与盒子前、后壁接触，斜面光滑且固定于水平地面上。一轻质弹簧的一端与固定在斜面上的木板P拴接，另一端与A相连。今用外力推A使弹簧处于压缩状态，然后由静止释放，则从释放盒子直至其获得最大速度的过程中（ ）
A.弹簧的弹性势能一直减小直至为零
B.A对B做的功等于B机械能的增加量
C.弹簧弹性势能的减小量等于A和B机械能的增加量
D.A所受重力和弹簧弹力做功的代数和小于A动能的增加量
随练4、[多选题] 如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A.环与重物组成的系统机械能守恒
B.小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D.小环在B处的速度时，环的速度为
实验：验证机械能守恒定律
知识精讲
1．实验目的：验证机械能守恒定律
2．实验原理
在自由落体运动中，物体的重力势能和动能互相转化，但总的机械能保持不变。
若物体某时刻瞬时速度为v，下落高度为h，则重力势能的减少量为mgh，动能的增加量为mv2，看它们在实验误差允许的范围内是否相等，若相等则验证了机械能守恒定律。
3．数据处理
（1）求瞬时速度
利用求解重物下落h1、h2、h3…的高度时对应的瞬时速度v1、v2、v3、…
（2）验证守恒
方法1：利用起始点和第n点计算，若在误差允许的范围内， ，则说明机械能守恒；
方法2：任取两点A、B测出hAB，若在实差允许的范围内，，则说明机械能守恒；
方法3：图象法，测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，绘出图线，若在误差允许的范围内图象是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒。
4．注意事项
（1）打点计时器安装时，必须使两纸带限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。
（2）重物要选择质量、密度较大的材料，以减小空气阻力的影响。
（3）实验时，应先接通电源，打点计时器工作正常后再释放重物。
（4）因不需要知道动能和势能的具体数值，所以不需要测量重锤的质量。
（5）本实验为验证机械能守恒，故不能运用自由落体的运动规律来计算某点的速度。
5．误差分析
（1）系统误差
本实验中因重锤和纸带在下落过程中要克服各种阻力(空气阻力、打点计时器阻力)做功，故动能的增加量ΔEk稍小于重力势能的减少量ΔEp，即ΔEk<ΔEp，这属于系统误差，改进的方法是调整器材的安装，尽可能地减小阻力。
（2）偶然误差
本实验的另一个误差来源于长度的测量，属于偶然误差．减小误差的方法是测下落距离时都从O点测量时，一次将各打点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值。
三点剖析
学习目标：
1．了解实验目的和实验原理；
2．掌握实验过程和数据处理的方法；
3．掌握实验的注意事项和误差分析。
验证机械能守恒定律
例题1、 如图1所示，将打点计时器固定在铁架台上，用重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置可验证机械能守恒定律．
（1）已准备的器材有打点计时器（带导线）、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台和带夹子的重物，此外还需要的器材是____（填字母代号）
A．直流电源、天平及砝码
B．直流电源、毫米刻度尺
C．交流电源、天平及砝码
D．交流电源、毫米刻度尺
（2）实验中需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度v和下落高度h．某同学对实验得到的纸带，设计了以下四种测量方案，这些方案中合理的是：____
A．用刻度尺测出物体下落的高度h，由打点间隔数算出下落时间t，通过v=gt计算出瞬时速度v
B．用刻度尺测出物体下落的高度h，并通过v=计算出瞬时速度v
C．根据做匀变速直线运动时，纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v，并通过计算得出高度h
D．用刻度尺测出物体下落的高度h，根据做匀变速直线运动时，纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v
（3）安装好实验装置，正确进行实验操作，从打出的纸带中选出符合要求的纸带，如图2所示．图中O点为打点起始点，且速度为零．选取纸带上打出的连续点A、B、C、…作为计数点，测出其中E、F、G点距起始点O的距离分別为h1、h2、h3．已知重锤质量为m，当地重力加速度为g，计时器打点周期为T．为了验证此实验过程中机械能是否守恒，需要计算出从O点到F点的过程中，重锤重力势能的减少量△Ep=____，动能的增加量△Ek=____（这两个空均要求用题中所给字母表示）
（4）实验结果往往是重力势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是____
A．该误差属于偶然误差
B．该误差属于系统误差
C．可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差
D．可以通过减小空气阻力和摩擦阻力的影响来减小该误差．
例题2、 图1是“验证机械能守恒定律”的实验装置示意图，以下列出了一些实验步骤：
A．用天平测出重物和夹子的质量
B．把打点计时器用铁夹固定放到桌边的铁架台上，使两个限位孔在同一竖直面内
C．把打点计时器接在交流电源上，电源开关处于断开状态
D．将纸带穿过打点计时器的限位孔，上端用手提着，下端夹上系住重物的夹子，让重物靠近打点计时器，处于静止状态
E．接通电源，待计时器打点稳定后释放纸带，之后再断开电源
F．用秒表测出重物下落的时间
G．更换纸带，重新进行两次实验
（1）对于本实验，以上不必要的两个步骤是_____和_____
图2为实验中打出的一条纸带，O为打出的第一个点，A、B、C为从合适位置开始选取的三个连续点（其他点未画出），打点计时器每隔0.02s打一个点．若重物的质量为0.5kg，当地重力加速度取g=9.8m/s2，由图乙所给的数据可算出（结果保留两位有效数字）：
①从O点下落到B点的过程中，重力势能的减少量为_____J．
②打B点时重物的动能为_____J．
（2）试指出造成第（1）问中①②计算结果不等的原因是________________________________．
随练1、 在用打点计时器验证机械能守恒定律的实验中，使质量为m＝1.00kg的重物自由下落，打点计时器在纸带上打出一系列的点，选取一条符合实验要求的纸带如图所示。O为第一个点，A、B、C为从合适位置开始选取连续点中的三个点。已知打点计时器每隔0.02s打一个点，当地的重力加速度为g＝9.80m／s2，那么：
（1）根据图上所得的数据，应取图中O点到________点来验证机械能守恒定律；
（2）从O点到（1）问中所取的点，重物重力势能的减少量△Ep＝________J，动能增加量△Ek＝________J（结果取三位有效数字）；
（3）若测出纸带上所有各点到O点之间的距离，根据纸带算出各点的速度v及物体下落的高度h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图象是图2中的________。
随练2、 如图甲为验证机械能守恒定律的实验装置，图乙是该实验得到的一条点迹清晰的纸带，已知所用交流电源的频率为50Hz。现要取A到B过程来验证实验。
①若x1、x2数据已测出，则实验还必需要测出的物理量是________；
②若测得x2＝5.20cm，则在纸带上打下计数点B时的速度υB＝________m／s；
③该同学经过测量计算后，作出重锤重力势能减少量ΔEp和动能增加量ΔEk随重锤下落高度h变化的图线如图丙中a、b所示，比较这两条图线可知在实验误差允许的范围内，重锤下落过程机械能守恒，其理由是________。
机械能守恒定律的实验创新
例题1、 某同学利用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律。将气垫导轨固定在水平桌面上，调节旋钮使其水平。在气垫导轨的左端固定一光滑的定滑轮，在B处固定一光电门，测出滑块及遮光条的总质量为M，将质量为m的钩码通过细线与滑块连接。打开气源，滑块从A处由静止释放，宽度为b的遮光条经过光电门挡光时间为t，取挡光时间t内的平均速度作为滑块经过B处的速度，A、B之间的距离为d，重力加速度为g。
（1）用游标卡尺测量遮光条的宽度，示数如图乙所示，其读数为______mm。
（2）调整光电门的位置，使得滑块通过B点时钩码没有落地。滑块由A点运动到B点的过程中，系统动能增加量△Ek为_________，系统重力势能减少量△Ep为__________。（以上结果均用题中所给字母表示）
（3）若实验结果发现△Ek总是略大于△Ep，可能的原因是___________-。
A．存在空气阻力
B．滑块没有到达B点时钩码已经落地
C．测出滑块左端与光电门B之间的距离作为d
D．测出滑块右端与光电门B之间的距离作为d
例题2、 一位同学用光电计时器等器材装置做“验证机械能守恒定律”的实验，如图甲所示。通过电磁铁控制的小球从B点的正上方A点自由下落，下落过程中经过光电门B时，光电计时器记录下小球过光电门时间t，当地的重力加速度为g。
（1）为了验证机械能守恒定律，该实验还需要测量下列哪些物理量________。
A．AB之间的距离H
B．小球的质量为m
C．小球从A到B的下落时间tAB
D．小球的直径d
（2）小球通过光电门时的瞬时速度V＝________（用题中以上的测量物理量表达）
（3）多次改变AB之间距离H，重复上述过程，作出1／t2随H的变化图象如图乙所示，当小球下落过程中机械能守恒时，该直线斜率k0＝________。
（4）在实验中根据数据实际绘出的图乙直线的斜率为k（k＜k0）则实验过程中所受的平均阻力f与小球重力mg的比值为________（用k、k0表示）。
随练1、 某探究小组验证机械能守恒定律的装置如图甲所示，细线一端拴一个球，另一端连接力传感器，固定在天花板上，传感器可记录球在摆动过程中细线拉力大小，用量角器量出释放球时细线与竖直方向的夹角，用天平测出球的质量为m，重力加速度为g。
（1）用游标卡尺测出小球直径如图乙所示，读数为________mm。
（2）将球拉至图示位置，细线与竖直方向夹角为θ，静止释放球，发现细线拉力在球摆动过程中作周期性变化。为求出球在最低点的速度大小，应读取拉力的________（选填“最大值”或“最小值”），其值为F。
（3）球从静止释放运动到最低点过程中，满足机械能守恒的关系式为________（用测定物理量的符号表示）。
（4）关于该实验，下列说法中正确的有________。
A．细线要选择伸缩性小的
B．球尽量选择密度大的
C．不必测出球的质量和细线的长度
D．可以直接用弹簧测力计代替力传感器进行实验
随练2、 用如图甲实验装置验证m1、m2组成的系统机械能守恒．m2从高处由静止开始下落，m1上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律．图乙给出的是实验中获取的一条纸带：0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点（图中未标出），计数点间的距离如图所示．已知m1＝50g、m2＝150g，则（g取10m／s2，结果保留两位有效数字
（1）在打点0～5过程中系统动能的增量△EK＝________J，系统势能的减少量△EP＝________J，由此得出的结论是________；
（2）若某同学作出图象（h是m2下降的高度）如图丙，则当地的实际重力加速度g＝________m／s2．
随练3、 在如图所示的“用DIS研究机械能守恒定律”的实验中，有实验1和实验2两部分。
摆锤释放器
定位挡片
标尺盘
光电门
（1）实验1中，装上定位挡片，将摆锤从A点静止释放，观察到它到达左侧最高点，此点与A点高度基本相同。由此得到的结论是：摆锤________。（选填“①”或“②”）
①在摆动过程中，机械能处处相等
②在左侧最高点的机械能与A点的机械能基本相等
（2）实验2有如下步骤，其中两处步骤有错误，请找出并写出该步骤的正确内容：
其一，_________________________________________________________________________；
其二，_________________________________________________________________________。
①开启电源，运行DIS软件，点击实验条目中的“研究机械能守恒定律”。
②卸下“定位挡片”和“小标尺盘”，安装光电门传感器并接入数据采集器。
③摆锤置于A点，先释放摆锤，然后点击“开始记录”，摆锤通过D点速度将自动记录在表格对应处。
④把光电门传感器放在标尺盘最底端D点，并以此作为零势能点。A、B、C点相对于D点的高度已事先输入，作为计算机的默认值。
⑤依次将摆锤放在标尺盘的C、B点，重复实验，得到相应数据。
⑥点击“数据计算”，计算D点的势能、动能和机械能。
⑦测量摆锤的直径△s及其质量m，将数据输入软件界面内。
（3）请将第（2）问中步骤按正确实验步骤进行排序_________________。
（4）该实验的结论是____________________________________________________________。
拓展
1、[多选题] 如图所示，一轻质弹簧一端固定在水平面上通过O点的转轴上，另一端与一质量为m的小环相连。环可以沿与水平方向成30°的光滑固定杆下滑，已知弹簧原长为L．现让环从O点的正上方距O点为L的A点由静止开始下滑，环刚好滑到与O点处于同一水平面上的B点时速度变为零。则小环在从A点下滑到B点的过程中（ ）
A.小环的机械能守恒
B.弹簧的弹性势能一直变大
C.弹簧的最大弹性势能为mgL
D.除A、B两点外，弹簧弹力做功的瞬时功率为零还有两处
2、[多选题] 如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道ABC固定在竖直平面内，O是圆心，OC竖直，OA水平，B是最低点，A点紧靠一足够长的平台MN，D点位于A点正上方，DA距离为有限值．现于D点无初速度释放一个大小可以忽略的小球，在A点进入圆弧轨道，从C点飞出后做平抛运动并落在平台MN上，P点是小球落在MN之前轨迹上紧邻MN的一点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A.只要D点的高度合适，小球可以落在平台MN上任意一点
B.小球由D经A，B，C到P的过程中，其在D点的机械能等于P点的机械能
C.小球从A运动到B的过程中，重力的功率一直增大
D.如果DA距离为h，则小球经过B点时对轨道的压力为
3、 如图所示，一根原长为l0的轻弹簧套在光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO'匀速转动，且杆与水平面间始终保持30°角。已知杆处于靜止状态时弹簧的压缩量为，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A.弹簧为原长时，杆的角速度为
B.当杆的角速度为时，弹簧处于压缩状态
C.在杆的角速度增大的过程中，小球与弹簧所组成的系统机械能不守恒
D.在杆的角速度由0缓慢增大到过程中，小球机械能增加了
4、[多选题] 如图所示，A、B两物体的质量分别为m、2m，中间用轻杆相连，放在光滑的斜面上。现将它们从静止释放，在下滑的过程中（ ）
A.两物体下滑的加速度相同
B.轻杆对A做正功，对B做负功
C.系统的机械能守恒
D.任意时刻两物体重力的功率相同
5、 如图所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m．撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g．求：
（1）A固定不动时，A对B支持力的大小N；
（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
（3）A滑动的位移为x时的速度大小vx．
6、 利用所学物理知识解答问题：
（1）如图1所示为某同学“验证机械能守恒定律”的实验装置图，下列有关说法正确的是________．
A．该图中的打点计时器为电磁打点计时器，使用的电源为220V交流电
B．该实验中的重物应选用密度较大的实心重物
C．固定打点计时器时，应使两纸带限位孔在同一竖直线上
D．为使纸带方便穿入打点计时器，打点计时器的复写纸片应被压在纸带的内部
（2）若该同学在实验时发现他打出的纸带的开始两点间的距离总是较大（明显大于2mm），则他的操作错误在于________．
（3）纠错后，打出了一条如图所示的纸带，O点为纸带上第一点，若重物的质量为0.5kg，从开始下落到打D点的过程中重物的重力势能减少量为________J，（重力加速度g＝9.8m／s2，结果保留三位有效数）
7、 一组同学利用如图1所示的装置来验证机械能守恒定律。在铁架台的顶端有一电磁铁，电磁铁吸住直径为d、长度为a的小圆柱体，电磁铁下方固定一光电门，小圆柱体的中心到光电门的距离为h（a远小于h）。断开电源，小圆柱体下落，通过光电门的挡光时间为t。不计空气阻力。请回答下列问题：
（1）如图2所示，用螺旋测微器测量小圆柱体的直径d＝________mm，用游标卡尺测量小圆柱体的长度a＝________cm；
（2）若小圆柱体的质量为m，重力加速度为g，则该实验需要验证的表达式为________；（用题中字母表示）
（3）若考虑小圆柱体的长度，小圆柱体由静止下落h过程中的重力势能减少量________测算出的动能的增加量。（填“大于”、“等于”或“小于”）
答案解析
机械能守恒定律的理解和应用
机械能守恒定律的理解和判断
例题1、[多选题]
【答案】 C D
【解析】 A、由机械能守恒可知，mgR=mv2；
解得b点时的速度为，故A错误；
B、b点时，物体受重力、支持力而做圆周运动，则由F﹣mg=m可得，支持力F=3mg，由牛顿第三定律可知，物块对b点的压力为3mg； 故B错误，C正确；
D、对全程由动能定理可知，mgR﹣μmgs=0，解得bc两点间的距离为，故D正确
例题2、
【答案】 D
【解析】 A、小球从A上升到B位置的过程中，弹簧的弹力先大于重力，后小于重力，小球先加速后减速，当弹簧的弹力等于重力时，合力为零，小球的速度达到最大。从B到C的过程，小球做匀减速运动，动能不断减小。所以从A到C的过程中，球先加速后减速，在AB间某位置动能最大，故A错误；
B、从A到C的过程中，由于弹簧要对小球做功，所以小球的机械能增加，故B错误；
C、假如小球从A只能运动到B，在B点的加速度为a=g=10m/s2，方向竖直向下。根据简谐运动的对称性知小球在A点的加速度为10m/s2，方向竖直向上。现由于弹簧在A点的压缩量更大，合力更大，所以小球在A点的加速度大于10m/s2，故C错误；
D、从A到C的过程中，根据系统的机械能守恒得：弹簧被压缩至A位置时具有的弹性势能Ep=mg（hAB+hBC）=0.2×10×（0.1+0.2）J=0.6J；故D正确。
例题3、
【答案】 B
【解析】 A、圆环沿杆滑下过程中，弹簧的拉力对圆环做功，圆环的机械能不守恒，故A错误，
B、图中弹簧水平时恰好处于原长状态，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L，可得物体下降的高度为h=L，根据系统的机械能守恒得
弹簧的弹性势能增大量为△Ep=mgh=mgL，故B正确．
C、圆环所受合力为零，速度最大，此后圆环继续向下运动，则弹簧的弹力增大，圆环下滑到最大距离时，所受合力不为零，故C错误．
D、根据圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，知圆环的动能先增大后减小，则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大，故D错误．
故选：B．
例题4、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 对小球受力分析可知，小球受重力、轻绳的拉力和斜面的支持力个力的作用而处于一系列的动态平衡状态，做出受力分析的力三角形可知，轻绳的拉力一直减小，斜面的支持力方向不变，大小一直增大．由牛顿第三定律可知小球对斜面的压力一直增大，故A错误，B正确．根据力做功的条件：1．作用在物体上的力；2．物体必须是在力的方向上移动一段距离，可知重力对小球做负功，斜面弹力对小球做正功，C错误．若取小球和斜面体整体为研究对象，根据能量守恒得做的功等于系统机械能的增量，斜面体的动能和势能不变，小球的动能不变，所以系统机械能的增量等于小球的重力势能的增加量，所以推力做的功应等于小球重力势能的增量，故D正确．
随练1、
【答案】 B
【解析】 A、风中飘落的羽毛运动过程中，由于空气阻力对它做功，所以它的机械能不守恒，故A错误。
B、竖直放置的真空牛顿管中下落的羽毛在运动过程中，只受重力，机械能守恒，故B正确。
C、乘电梯匀速上升的人在运动过程中，电梯底板对人做功，则人的机械能不守恒。故C错误。
D、弹性蹦床上跳跃的运动员在与蹦床接触的过程，蹦床要对他做功，所以人的机械能不守恒，故D错误。
随练2、
【答案】 D
【解析】 A、水平的推力F＝kt，不断变大，物体水平方向受推力和支持力，竖直方向受重力和滑动摩擦力，滑动摩擦力不断变大，故物体先加速下滑后减速下滑，即动能先增加后减小；但合力为mg－μkt，是变力，故动能与位移间不是线性关系，故A错误；
BC、重力做正功，故重力势能不断减小，故BC错误；
D、由于克服滑动摩擦力做功，机械能不断减小，故D正确；
随练3、[多选题]
【答案】 A B
【解析】 A、在放B之前，物体A保持静止状态，重力和弹簧的弹力平衡：F=mgsinθ；
在放B瞬间，对A、B整体研究，根据牛顿第二定律有：（2m+m）sinθ﹣F=（3m）a
解得：a=gsinθ；对物体B受力分析，根据牛顿第二定律有：2mgsinθ﹣N=2ma：
解得：N=mgsinθ．由牛顿第二定律知，B对A的压力大小为mgsinθ．故A正确，
B、由于在AB向下运动过程中，弹簧的弹力一直增大，3mgsinθ先大于弹力，后小于弹力，则A、B的速度先增大后减小。故B正确。
C、对AB整体，合力先减小后增大，加速度先减小后反向增大，当加速度沿斜面向下时，根据牛顿第二定律有：2mgsinθ﹣N=2ma，知a减小，N增大。当加速度沿斜面向上时，根据牛顿第二定律有：N﹣2mgsinθ=2ma，知a增大，N增大，则A、B间的弹力一直增大，故C错误；
D、由于在运动过程中，弹簧对A、B系统做功，因此A、B的机械能不守恒，故D错误。
单个物体的机械能守恒
例题1、
【答案】 （1）40N／m
（2）2m／s
（3）6N
【解析】 （1）在A处：小球受到重力、弹簧的弹力和恒力F．
沿半径方向有：k（R－0.8R）＝mgcosθ
得：k＝40N／m；
（2）由A到B过程，由动能定理得：
得：vB＝2m／s；
（3）在B点，由牛顿第二定律得：
得：NB＝6N．
例题2、
【答案】 D
【解析】 A、物块向右匀速运动时，则夹子与物体M，处于平衡状态，那么绳中的张力等于Mg，与2F大小关系不确定，故A错误；
B、小环碰到钉子P时，物体M做圆周运动，依据最低点由拉力与重力的合力提供向心力，因此绳中的张力大于Mg，而与2F大小关系不确定，故B错误；
C、依据机械能守恒定律，减小的动能转化为重力势能，则有：，那么物块上升的最大高度为h=，故C错误；
D、因夹子对物体M的最大静摩擦力为2F，依据牛顿第二定律，结合向心力表达式，对物体M，则有：2F﹣Mg=，解得：v=，故D正确；
例题3、
【答案】 （1）小球在B、A两点的动能之比是5：1．
（2）小球恰好到达C点．
【解析】 （1）根据机械能守恒定律得
EKA=mg
EKB=mg（+R）=
则得小球在B、A两点的动能之比 EKB：EKA=5：1．
（2）假设小球能到达C点，由机械能守恒定律得
mg=
即得到达C点的速度 vC=
设小球通过C点的临界速度为v0．则有
mg=m
即得 v0=
因为 vC=v0，所以小球恰好到达C点．
例题4、
【答案】 （1）1800Ｎ
（2）4.6m
【解析】 （1）从A到最低点过程，由机械能守恒定律
在最低点，由牛顿第二定律有得Ｎ
由牛顿第三定律得对轨道压力大小为1800Ｎ
（2）从A到C过程，由机械能守恒定律有
从C点抛出时后，上升的时间为上升的高度为
从最高点到落地做平抛运动且竖直高度为
又有落地点D到C的水平距离为
解得m
例题5、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、以小球为研究对象，根据牛顿第二定律可得mgtam37°＝ma，解得a＝7.5m／s2，整体根据牛顿第二定律可得F＝（M＋m）a＝7.5N，故A错误；
B、设小球在轨道最高点时的速度为v0，根据平抛运动的规律可得，R＝v0t，解得v0＝1m／s，故B正确；
C、设系统运动一段距离后管撞击到障碍物时速度为v，根据机械能守恒定律可得：，解得，故C错误；
D、根据动能定理可得拉力F 做的功为，故D正确。
例题6、
【答案】 （1）P到达B点时速度的大小是，它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离是（2）P的质量的取值范围为： m≤mP＜m
【解析】 （1）将弹簧竖直放置在地面上，物体下落压缩弹簧时，由系统的机械能守恒得
Ep=5mgl
如图，根据能量守恒定律得
Ep=μmg•4l+
联立解得 vB=
物体P从B到D的过程，由机械能守恒定律得
mg•2l+
解得 vD=＞
所以物体P能到达D点，且物体P离开D点后做平抛运动，则有
2l=
x=vDt
解得
即落地点与B点间的距离为．
（2）P刚好过B点，有：Ep=μm1g•4l，解得 m1=m
P最多到C而不脱轨，则有 Ep=μm2g•4l+m2gl，解得 m2=m
所以满足条件的P的质量的取值范围为：m≤mP＜m．
随练1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力做功为－mgh，所以重力势能增加mgh，故A正确；
B、棋子在最高点具有水平方向的速度，所以机械能的增加量大于mgh，故B错误；
C、棋子离开平台后机械能守恒，设最高点的动能为EK1，距平台面高度为时动能为EK2，则，解得：，故C错误；
D、由最高点落到另一平台上时，由机械能守恒得：，所以，故D正确。
随练2、
【答案】 （1）摆线能承受的最大拉力为20N
（2）粗糙水平面摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125
【解析】 （1）当摆球由C到D运动，机械能守恒，则得：，
在D点，由牛顿第二定律可得：，
代入数据解得Fm＝20N．
（2）小球不脱圆轨道分两种情况：
①要保证小球能达到A孔，设小球到达A孔的速度恰好为零，
对小球从D到A的过程，由动能定理可得：
解得：μ1＝0.5
若进入A孔的速度较小，那么将会在圆心以下做等幅摆动，不脱离轨道．其临界情况为到达圆心等高处速度为零，由机械能守恒可得：，
由动能定理可得：，
解得：μ2＝0.35
②若小球能过圆轨道的最高点则不会脱离轨道，在圆周的最高点由牛顿第二定律可得：，
由动能定理可得：，
解得：μ3＝0.125
综上，所以摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125
多个物体的机械能守恒
例题1、
【答案】 C
【解析】 A、开始时弹簧处于原长，弹力为零。物体B对地压力恰好为零，故细线的拉力为2mg，故弹簧对A的拉力也等于2mg，可知弹簧对A的拉力先小于A的重力，后大于A的重力，所以物体A先处于失重状态，后处于超重状态，故A错误。
B、物体A即将落地时，A的速度恰好为零，物体B对地面恰好无压力，则知物体B一直处于平衡状态，故B错误。
C、对弹簧和A组成的系统，由机械能守恒得弹簧的弹性势能最大值Epm=mgh，故C正确。
D、物体A下落过程中，A的重力势能一直减小，由系统的机械能守恒知动能和弹簧的弹性势能之和一直增大，故D错误。
例题2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、因Mm之间有弹簧，故两物体受弹簧的弹力做功，机械能不守恒；故A错误；
B、M的重力分力为Mgsinθ＝mg；物体先做加速运动，当受力平衡时M速度达最大，则此时m受力为mg，故m恰好与地面间的作用力为零；故B正确；
C、从m开始运动至到M到达底部过程中，弹力的大小一直大于m的重力，故m一直做加速运动，M到达底部时，m的速度不为零；故C错误；
D、M恰好能到达挡板处，则此过程中重力对M做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体m的机械能增加量之和；故D正确。
例题3、
【答案】 （1）
（2）6︰5
（3）
【解析】 （1）松手前小球受力分析如图所示，由平衡得：
T1sin53°＝T2cos53°
F＋mg＝T1cos53°＋T2sin53°
且T1＝Mg
联立解得：
（2）小球运动到与A、B相同高度过程中，
小球上升高度为：h1＝3lsin53°
物块下降高度为：h2＝2l
整个过程系统机械能守恒，则有：mgh1＝Mgh2
联立解得：
（3）根据机械能守恒定律可知，小球向下运动到最低点即为小球回到起始点，设此时AC方向拉力为T，由牛顿第二定律得：
对物块：Mg－T＝Ma
对小球：T′－mgcos53°＝ma
根据牛顿第三定律可知：T′＝T
解得：
随练1、[多选题]
【答案】 B C D
【解析】 A、由题可知，M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，则在运动过程中AM为压缩状态，N点为伸长状态；小球向下运动的过程中弹簧的长度先减小后增大，则弹簧的弹性势能先增大，后减小，再增大，所以弹力对小球先做负功再做正功，最后再做负功．故A错误．
B、在运动过程中M点为压缩状态，N点为伸长状态，则由M到N有一状态弹力为0且此时弹力与杆不垂直，加速度为g；当弹簧与杆垂直时小球加速度为g．则有两处加速度为g．故B正确．
C、由图可知，弹簧长度最短时，弹簧与杆的方向相互垂直，则弹力的方向与运动的方向相互垂直，所以弹力对小球做功的功率为零，故C正确．
D、因M点与N点弹簧的弹力相等，所以弹簧的形变量相等，弹性势能相同，弹力对小球做的总功为零，则弹簧弹力对小球所做的正功等于小球克服弹簧弹力所做的功；小球向下运动的过程中只有重力做正功，所以小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差．故D正确．
随练2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、三球组成的系统在水平方向所受外力为零，系统在水平方向动量守恒，初状态系统在水平方向动量为零，由动量守恒定律可知，A球落地时系统水平方向动量为零，三球在水平方向速度都为零，从A开始下落，B、C两球在水平方向做加速运动，最终B、C的速度为零，由此可知，A先对B、C做正功、后做负功，B、C先对A做负功、后做正功，A的机械能先减小后增大，故A错误；
B、A落地时A、B、C在水平方向速度为零，正功过程系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：，解得：，A落地的瞬时速度为，故B正确；
CD、A球从静止开始下落，最终速度为零，A向下运动过程先加速后减速，系统先处于失重状态、后处于超重状态，B对地面的压力不是失重为、对地面的压力可能小于mg，故C错误，D正确。
随练3、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 A、由于弹簧一直处于压缩状态，故弹性势能一直减小，但没有减为零，故A错误；
B、除重力外其余力做的功等于物体机械能的增加量，故A对B做的功等于B机械能的增加量，故B正确；
C、由于AB整体和弹簧系统机械能守恒，故弹簧弹性势能的减小量等于A和B机械能的增加量，故C正确；
D、对物体A，重力、支持力、弹簧弹力、和B对A弹力的合力做的功等于动能的增加量，故重力和弹簧弹力做功的代数和不等于A动能的增加量，故D错误。
随练4、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、由于小环和重物只有重力做功，故系统机械能守恒，故A正确；
B、结合几何关系可知，重物上升的高度：，故B错误；
C、两个物体沿着绳子方向的分速度，故：v环cos45°＝vG，故环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为，故C错误；
D、小环和重物系统机械能守恒，故：；联立解得：
，故D正确。
实验：验证机械能守恒定律
验证机械能守恒定律
例题1、
【答案】 （1）D（2）D（3）mgh2；（4）BD
【解析】 （1）打点计时器的工作电源是交流电源，在实验中需要刻度尺测量纸带上点与点间的距离从而可知道重锤下降的距离，以及通过纸带上两点的距离，求出平均速度，从而可知瞬时速度．纸带上相邻两计时点的时间间隔已知，所以不需要秒表．重锤的质量可以不测．
（2）物体由静止开始自由下落过程中受到空气阻力和纸带与打点计时器的摩擦阻力作用，不是自由落体运动，v=gt，v=，都是自由落体运动的公式．若用这些公式进行分析，就不需要验证了，相当于用机械能守恒验证机械能守恒．下落的高度用刻度尺测量，瞬时速度用平均速度的方法计算．故ABC错误，D正确．
（3）从O点到F点的过程中，重物重力势能的减少量为：|△Ep|=mgh2，
F点的瞬时速度为：，
则动能的增加量为：．
（4）实验结果往往是重力势能的减少量略大于动能的增加量，这个误差是系统误差，无法避免，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力的影响来减小该误差
例题2、
【答案】 （1）A；F；0.86；0.81（2）由于空气阻力和纸带与打点计时器的摩擦阻力做功
【解析】 （1）实验中验证动能的增加量和重力势能的减小量是否相等，两边都有质量，可以约去，所以不需要测出重物和夹子的质量，故A不需要．
物体下落的时间可以通过打点计时器直接得出，不需要秒表测重物下落的时间，故F不需要．
①从O点下落到B点的过程中，重力势能的减少量△Ep=mgh=0.5×9.8×0.176J=0.86J．
②B点的速度=1.8m/s，则B点的动能=0.81J．
（2）第（1）问中①②计算结果不等的原因是由于空气阻力和纸带与打点计时器的摩擦阻力做功．
随练1、
【答案】 （1）B
（2）1.88；1.84
（3）A
【解析】 （1）因为通过某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度可以求出B点的速度，所以取图中O点到B点来验证机械能守恒定律。
（2）重物重力势能的减少量△Ep＝mg△h＝9.80×0.192＝1.88J。
B点的速度，则B点的动能．所以动能的增加量△Ek＝1.84J。
（3）根据得，，即与h成正比。故A正确。
随练2、
【答案】 ①AB间的高度差hAB
②1.30m／s
③两图象基本重合
【解析】 ①在该实验中，需验证动能的增加量和重力势能的减少是否相等，A、B两点的瞬时速度可以通过某段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度求出，所以还需测量A、B间的距离hAB
②根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，B点的瞬时速度
③因为图线a、b几乎重合，可知下降相同的高度，重力势能的减小量和动能的增加量近似相等，从而验证了机械能守恒。
机械能守恒定律的实验创新
例题1、
【答案】 （1）9.4
（2）；mgd
（3）C
【解析】 （1）宽度b的读数为：9mm+4×0.1mm=9.4mm；
（2）由于光电门的宽度b很小，所以我们用很短时间内的平均速度代替瞬时速度。
滑块通过光电门B速度为：vB=；
滑块从A处到达B处时m和M组成的系统动能增加量为：△Ek=（M+m）（）2=；
系统的重力势能减少量可表示为：△Ep=mgd；
比较△Ep和△Ek，若在实验误差允许的范围内相等，即可认为机械能是守恒的。
（3）A、若存在空气阻力的，则有△Ek总是略小于△Ep，故A错误；
B．滑块没有到达B点时钩码已经落地，拉力对滑块做的功会减小，△Ek应小于△Ep，故B错误；
C．将滑块左端与光电门B之间的距离作为d，钩码下落的高度算少了，△Ek将大于△Ep，故C正确。
D．将滑块右端与光电门B之间的距离作为d，钩码下落的高度算多了，△Ek将小于△Ep，故D错误。
例题2、
【答案】 （1）AD
（2）
（3）
（4）
【解析】 （1）A、根据实验原理可知，需要测量的是A点到光电门B的距离，故A正确；
B、根据机械能守恒的表达式可知，方程两边可以约掉质量，因此不需要测量质量，故B错误；
C、利用小球通过光电门的平均速度来代替瞬时速度，不需要测量下落时间，故C错误；
D、利用小球通过光电门的平均速度来代替瞬时速度时，需要知道挡光物体的尺寸，因此需要测量小球的直径，故D正确。
（2）已知经过光电门时的时间小球的直径；则可以由平均速度表示经过光电门时的速度；
故；
（3）若减小的重力势能等于增加的动能时，可以认为机械能守恒；
则有：mgH＝mv2；
即：
解得：，
那么该直线斜率。
（4）乙图线，
因存在阻力，则有：；
所以重物和纸带下落过程中所受平均阻力与重物所受重力的比值为；
随练1、
【答案】 （1）18.50
（2）最大值
（3）2mg（1－cosθ）＝F－mg
（4）AB
【解析】 （1）小球的直径d＝18mm＋10×0.05＝18.50mm
（2）球在最低点的速度最大，对应的拉力最大，为求出球在最低点的速度大小，应读取拉力的最大值。
（3）在最低点：…①
球从静止释放运动到最低点过程中，满足机械能守的关系式：mgr（1－cosθ）＝mv2…②
由①②解得：2mg（1－cosθ）＝F－mg
（4）A．细线要选择伸缩性小的，则A正确；
B．球尽量选择密度大的，则B正确；
C．要测出球的质量，不必测出细线的长度，则C错误；
D．用弹簧测力计不能准确读数力的最大值，则D错误。
随练2、
【答案】 （1）0.58；0.60；在误差允许的范围内，系统机械能守恒
（2）9.7
【解答】
（1）计数点5的瞬时速度，则系统动能的增加量，系统重力势能的减小量△Ep＝（m2﹣m1）gh＝（0.15﹣0.05）×10×（38.40＋21.60）×10﹣2J＝0.60J，可知，在误差允许的范围内，系统机械能守恒．
（2）根据系统机械能守恒得，，解得，则图线的斜率，解得g＝9.7m／s2．
【解析】 暂无解析
随练3、
【答案】 （1）②
（2）③错误，改为：摆锤置于A点，先点击“开始记录”，然后释放摆锤，然后，摆锤通过D点速度将自动记录在表格对应处；
⑤错误，改为：依次将光电门放在标尺盘的C、B点点，重复实验，得到相应数据
（3）②①⑦④③⑥⑤
（4）摆锤在运动过程中动能与势能相互转化，但机械能的总量基本保持不变
【解析】 （1）机械能守恒对应某一过程，根据实验可知：在左侧最高点的机械能与A点的机械能基本相等；
（2）实验步骤③错误，应该是：摆锤置于A点，先点击“开始记录”，然后释放摆锤，然后，摆锤通过D点速度将自动记录在表格对应处；
实验步骤⑤错误，应该是：依次将光电门放在标尺盘的C、B点点，重复实验，得到相应数据。
（3）实验时，要先安装实验器材，然后进行实验，再处理实验数据，即：卸下“定位挡片”和“小标尺盘”，安装光电门传感器，用来采集数据；再开启电源，运行软件；确定零势能点，然后输入相应的高度；开始点击“开始记录”，同时释放摆锤；更换光电门位置，重复实验；最后点击“数据计算”，计算D点的势能、动能和机械能，因此合理的实验步骤是：②①⑦④③⑥⑤；
（4）由实验可知：摆锤在运动过程中动能与势能相互转化，但机械能的总量基本保持不变。
拓展
1、[多选题]
【答案】 C D
【解析】 A、对小环而言，有弹簧弹力对其做功，故小环的机械能不守恒，是小环和弹簧的系统机械能守恒，故A错误；
B、弹簧的长度先缩短后伸长，故弹簧的弹性势能先增加后减小、最后再次增加，故B错误；
C、小环和弹簧的系统机械能守恒，系统重力势能在减小，而在最低点时重力势能最小，动能为零，故此时弹簧的弹性势能最大，为mgL，故C正确；
D、根据功的瞬时功率表达式P=Fvcosθ，要使得P为零，可能是F为零、v为零、或者cosθ为零，故除A、B两点外，弹簧弹力做功的瞬时功率为零还有两处，其中一处为弹力与速度垂直，一处为弹力为零，故D正确。
2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、当小球恰好C点时，有：
得：
小球离开C点后做平抛运动，则有，x＝vCt，联立得，所以小球只能落在平台MN上离A点距离的右侧任意一点。故A错误。
B、小球在运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，则其在D点的机械能等于P点的机械能，故B正确。
C、在B点，重力与速度垂直，重力的瞬时功率为零，所以小球从A运动到B的过程中，重力的功率先增大后减小，故C错误。
D、小球从D运动到的过程中，由机械能守恒得：
在B点，有：，联立得：．由牛顿第三定律知小球经过B点时对轨道的压力为．故D正确。
3、
【答案】 C
【解析】 A、弹簧为原长时，小球只受到重力和杆的支持力，它们的合力提供向心力，
则：mω12•l0cos30°＝mgtan30°
代入数据可得：，故A错误；
B、当杆的角速度为时，弹簧处于伸长状态，故B错误；
C、在杆的角速度增大的过程中，杆对小球做功，小球与弹簧所组成的系统机械能增加，故C正确；
D、在杆处于静止状态时，小球处于平衡状态，则：
在杆的角速度增大为时，
设弹簧的伸长量为△l，球受力如图所示，
则竖直方向：N•cosθ＝mg＋k△l
水平方向：Nsinθ＋k•△lcosθ＝mω22（l0＋△l）sinθ
联立得：△l＝0.5l0
小球的线速度：
所以小球增加的动能：，
小球增加的重力势能：，
由于当杆的角速度增大为时，弹簧的伸长量为，与开始时弹簧的压缩量相等，可知弹簧的形变量相同，则弹簧的弹性势能不变，所以小球的机械能增加量为：△E＝△EP＋△Ek＝mgl0，故D错误。
4、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 ABD、斜面光滑，则对整体分析可知，加速度a＝gsin30°＝10×0.5＝5m/s2，故此时AB间的杆没有弹力，故轻杆对A不做功，故A正确，B错误；
C、由于斜面光滑，系统只有重力做功，系统机械能守恒，故C正确；
D、由于AB两物体加速度相同，任意时刻A、B两物体速度相同，但重力大小不同，故重力的瞬时功率不同，故D错误。
5、
【答案】 （1）A固定不动时，A对B支持力的大小mgcosα；
（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小2xsin；
（3）A滑动的位移为x时的速度大小．
【解析】 （1）根据受力分析：重力、支持力与绳子的拉力，
结合力的平行四边形定则，及平衡条件与三角知识，
则斜面的支持力大小为：
N=mgcosα；
（2）撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动，根据运动的合成与分解，当A滑动的位移为x时，设B的位移大小s，依据几何关系有：
则有：sx=x（1﹣cosα）
sy=xsinα
且s=；
解得：s=x；
（3）因B的下降的高度为sy=xsinα；
根据系统只有重力做功，机械能守恒定律，则有：
mgsy=
如下图所示，画阴影部分的三角形相似，依据位移之比等于速度之比，
可得：
则有：vB=vA；
解得：vA=
6、
【答案】 （1）BC
（2）先释放纸带，后接通电源
（3）0.951
【解析】 （1）A、该图中的打点计时器为电磁打点计时器，使用的电源为4到6V交流电；故A错误；
B、为了让重物的运动接近自由落体，忽略阻力；重物应选择密度大体积小的物体；故B正确；
C、为了减小摩擦力，限位孔应在同一竖直线上；故C正确；
D、为使纸带方便穿入打点计时器，打点计时器的复写纸片应被压在纸带的上部，故D错误．
故选：BC
（2）测得第1、2两个点间的距离明显大于2mm，初速度不是从零开始的，造成这种现象的原因是先释放纸带后接通电源；
（3）重力势能的减小量为：△EP＝mgh＝0.5×9.8×19.41×10－2J≈0.951J。
7、
【答案】 （1）2.150；0.565
（2）mgh
（3）大于
【解析】 （1）小圆柱体的直径为：d＝2＋15×0.01＝2.150mm，
小圆柱体的长度为：a＝5＋13×0.05＝0.565cm。
（2）该实验需要验证重力势能的减小等于动能的增加其表达式为：，即mgh；
（3）若考虑小圆柱的长度则其下落高度要大于实验测得的高度，其生重力势能减少量要大于测算出的动能的增加量。
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