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高中物理高考 2023届高三物理一轮复习讲义 第07讲 曲线运动与平抛
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这是一份高中物理高考 2023届高三物理一轮复习讲义 第07讲 曲线运动与平抛，共44页。试卷主要包含了物体做曲线运动的条件，合力与轨迹的关系，合力分向与速率变化的关系等内容，欢迎下载使用。
第07讲 曲线运动与平抛
知识图谱
曲线运动的合成与分解
知识精讲
一．曲线运动
1．物体做曲线运动的条件
（1）运动学角度：物体加速度与速度不共线。
（2）动力学角度：物体所受合外力与速度不共线。
2．合力与轨迹的关系
无力不弯曲，弯曲必有力。合力方向总是指向轨迹的凹处。
3．合力分向与速率变化的关系
（1）当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变，只改变速度的方向；
（2）当合力方向与速度方向成锐角时，物体的速率增加；
（3）当合力方向与速度方向成钝角时，物体的速率减小。
v
F合
v
F合
v
F合
二．运动的合成与分解
1．分运动和合运动一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。
2．合运动与分运动关系
（1）等时性：各个分运动与合运动同时开始，同时结束，经历相同时间。
（2）独立性：一个物体参与的几个分运动独立进行，互不影响。
（3）等效性：各个分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
3．运动的合成与分解
（1）运动的合成：已知分运动求合运动，包括位移、速度和加速度。
（2）运动的分解：已知合运动求分运动，解题时应按实际效果分解，或正交分解。
（3）运动运算法则：运动的合成与分解是指描述运动各物理量即位移、速度、加速度的合成分解，由于它们均是矢量，故遵循平行四边形定则。
三．合运动的性质的判断
1．合加速度不为零
（1）加速度（合力）性质：合加速度不变，匀变速运动；合加速度变化，非变速运动。
（2）加速度（合力）方向与速度方向：共线，直线运动；不共线，曲线运动。
2．两个互成角度的合运动和分运动的判断
四．小船渡河问题
1．实际运动：船的实际运动是水流的运动和船相对于静水的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度（）；水流的速度（）；船的实际速度（）。
3．三种情景：
（1）若要小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图甲所示。
过河时间（d为河宽），此时小船一定在对岸下游处靠岸。
（2） 时，小船垂直河岸过河时，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图乙所示，此时过河时间 。
（3）如果 时，要使渡河位移最小，小船不能垂直河岸渡河。以水流速度的末端为圆心，小船在静水中速度大小为半径作圆，如图丙所示，渡河时间 。
五．“关联”速度问题
1.“关联速度”特点
用绳、杆相牵连的物体，在运动的过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相同。
2．思路和原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解，常见模型如下：
v
v物
三点剖析
一．课程目标
1．理解曲线运动的条件和特点
2．学会利用运动的合成和分解的规律分析小船过河和关联速度问题
曲线运动的理解
例题1、 一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）
A.速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变
B.速度一定在不断地改变，加速度可以不变
C.速度可以不变，加速度一定不断地改变
D.做曲线运动的物体的速度方向在时刻改变，所以曲线运动不可能是匀变速运动
例题2、 关于运动的合成与分解有以下说法，其中正确的是（ ）
A.两个直线运动的合位移一定比分位移大
B.力的合成与分解遵循平行四边形定则，而运动的合成与分解不遵循
C.两个分运动总是同时进行的
D.两个分运动间相互影响，不独立
例题3、[多选题] 一质量为m的质点以速度v0匀速直线运动，在t＝0时开始受到恒力F作用，速度大小先减小后增大，其最小值为v＝0.5v0，由此可判断（ ）
A.质点受力F作用后一定做匀变速曲线运动
B.质点受力F作用后可能做圆周运动
C.t＝0时恒力F与速度v0方向间的夹角为60°
D.时，质点速度最小
随练1、[多选题] 下面说法中正确的是（ ）
A.物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B.物体在变力作用下有可能做曲线运动
C.做曲线运动的物体，其速度方向与加速度的方向不在同一直线上
D.物体在变力作用下不可能做曲线运动
随练2、[多选题] 有一个质量为0.5kg的小球，在4个共点力作用下处于平衡状态，现同时撤去大小分别为3N和4N的两个力，其余的力保持不变，关于此后该物体的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A.可能做加速度大小为10m/s2的匀减速直线运动
B.可能做加速度大小为15m/s2的匀加速直线运动
C.可能做向心加速度大小为10m/s2的匀速圆周运动
D.可能做加速度大小为5m/s2的匀变速曲线运动
小船过河及类小船过河
例题1、 如图所示，小船以大小为v1、方向与上游河岸成θ的速度（在静水中的速度）从A处过河，经过t时间正好到达正对岸的B处．现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪一种（ ）
A.只要增大v1大小，不必改变θ角
B.只要增大θ角，不必改变v1大小
C.在增大v1的同时，也必须适当增大θ角
D.在增大v1的同时，也必须适当减小θ角
例题2、 民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（ ）
A.运动员放箭处离目标的距离为
B.运动员放箭处离目标的距离为
C.箭射到固定目标的最短时间为
D.箭射到固定目标的最短时间为
例题3、 某CS野战游乐园推出移动打靶项目，如图所示，靶心在Ⅰ轨道上以10m/s的速度匀速前进，t=0时刻，靶心在Ⅰ轨道A位置，游客乘坐的战车位于Ⅱ轨道上B处，AB水平距离L=25m，战车从静止开始以a=2m/s2沿直线向右做匀加速直线运动，战车上的彩弹枪在静止时发出的彩弹速度v=50m/s，Ⅰ、Ⅱ轨道的直线距离d=50m，欲使彩弹在发出后以最短的时间击中靶心，求
（1）发枪时间；
（2）击中靶心时战车的位移．
随练1、 河宽d=200m，水流速度v1=3m/s，船在静水中的速度v2=5m/s．求：
（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
绳、杆“关联”速度
例题1、[多选题] 如图所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动．则（ ）
A.小船的速度v2总小于汽车速度v1
B.汽车速度v1总小于小船的速度v2
C.如果汽车匀速前进，则小船加速前进
D.如果汽车匀速前进，则小船减速前进
例题2、 如图所示，AB杆以恒定角速度ω绕A点在竖直平面内转动，并带动套在固定水平杆OC上的小环M运动，AO间距离为h．运动开始时AB杆在竖直位置，则经过时间t（小环仍套在AB和OC杆上）小环M的速度大小为（ ）
A.
B.
C.ωh
D.ωhtan（ωt）
例题3、 如图所示，在水平面上小车A通过光滑的定滑轮用细绳拉一物块B，小车的速度为v1＝5m/s，当细绳与水平方向的夹角分别为30°和60°时，物块B的速度 v2 为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题4、 如图所示，用一小车通过轻绳提升一货物，某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端的绳与水平方向的夹角为θ，此时小车的速度为v0，则此时货物的速度为（ ）
A.v0
B.v0sinθ
C.v0cosθ
D.
例题5、 如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置用来提升重物 M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方0点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M．C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平（转过了90°角），此过程中下述说法正确的是（ ）
A.重物M做匀速直线运动
B.重物M做匀变速直线运动
C.重物M的最大速度是ωL
D.重物M的速度先减小后增大
随练1、[多选题] 在光滑的水平面上，一滑块的质量m＝2kg，在水平面上恒定外力F＝4N（方向未知）作用下运动，如图所示为滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5m／s，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角α＝37°，sin37°＝0.6，则下列说法正确的是（ ）
A.水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角
B.滑块从P到Q的时间为3s
C.滑块从P到Q的过程中速度最小值为4m／s
D.P、Q两点连线的距离为10m
随练2、 一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H．车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示。试求：
（1）车向左运动的加速度的大小；
（2）重物m在t时刻速度的大小。
平抛的基本规律
知识精讲
一．平抛运动
1．定义：将物体以一定的速度水平抛出，只在重力作用下的运动叫做平抛运动。
2．平抛运动的特点
（1）加速度的特点：加速度恒定。
（2）平抛运动速度变化的特点：任意两个相等的时间内，速度变化相同（）。
（3）水平和竖直位移的特点
水平：匀速；
竖直：连续相等的时间内，位移差不变（）。
3．平抛运动的规律
平抛运动可以分解为水平的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。实际上，在静电场中也有类似的情况，利用运动的合成和分解分析问题。平抛运动的规律如下：
（1）水平方向： ；；
（2）竖直方向： ；；
（3）合运动：
；
；
；；
（4）运动方程：
（5）重要推论
①做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处， 。其中为末速度与水平方向夹角，为位移与水平方向夹角。
二．类平抛运动
所谓类平抛就是受力特点与运动特点类似于平抛运动。
1．受力特点：合外力为恒力，且与初速度方向垂直。
2．运动特点：沿方向做匀速运动，沿合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动。
3．处理方法
（1）常规分解：沿初速度方向和垂直于初速度方向（即合外力方向）分解。
（2）特殊分解：过抛出点建适当的坐标系，将与向x、y分解，然后分别在x、y方向上列方程求解。
三点剖析
一．课程目标
1．理解平抛运动的研究方法和运动规律
落点在水平面、竖直面上
例题1、 如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则（ ）
A.a的飞行时间比b的长
B.b和c的飞行时间相同
C.a的水平初速度比b的大
D.b的水平初速度比c的小
例题2、 如图，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在O点对准前方的一块竖直放置的挡板，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别是v1、v2、v3，打在挡板上的位置分别是B、C、D，且AB︰BC︰CD＝1︰3︰5．则v1、v2、v3之间的正确关系是（ ）
A.v1︰v2︰v3＝6︰3︰2
B.v1︰v2︰v3＝5︰3︰1
C.v1︰v2︰v3＝3︰2︰1
D.v1︰v2︰v3＝9︰4︰1
例题3、 如图，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为（ ）
A.
B.
C.
D.
随练1、 如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别落到a、b、c三点，则三个物体运动的初速度va，vb，vc的关系和三个物体运动的时间ta，tb，tc的关系分别是（ ）
A.va＞vb＞vc，ta＞tb＞tc
B.va＜vb＜vc，ta＝tb＝tc
C.va＜vb＜vc，ta＞tb＞tc
D.va＞vb＞vc，ta＜tb＜tc
随练2、 如图所示，平板MN和PQ水平放置，O、M、P在同一竖直线上，且OM＝MP＝h，PQ长为h，MN明显比PQ短，从O点水平向右抛出一个小球，落在MN上反弹前后水平分速度不变，竖直方向分速度等大反向，结果小球刚好落在Q点，则小球从O点抛出的初速度为（ ）
A.
B.
C.
D.
与斜面相关的平抛运动
例题1、 如图所示，以20m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，物体完成这段飞行需要的时间是（g=10m/s2）（ ）
A.2s
B.s
C.s
D.0.2s
例题2、 如图所示，在倾角为θ的斜面上A点以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题3、[多选题] 如图所示，在光滑的固定斜面上有四个完全相同的小球1、2、3、4从顶端滑到底端，球1沿斜面从静止开始自由下滑；球2沿斜面上的光滑槽由静止开始下滑；球3以水平初速度v0沿斜面抛出，沿斜面运动；球4由静止开始沿斜面上的光滑槽运动，且槽的形状与球3的运动轨迹相同．关于小球在斜面上运动时间和到达底端速度的大小，下列说法正确的是（ ）
A.球3运动的时间与球4运动的时间相同
B.球2运动的时间大于球3运动的时间
C.球4到达底端速度的大小大于球1到达底端速度的大小
D.球3到达底端的速度最大
例题4、 如图所示，蜘蛛在地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°，A点到地面的距离为1m，已知重力加速度g取10m／s2，空气阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8m的C点以水平速度v0跳出，要到达蛛丝，水平速度v0至少为（ ）
A.1m／s
B.2m／s
C.2.5m／s
D.5m／s
随练1、[多选题] 横截面为直角三角形的两个相同斜面如图所示紧靠在一起，固定在水平面上，它们的倾角都是30°．小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其中三个小球的落点分别是a、b、c，已知落点a最低，落点c最高．图中三小球比较，下列判断正确的是（ ）
A.落在a点的小球的初速度最大
B.落在a点的小球飞行过程中速度的变化量最大
C.改变小球抛出时初速度大小，落在左边斜面时小球的瞬时速度方向不变
D.改变小球抛出时初速度大小，落在右边斜面时小球的瞬时速度方向可能与斜面垂直
随练2、 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用依山势特别建造的跳台进行的．运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆．这项运动极为壮观．设一位运动员由山坡顶的A点沿水平方向飞出，到山坡上的B点着陆．如图所示，已知运动员水平飞出的速度为v0=20m/s，山坡倾角为θ=37°，山坡可以看成一个斜面．（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）运动员在空中飞行的时间t
（2）运动员在B点着陆时的速度．
随练3、 如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，且ab＝bc＝cd，从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它正好落在斜面上的b点，若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上（ ）
A.c点
B.b与c之间的某一点
C.d点
D.c与d之间的某一点
平抛和斜抛的应用
知识精讲
一．斜抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动叫做斜抛运动。
2．斜上抛运动的规律
斜上抛运动的研究方法：斜抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
研究抛体问题，利用“化曲为直”的思想，根据运动的分解方法，把曲线运动分解为两个方向上的直线运动。
（1）水平方向： ；
；
（2）竖直方向： ；
；
3．斜抛运动的对称性
（1）轨迹对称：斜抛运动的轨迹为抛物线，关于过最高点的竖直线对称。
（2）速度对称：关于过最高点的竖直线对称的两点，速度大小相等，水平分速度相同，竖直分速度等大反向。
（3）时间对称：关于过最高点的竖直线对称的两段轨迹，上升和下降时间相等。
（4）实际中，由于空气的阻力，斜上抛的实际轨迹是一条不对称的弧形。
二．平抛运动中的临界问题
平抛运动受到某种条件的限制时就构成了平抛运动的临界问题，其限制条件一般有水平位移和竖直高度两种。求解这类问题的关键是确定临界轨迹，当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受竖直高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到竖直高度端点的一条抛物线。确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。
1．审题技巧
（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明运动的过程中存在着临界点。
（2）若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明运动的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
（3）若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明运动的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
2．解题技巧
（1）分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件。
（2）求解平抛运动中的临界问题的关键
①确定临界状态，确定临界状态一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来。
②确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来。
3．常见临界问题的情景
平抛运动与日常生活联系紧密，如排球（网球）运动模型、飞镖、射击、飞机投弹模型等，这些模型经常受到边界条件的制约，如排（网）球是否触网或越界、飞镖是否能击中靶心、飞机投弹是否能命中目标等，解题的关键是画出草图，寻找临界条件。此类试题题型全面，既有选择题，也有计算题，难度中等。
解题中用到了平抛规律的运动的分解与合成的思想：
三点剖析
一．课程目标
1．理解斜抛运动的运动规律
2．学会分析抛体运动中的临界问题
抛体运动中临界问题
例题1、 如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v（未知）沿垂直球网网面的方向击出，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视做平抛运动。求：
（1）球从击出至落地所用时间；
（2）球的速度v。
例题2、 在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g。
（1）若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
（2）求能被屏探测到的微粒的初速度范围。
例题3、 如图所示，民俗运动会中有一种掷飞镖游戏比赛项目，比赛中某选手站在靶的正前方手持飞镖将其水平掷出，飞镖出手瞬间的位置高出靶心O点，离靶面水平距离，若将飞镖在空中的运动看平抛运动，并且刚好击中靶心，飞镖可视为质点，求：
（1）飞镖的初速度大小；
（2）飞镖击中靶心前瞬间的速度大小和方向（用于水平方向所成的夹角的正切值来表示）；
（3）若飞镖击中以靶心为O圆心、半径的圆形范围内为有效成绩并得分，设飞镖每次水平掷点位置不变，且飞镖只在与靶面垂直的竖直面内的运动，则飞镖水平掷出的初速度大小在什么范围内时才可以得分？
例题4、 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h，不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
随练1、 如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在地面上N点处将S2球以初速度v2竖直向上抛出，在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力，则两球在这段过程中（ ）
A.做的都是变加速运动
B.速度变化量的大小不相等
C.速度变化量的方向不相同
D.相遇点在N点上方处
随练2、 如图所示，将一个小球从距离地面高外水平抛出，在抛出点正前方有一个高的障碍物，障碍物与抛出点的水平距离为．若小球刚好能越过障碍物，则（）
（1）障碍物最高点与抛出点的水平距离和竖直距离分别为多少？
（2）小球抛出的速度大小为多少？
（3）若小球刚好能越过障碍物，刚落地时小球的速度与地面的夹角为多少？
斜抛的运动规律
例题1、 从A发射攻击导弹打击B目标，发射初速度为v1，方向与水平面成α角，运动轨迹如图所示。当导弹到达最高点时，拦截导弹以初速度v2竖直向上发射，此时拦截导弹与攻击导弹的水平距离为x。若导弹发射后均做无动力飞行，不计空气阻力，且恰好拦截成功，下列关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
例题2、 如图所示，以速度v将小球沿与水平方向成θ＝37°角斜向上抛出，结果球刚好能垂直打在竖直的墙面上，球反弹后的速度方向水平，速度大小为碰撞前瞬间速度的倍，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，空气阻力不计，则反弹后小球的速度大小再次为v时，速度与水平方向夹角的正切值为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题3、 中央电视台综艺节目《加油向未来》中有一个橄榄球空中击剑游戏：宝剑从空中B点自由落下，同时橄榄球从A点以速度v0沿AB方向抛出，恰好在空中C点击中剑尖，不计空气阻力。下列说法正确的（ ）
A.橄榄球在空中运动的加速度大于宝剑下落的加速度
B.橄榄球若以小于v0的速度沿原方向抛出，一定能在C点下方击中剑尖
C.橄榄球若以大于v0的速度沿原方向抛出，一定能在C点上方击中剑尖
D.橄榄球无论以多大速度沿原方向抛出，都能击中剑尖
例题4、 如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不计空气阻力，若抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是（ ）
A.增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ
B.增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0
C.减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ
D.增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0
随练1、 斜抛运动与平抛运动相比较，正确的是（ ）
A.斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B.平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动
C.做变速直线运动的物体，加速度方向与运动方向相同，当加速度减小时，它的速度也减小
D.无论是平抛运动还是斜抛运动，在任意相等时间内的速度变化量都相等
随练2、[多选题] 一个质量为m的质点以速度v0做匀速直线运动，某时刻开始受到恒力F的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为．质点从受到恒力作用到速度减至最小值的过程（ ）
A.经历的时间为
B.经历的时间为
C.发生的位移为
D.发生的位移为
随练3、 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上的点的曲率圆定义为：通过点和曲线上紧邻点两侧的另外两点做一个圆．当邻近的另外两点无限接近点时，即在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，如图乙所示，则在其轨迹最高点处的曲率半径是（ ）
A.
B.
C.
D.
实验：研究平抛运动
知识精讲
一．描迹法研究平抛运动
1.实验原理
装置如图所示， 使小球做平抛运动，利用描迹法描绘小球的运动轨迹，建立坐标系，测出轨迹曲线上某一点的横坐标和纵坐标，由公式得到小球平抛的初速度：
。
2.实验器材
斜槽轨道、小球、木板、复写纸、白纸、图钉、铅垂线、直尺、铅笔、圆规。
3.实验步骤
（1）安装斜槽轨道，使其末端保持水平；
（2）固定木板上的坐标纸（和复写纸），使木板保持竖直状态；小球的运动轨迹与板面平行，坐标纸方格横线呈水平方向。
（3）以斜槽末端端口上小球位置为坐标原点(球心在木板上的投影)，过点在竖直方向画出轴，水平方向画出轴。
（4）安装一个可以接球的水平挡板，小球抛出后落在挡板上留下痕迹。让小球从斜槽上适当的高度由静止释放，重复步骤。
（5）用平滑的曲线连接各个记录点，得到平抛运动的轨迹。
（6）根据坐标，结合公式，求出小球的初速度，并计算平均值。
4. 注意事项
（1）应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直。
（2）钢球每次必须从斜槽上同一位置无初速度滚下，在斜槽上释放钢球的高度应适当，使钢球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。
（3）坐标原点（钢球做平抛运动的起点）不是槽口的端点，应是钢球在槽口时球的球心在木板上的水平投影点。
（4）计算初速度时，要在平抛轨迹上选取距点远些的点进行，以便测量和计算。
二．计算平抛运动初速度的方法
1.平抛轨迹完整（有抛出点）
x/cm
O
y/cm
以O点为坐标原点，用重锤线确定的方向为y轴，与y轴垂直的即为x轴，建立坐标系，并在曲线上选取几个不同的点，利用公式：和，计算出小球各个点的初速度v0，最后算出v0的平均值，并将有关数据记录下来。
2.平抛轨迹残缺
x/cm
O
y/cm
A
B
C
曲线上取三点A、B、C，使 ，如图所示，用刻度尺分别测 、 、 ， 平抛运动在水平方向上为匀速直线运动，则物体从A到B和从B到C运动时间相等，设为T；竖直方向由自由落体运动推论得 ,且 。
由上式得 。
三．探究平抛运动的其他方案
1．照相法得到物体平抛运动的轨迹
2．径迹法
四．探究平抛运动的规律
1．探究做平抛运动的物体在水平方向上的运动规律
（1）实验：如图所示的装置中，两个相同的弧形轨道上端分别装有电磁铁C、D，调节C、D的高度使。将小铁球P、Q分别吸在C、D上，然后切断电源，使球以相同的初速度分别同时从M、N的下端水平射出。
实验结果是两铁球相撞，只增加或者减小轨道M的高度再进行实验，结果两二球总是发生碰撞。
（2）分析：只改变轨道M的高度，相当于只改变P球平抛运动的竖直高度，发现P、Q两球总是相遇，即P球水平方向上的运动总是和Q完全相同。
（3）结论：做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动；平抛运动的各分运动具有独立性。
2．探究做平抛运动的物体在竖直方向上的运动规律
（1）实验：按图所示操作，小球A做平抛运动，同时松开小球B，使从孔中落下，做自由落体运动。
（2）分析：两小球每次都同时落地，说明两小球在空中运动的时间相等，也就说明了做平抛运动的物体在竖直方向上的分运动是自由落体运动。
（3）结论：做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动。
三点剖析
一．课程目标
1．探究平抛运动的规律，描绘出平抛运动物体的轨迹
2．了解不同方法探究平抛运动
研究平抛运动的基本实验
例题1、 用如图所示的装置研究平抛运动，在一块竖直放置的背景板上固定两个弧形轨道A、B，用于发射小铁球，从轨道A射出的小铁球做平抛运动，从轨道B射出的小铁球做匀速直线运动。此外，板上还装有三个电磁铁C、D、E，其中电磁铁C、D可分别沿轨道A、B移动。在轨道A出口处有一个碰撞开关S，用以控制电磁铁E的电源的通断，电磁铁E可以沿水平杆MN移动，当它吸上小铁球时，该小铁球的中心与从轨道A射出的小铁球的中心在同一水平线上。
（1）实验中，斜槽末端的切线必须是水平的，这样做的目的是________。
A．保证小铁球飞出时，速度既不太大，也不太小
B．保证小铁球飞出时，初速度水平
C．保证小铁球在空中运动的时间每次都相等
D．保证小铁球运动的轨道是一条抛物线
（2）若轨道A、B出口方向平行但略向下倾斜，将小铁球1从某高度释放，小铁球落在轨道B的P点，将电磁铁E移至P点正上方，将小铁球1和小铁球3同时释放，先到达P点的是________。
（3）若轨道A、B出口均水平，调节小铁球3的水平位置多次实验，发现小铁球1和小铁球3总是在空中相碰，则说明小铁球1在竖直方向上做________运动。
例题2、 （1）在做“研究平抛物体的运动”实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中不需要的是________．（写器材编号）
A．秒表 B．天平 C．白纸 D．重垂线 E．刻度尺
（2）在研究物体做平抛运动时，应通过多次实验确定若干个点，描绘出平抛运动的轨迹．在实验中的下列操作正确的是________．
A．实验中所用斜槽末端的切线必须调到水平
B．每次实验中小球必须由静止释放，初始位置不必相同
C．每次实验小球必须从斜槽的同一位置由静止释放，所用斜槽不必光滑
D．在实验时，尽量选用质量小一点的小球
（3）某同学用频闪照相法“研究平抛运动”的实验，根据实验结果在坐标纸上描出了小球水平抛出后的运动轨迹，但不慎将画有轨迹图线的坐标丢失了一部分，剩余部分如图所示，图中水平方向与竖直方向每小格的长度均代表5cm，A、B和C是轨迹图线上依次经过的3个点，如果取g＝10m／s2，那么：根据轨迹的坐标求出物体做平抛运动的初速度v0＝________m／s．若取A为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立直角坐标系，则小球做平抛运动的初位置坐标为：x＝________cm，y＝________cm．
随练1、 用图1所示的实验装置做“研究平抛运动”的实验。
（1）关于实验的操作要求，下列说法正确的是____________。
A．斜槽轨道必须光滑
B．斜槽轨道末端必须水平
C．应将小球每次从斜槽上相同的位置释放
D．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应多一些
（2）如图2所示为在坐标纸上描出的部分轨迹。坐标纸每小格的边长为l，P1、P2和P3是轨迹上的3个点。重力加速度为g。小球做平抛运动的初速度为____________。
随练2、 利用实验室的斜面小槽等器材装配如图甲所示的装置。钢球。从斜槽上滚下，经过水平槽飞出后做平抛运动。每次都使钢球在斜槽上同一位置滚下，通过多次实验，在竖直白纸上记录钢球所经过的多个位置，连起来就得到钢球做平抛运动的轨迹。
（l）实验过程中，要建立的直角坐标系，在图乙中，建系坐标原点选择正确的是（ ）
（2）某同学以（1）题中A图建立坐标系，在描出的平抛运动轨迹图上任取一点（x，y），求小球的初速度v0，这样测得的平抛初速度值与真实值相比，这位同学的结果________。（填“偏大”、“偏小”或“相等”）
（3）如图丙所示为一小球做平抛运动的轨迹上的三个点，图中背景方格的边长均为5cm。如果取g＝10m／s2，那么，小球做平抛运动的初速度的大小是________m／s。小球经过B点时的速度大小是________m／s
随练3、 （1）在做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次从同一高度释放沿同一轨道运动，通过描点法画出小球做平抛运动的轨迹。为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上________。
A．调节斜槽末端保持水平
B．每次释放小球的位置必须不同
C．每次必须由静止释放小球
D．小球运动时不应与木板上的白纸（或方格纸）相接触
E．将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
（2）如图所示，某同学在研究平抛运动的实验中，在小方格纸上画出小球做平抛运动的轨迹以后，又在轨迹上取出a、b、c、d四个点（轨迹已擦去）。已知小方格纸的边长L＝2.5cm。g取10m/s2．请你根据小方格纸上的信息，通过分析计算完成下面几个问题：
①根据水平位移，求出小球平抛运动的初速度v0＝________
②小球运动到b点的速度是________
③从抛出点到b点所经历的时间是________。
研究平抛运动的创新和改进
例题1、 如图所示，在探究平抛运动规律的实验中，用小锤打击弹性金属片，A球被金属片弹出做平抛运动，同时B球做自由落体运动．通过观察发现：A球在空中运动的时间________B球在空中运动的时间（选填“大于”、“等于”或“小于”）；增大两小球初始点到水平地面的高度，再进行上述操作，通过观察发现：A球在空中运动的时间________B球在空中运动的时间（选填“大于”、“等于”或“小于”）．
例题2、 如图所示，在研究物体做平抛运动时，让小球A沿曲面轨道滚下，离开轨道末端时（末端水平，小球A离开轨道时和小球B在同一高度），撞开接触式开关S（开关对小球的作用力可忽略不计），被电磁铁吸住的小球B同时自由下落。多次改变整个装置的高度H重复上述实验，发现A、B两球总是同时落地。该实验现象说明了A球在离开轨道后（ ）
A.水平方向的分运动是匀速直线运动
B.水平方向的分运动是匀加速直线运动
C.竖直方向的分运动是自由落体运动
D.竖直方向的分运动是匀速直线运动
例题3、 未来在一个未知星球上用如图甲所示装置研究平抛运动的规律．悬点O正下方P点处有水平放置的炽热电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断，小球由于惯性向前飞出做平抛运动．现对小球采用频闪数码照相机连续拍摄．在有坐标纸的背景屏前拍下了小球在做平抛运动过程中的多张照片，经合成后照片如图乙所示．a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知照相机连续拍照的时间间隔是0.10s，照片大小如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际背景屏的长度之比为1：4，则：
（1）由以上信息，可知a点________（选填“是”或“不是”）小球的抛出点；
（2）由以上信息，可以推算出该星球表面的重力加速度为________m/s2；
（3）由以上信息可以算出小球平抛的初速度是________m/s；
（4）由以上信息可以算出小球在b点时的速度是________m/s．
随练1、 如图所示，是两个研究平抛运动的演示实验装置，对于这两个演示实验的认识，下列说法正确的是（ ）
A.甲图中，两球同时落地，说明平抛小球在水平方向上做匀速运动
B.甲图中，两球同时落地，说明平抛小球在竖直方向上做自由落体运动
C.乙图中，两球恰能相遇，说明平抛小球在水平方向上做匀加速运动
D.乙图中，两球恰能相遇，说明平抛小球在水平方向上做自由落体运动
随练2、 某同学设计了一个研究平抛运动的实验。实验装置示意图如图1所示，A是一块平面木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽（图1中P0P0′、P1P1′…），槽间距离均为d。把覆盖复写纸的白纸铺贴在硬板B上。实验时依次将B板插入A板的各插槽中，每次让小球从斜轨的一同位置由静止释放。每打完一点后，把B板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离d。实验得到小球在白纸上打下的若干痕迹点，用平滑曲线连接各痕迹点就得到平抛的轨迹。
（1）实验前应对实验装置反复调节，直到斜轨、A板、插槽P0P0′垂直于斜轨并在斜轨末端正下方。每次让小球从同一位置由静止释放，是为了使小球每次做平抛运动的________。
（2）每次将B板向内侧平移距离d，是为了使记录纸上每两点之间的水平距离等于小球在________。
（3）如图2是该同学在实验中忘记记下小球做平抛运动的起点位置O，A为物体运动一段时间后的位置，根据图中所示平抛运动的部分轨迹，求出物体做平抛运动的初速度为________m／s。
拓展
1、 关于曲线运动，下列说法正确的有（ ）
A.做曲线运动的物体速度方向在时刻改变，故曲线运动是变速运动
B.做曲线运动的物体，受到的合外力方向在不断改变
C.只要物体做圆周运动，它所受的合外力一定指向圆心
D.物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动
2、 在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1（且v1＞v2），方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船（ ）
A.最短渡河时间为
B.最短渡河位移为不可能为d
C.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水速无关
D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关
3、[多选题] 小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则（ ）
A.越接近河岸水流速度越小
B.越接近河岸水流速度越大
C.无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短
D.该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
4、[多选题] 如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时（ ）
A.人拉绳行走的速度为
B.人拉绳行走的速度为vcosθ
C.船的加速度为
D.船的加速度为
5、 如图所示，沿竖直杆以速度v匀速下滑的物体A通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是（ ）
A.物体B向右匀速运动
B.物体B向右匀加速运动
C.物体B向右做变加速运动
D.物体B向右做减速运动
6、[多选题] 在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑细杆AB的两个端点A、B被分别约束在x轴和y轴上运动，现让A沿x轴正方向以速度匀速运动，已知杆AB与x轴的夹角为且P点为杆的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.P点的运动轨迹是一段圆弧
B.P点的运动轨迹是抛物线的一部分
C.P点的运动速度大小，方向沿杆P指向A
D.P点的运动速度大小，方向不一定沿杆
7、[多选题] A、B两球质量分别为mA、mB，距地面的高度分别为H、h．现以大小相同的速度v0同时水平抛出，如图所示，P点为轨迹交点．已知mA＜mB、H＞h，不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）
A.A球水平射程大于B球水平射程
B.A球先经过P点
C.两球在P点相遇
D.经过P点时，A球速度大于B球速度
8、[多选题] 2016年7月18日，我国空军组织了航空兵赴南海战斗巡航，此次赴南海例行性战斗巡航，紧贴使命任务和实战准备，轰﹣6K和歼击机、侦察机、空中加油机等遂行战巡任务，以空中侦察、对抗空战和岛礁巡航为主要样式组织行动，达成了战斗巡航目的，如图所示，假若以速度v1在高空水平匀速直线飞行的轰炸机，追击黄岩岛附近某处敌舰以速度v2同向匀速航行的敌舰，第一次投弹时，在敌舰的前方爆炸，若再次处在相同的相对位置，欲投弹击中敌舰，你认为应作出的合理调整为（不计空气阻力）( )
A.适当减小轰炸机初速度，抛出点高度不变
B.适当增大轰炸机初速度，抛出点高度不变
C.轰炸机初速度不变，适当降低投弹的高度
D.轰炸机初速度不变，适当提高投弹的高度
9、 在民航业内，一直有“黑色10分钟”的说法，即从全球已发生的飞机事故统计数据来看，大多数的航班事故发生在飞机起飞阶段的3分钟和着陆阶段的7分钟。飞机安全事故虽然可怕，但只要沉着冷静，充分利用逃生设备，逃生成功概率相当高，飞机失事后的90秒内是逃生的黄金时间。如图为飞机逃生用的充气滑梯，滑梯可视为理想斜面，已知斜面长L＝8m，斜面倾斜角θ＝37°，人下滑时与充气滑梯间动摩擦因数为μ＝0.5．不计空气阻力，g＝10m／s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，．求：
（1）旅客从静止开始由滑梯顶端滑到底端逃生，需要多长时间？
（2）一旅客若以v0＝4.0m／s的初速度抱头从舱门处水平逃生，当他落到充气滑梯上后没有反弹，由于有能量损失，结果他以v＝4.0m／s的速度开始沿着滑梯加速下滑。该旅客以这种方式逃生与（1）问中逃生方式相比，节约了多长时间？
10、 （2014河北衡水冀州中学高三上期中）如图所示，一平板AB可以绕端点B在竖直面内转动，在板的A端沿水平方向抛出一小球，结果小球刚好落在B端，板长为L，要保证改变平板的倾角θ后，小球水平抛出后仍能到达B端，则小球的初速度v0与板的倾角θ（0°＜θ＜90°）之间关系应满足（ ）
A.v0=cosθ
B.v0=
C.v0=
D.v0=
11、 如图所示。轰炸机沿水平方向以v匀速飞行。到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹垂直击中山坡上的目A．已知轰炸机距山坡底端的高度为h，炸弹在下落过程中所受空气阻力忽略不计，当地重力加速度为g．求炸弹离开轰炸机后在空中飞行的时间。
12、 一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出，第一只球落在自己一方场地的B点，弹跳起来后，刚好擦网而过，也落在对方场地的A点，第2只球直接擦网而过，也落在A点，如图所示。设球与地面的碰撞过程没有能量损失，其运动过程不计空气阻力，则第一个球与第二个球飞过球网C处时水平速度大小之比为（ ）
A.1：1
B.1：3
C.3：1
D.1：9
13、[多选题] 甲、乙、丙三个小球分别位于如图所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，水平面上的P点在丙的正下方，在同一时刻甲、乙、丙开始运动，甲以水平速度v0做平抛运动，乙以水平速度v0沿水平面向右做匀速直线运动，丙做自由落体运动，则（ ）
A.无论速度v0大小如何，甲、乙、丙三球一定会同时在P点相遇
B.若甲、乙、丙三球同时相遇，则一定发生在P点
C.若只有甲、丙两球在空中相遇，此时乙球一定在P点
D.若只有甲、乙两球在水平面上相遇，此时丙球一定落在相遇点的右侧
14、 在高为h的A处，与水平方向成θ角斜向上抛出一物体，（不计空气阻力），下列说法中正确的是（ ）
A.最高点速度为零
B.初速度大小相同时抛射角θ越小，水平射程越大
C.初速度大小相同时抛射角θ越大，射高越大
D.抛射角θ相同时，初速度越大，水平射程不一定越大
15、[多选题] 在某一高度处将A球以大小为v1的初速度水平抛出．同时在A球正下方地面处将B球以大小为v2的初速度斜向上抛出．结果在B球上升至最高点时两球恰在空中相遇，相遇时两球的速度大小分别为vA、vB，不计空气阻力．则（ ）
A.v1＞v2
B.v1＜v2
C.vA＞vB
D.vA＜vB
16、 图1是“研究平抛物体运动“的实验装置图，通过描点画出平抛小球的运动轨迹．
（1）以下是实验过程中的一些做法，其中合理的有________
a．安装斜槽轨道，使其末端保持水平
b．每次小球释放的初始位置可以任意选择
c．每次小球应从同一高度由静止释放
d．为描出小球的运动轨迹，描绘的点可以用拆线连接
（2）实验得到平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点O为坐标原点，测量它们的水平坐标x和竖直坐标y，图2中y－x2图象能说明平抛小球运动轨迹为抛物线的是________．
17、[多选题] 在探究平抛运动的规律时，可以选用图中所示的各种装置图，以下操作合理的是（ ）
A.选用装置1研究平抛物体竖直分运动，应该用眼睛看A、B两球是否同时落地
B.选用装置2时，要获得稳定的细水柱所显示的平抛轨迹，竖直管上端A一定要低于水面
C.选用装置3时，要获得钢球的平抛轨迹，每次不一定要从斜槽上同一位置由静止释放钢球
D.除上述装置外，也能用数码照相机拍摄钢球做平抛运动的每秒十几帧至几十帧的照片，获得平抛轨迹
18、 如图甲所示，水平桌面上固定有一位于竖直平面内的弧形轨道A，其下端的切线是水平的，轨道的厚度可忽略不计。将小铁块B（视为质点）从轨道的固定挡板处由静止释放，小铁块沿轨道下滑，最终落到水平地面上。
（1）若测得轨道末端距离水平地面的高度为h，小铁块从轨道飞出到落地的水平位移为x。已知当地的重力加速度为g，则小铁块从轨道末端飞出时的速度v0＝________。
（2）若在竖直木板上固定一张坐标纸（如图乙所示），并建立直角坐标系xoy，使坐标原点O与轨道槽口末端重合，y轴与重垂线重合，x轴水平，实验中使小铁块每次都从固定挡板处由静止释放并沿轨道水平抛出，然后落到紧挨竖直木板放置的水平挡板上。依次下移水平挡板的位置，分别得到小铁块在水平挡板上的多个落点，在坐标纸上标出相应的点迹，再用平滑曲线将这些点迹连成小铁块的运动轨迹，在轨迹上取一些点得到相应的坐标（x1．y1）、（x2．y2）、（x3．y3）……利用这些数据，在以y为纵轴、x2为横轴的平面直角坐标系中做出y－x2的图线，可得到一条过原点的直线，测得该直线的斜率为k，则小铁块从轨道末端飞出的速度v0＝________。（用字母k、g表示）
（3）为减小误差，以下方法正确的是________（只有一个选项正确）
A．弧形轨道越光滑越好
B．木板面应与小铁块平抛运动的轨迹平面平行
C．从木板上取下坐标纸前，只须在坐标纸上记录O点
D．轨道下端的切线不必水平
答案解析
曲线运动的合成与分解
曲线运动的理解
例题1、
【答案】 B
【解析】 A、B、C、既然是曲线运动，它的速度的方向必定是改变的，那么速度也就一定在变化，加速度可以不变。所以AC错误，B正确；
D、曲线运动可能是匀变速运动，如平抛运动。故D错误。
例题2、
【答案】 C
【解析】 两个分位移与合位移遵循平行四边形定则（或者三角形定则），在位移三角形中，表示合位移的那条边不一定最大，A错误；力的合成与分解遵循平行四边形定则，运动的合成与分解也遵循平行四边形定则，B错误；分运动具有等时性，两个分运动总是同时进行的，故C正确；分运动具有独立性，两个分运动间相互不影响，D错误．
例题3、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、在t＝0时开始受到恒力F作用，加速度不变，做匀变速运动，若做匀变速直线运动，则最小速度可以为零，所以质点受力F作用后一定做匀变速曲线运动，故A正确；
B、物体在恒力作用下不可能做圆周运动，故B错误；
C、设恒力与初速度之间的夹角是θ，最小速度：v1＝v0sinθ＝0.5v0
可知初速度与恒力的夹角为钝角，所以是150°，故C错误；
D、在沿恒力方向上有：，
解得：，故D正确。
随练1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 A、物体在恒力作用下可能做曲线运动，如：平抛运动，故A错误；
B、当合力与速度不在同一条直线上时，物体做曲线运动，合外力可以变化，也可以不变，故B正确，D错误；
C、当合力与速度不在同一条直线上时，即其速度方向与加速度方向不在同一条直线上，故C正确；
随练2、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 由平衡条件得知，余下力的合力与撤去的两个力的合力大小相等、方向相反，则撤去大小分别为3N和4N的两个力后，物体的合力大小范围为1N≤F合≤7N，物体的加速度范围为：2m/s2≤a≤14m/s2；
A．撤去两个力后，可能做加速度大小为10m/s2的匀减速直线运动，故A正确；
B．撤去两个力后，加速度不可能为15m/s2，故B错误
C．匀速圆周运动的合外力是个变力，所以不可能做匀速圆周运动，故C错误；
D．若物体原来做匀速直线运动，撤去的两个力的合力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做匀变速曲线运动，加速度大小可能是5m/s2，故D正确．
小船过河及类小船过河
例题1、
【答案】 C
【解析】 A、若只增大υ1大小，不必改变θ角，则船在水流方向的分速度增大，因此船不可能垂直达到对岸，故A错误；
B、若只增大θ角，不必改变υ1大小，同理可知，水流方向的分速度在减小，而垂直河岸的分速度在增大，船不可能垂直到达对岸，故B错误；
C、若在增大υ1的同时，也必须适当增大θ角，这样才能保证水流方向的分速度不变，而垂直河岸的分速度在增大，则船还能垂直达到对岸，且时间更短，故C正确；
D、若增大υ1的同时，也必须适当减小θ角，则水流方向的分速度增大，不能垂直到达对岸，故D错误．
例题2、
【答案】 C
【解析】 A、最短时间为，则箭在沿马运行方向上的位移为：，
所以放箭处距离目标的距离为：，故A、B错误；
C、当放出的箭垂直于马运行方向发射，此时运行时间最短，所以最短时间＝，故C正确，D错误。
例题3、
【答案】 （1）发枪时间3s或 5s；
（2）击中靶心时战车的位移16m或36m．
【解析】 （1）将彩弹的运动分解为水平方向和垂直于轨道方向，
若要最短时间击中，则彩弹要垂直战车的速度方向，
那么最短时间tmin==1s；
设从静止开始经过t时间发枪，则有：L+ +at×1=v靶（t+1）
代入数据，解得：t=3s或 5s；
（2）根据运动学公式，击中靶心时战车的位移为x=
代入数据，解得：x=16m或36m
随练1、
【答案】 （1）欲使船渡河时间最短，船垂直河岸；最短时间为40s；船经过的位移大小为40m（2）欲使船航行距离最短，船航行速度与河岸所成角的余弦值为（或53°），渡河时间50 s．
【解析】 （1）船头垂直于河岸航行时所用时间最短，此种情况渡河时间为t1==s=40s；
此时船沿河岸方向的位移为x=v1t1=3×40m=120；那么船经过的位移大小为s===40m；（2）渡河位移最短，船头要偏向上游，设于河岸夹角为θ，则有v1=v2cosθ，由几何关系，则有：sinθ===；因此解得：θ=53°；
此时渡河时间为t2==s=50s；
答：（1）欲使船渡河时间最短，船垂直河岸，最短时间为40s，船经过的位移大小为40m；
（2）欲使船航行距离最短，船航行速度与河岸所成角的余弦值为（或53°），渡河时间50 s．
绳、杆“关联”速度
例题1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 船的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有v船cosθ＝v，则。
A、由上可知，汽车速度v1总小于小船的速度v2，故A错误，B正确；
C、如果汽车匀速前进，随着夹角θ在增大，则小船加速前进，故C正确，D错误；
例题2、
【答案】 A
【解析】 经过时间t，角OAB为ωt，则AM的长度为，则AB杆上M点绕A点的线速度v=．将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆上分速度等于M点绕A点的线速度v，则小环M的速度为：v′==．故A正确，B、C、D错误．
例题3、
【答案】 B
【解析】 对小车A的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则沿着绳子方向的速度大小为v1cos30°；
对B物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为v2cos60°，
由于沿着绳子方向速度大小相等，所以则有v1cos30°＝v2cos60°，因此。故B正确。
例题4、
【答案】 A
【解析】 车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有v0cosθ＝v绳，而货物的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度．则有v货cosα＝v绳；由于两绳子相互垂直，所以α＝θ，则由以上两式可得，货物的速度就等于小车的速度．
例题5、
【答案】 C
【解析】 设C点线速度方向与绳子沿线的夹角为θ（锐角），由题知C点的线速度为ωL，该线速度在绳子方向上的分速度就为ωLcosθ．θ的变化规律是开始最大（90°）然后逐渐变小，所以，ωLcosθ逐渐变大，直至绳子和杆垂直，θ变为零度，绳子的速度变为最大，为ωL；然后，θ又逐渐增大，ωLcosθ逐渐变小，绳子的速度变慢．所以知重物的速度先增大后减小，最大速度为ωL．故C正确，A、B、D错误．
随练1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 AC、在P、Q两点的速度具有对称性，故分解为沿着PQ方向和垂直PQ方向，在沿着PQ方向上做匀速直线运动，在垂直PQ方向上做匀变速直线运动，所以力F垂直PQ向下，在顶点处速度最小，只剩下沿着PQ方向的速度，故有：vmin＝vPcos37°＝4m／s，故A错误，C正确；
BD、把P点的速度分解在沿水平力F和垂直水平力F两个方向上，沿水平力F方向上滑块先做匀减速后做匀加速直线运动，有，当F方向速度为零时，时间为：，根据对称性，滑块从P到Q的时间为：t'＝2t＝3s，PQ连线的距离为S＝vpcos37°•t＝12m，故B正确，D错误。
随练2、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）小车做匀加速直线运动，由匀变速直线运动的位移公式得：
解得：；
（2）图示时刻小车速度为：，
将小车B位置的速度沿着平行绳子和垂直绳子方向正交分解，如图所示
根据平行四边形定则，有：，
重物速度：；
平抛的基本规律
落点在水平面、竖直面上
例题1、
【答案】 B C
【解析】 AB、根据得：平抛运动的时间．则知，b、c的高度相同，大于a的高度，可知a的飞行时间小于b的时间，b、c的运动时间相同，故A错误，B正确；
C、a、b相比较，因为a的飞行时间短，但是水平位移大，根据x＝v0t知，a的水平初速度大于b的水平初速度。故C正确；
D、b、c的运动时间相同，b的水平位移大于c的水平位移，根据x＝v0t知，b的初速度大于c的初速度。故D错误。
例题2、
【答案】 A
【解析】 忽略空气阻力，则小球被抛出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据，解得：
所以三次小球运动的时间比，
小球的水平位移相等，由可得，速度之比：；
例题3、
【答案】 C
【解析】 小球做平抛运动，在飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则知速度与水平方向的夹角为30°，则有：vy=v0tan30°
又 vy=gt，则得：
v0tan30°=gt，t=①
水平方向上小球做匀速直线运动，则有：
R+Rcos60°=v0t ②
联立①②解得：v0=．
随练1、
【答案】 C
【解析】 三个物体都做平抛运动，在竖直方向上是自由落体运动，
由
可知下落的距离最大的物体的运动时间最长，
所以运动时间的关系为ta＞tb＞tc，
以C点所在的平面为水平面，画一条水平线，如图所示，
从图中可以看出三个球的竖直位移相同，所以它们的运动时间t相同，
由X＝V0t可知，水平位移大的物体的初速度大，
所以初速度的关系为vc＞vb＞va。
随练2、
【答案】 D
【解析】 小球的运动轨迹如图所示，由图可知，O到A的时间和A到B的时间相等，
由B到Q的时间为：
则运动的总时间
小球平抛运动的初速度为：，故D正确，ABC错误。
与斜面相关的平抛运动
例题1、
【答案】 A
【解析】 小球撞在斜面上的速度与斜面垂直，将该速度分解，如图．
则tan60°=，
则vy=v0tan60°=gt，所以t=．
例题2、
【答案】 B
【解析】 设AB之间的距离为L，
则：水平方向：Lcosθ=V0t
竖直方向：Lsinθ=
联立解得：t=
例题3、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、分析各球沿1运动轨迹方向的力可知，1、3两球沿1运动轨迹方向的加速度相同且大于2、4两球沿1运动轨迹方向的加速度，所以3运动的时间小于2、4运动的时间，故A错误、B正确；
C、各小球运动过程中的机械能均守恒，则1、2、4球到达底部时的速度大小相等且小于3球的速度，故C错误、D正确．
故选：BD．
例题4、
【答案】 B
【解析】 蜘蛛的运动轨迹如下所示：
AC之间的距离为：1m－0.8m＝0.2m，由图可知：
x＝y＋0.2m…①
根据平抛运动规律有：
x＝v0t…②
…③
因合速度方向与水平夹角为45°，则有：gt＝v0，④
联立①②③④解得：v0＝2m／s，故ACD错误，B正确。
随练1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 A、三个小球做的都是平抛运动，从图中可以发现落在c点的小球下落的高度最小，水平位移最大，由，可知，，所以落在c点的小球飞行时间最短，
由x＝v0t知：落在c点的小球的初速度最大，故A错误；
B、小球做的是平抛运动，加速度都是g，速度的变化量为△v＝at＝gt，所以，运动的时间长的小球速度变化量的大，所以a球的速度变化量最大，故B正确；
C、设左侧斜面的倾角为α，小球落在左边斜面上时，有，得
设落在左边斜面时小球的瞬时速度方向与水平方向的夹角为β．则，所以β是一定的，故落在左边斜面时小球的瞬时速度方向不变，故C正确；
D、对于落在b、c两点的小球，竖直速度是gt，水平速度是v，然后斜面的夹角是arctan0.5，要合速度垂直斜面，把两个速度合成后，需要，即v＝0.5gt，那么在经过t时间的时候，竖直位移为0.5gt2，水平位移为vt＝（0.5gt）•t＝0.5gt2 即若要满足这个关系，需要水平位移和竖直位移都是一样的，显然在图中b、c是不可能完成的，因为在b、c上水平位移必定大于竖直位移，所以落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直，故D错误。
随练2、
【答案】 （1）3s（2）m/s
【解析】 （1）运动员由A到B做平抛运动
水平方向的位移：x=v0t
竖直方向的位移：y=gt2
根据几何关系，有：
联立解得：
t==3s
（2）在B点着陆时的竖直速度：
vy=gt=10×3=30m/s
根据运动的合成，在B点着陆时的速度：
m/s
与初速度方向之间的夹角φ应满足：
随练3、
【答案】 B
【解析】 过b做一条与水平面平行的一条直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v水平抛出时，小球落在水平面上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在我们所画水平线上c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。
平抛和斜抛的应用
抛体运动中临界问题
例题1、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）球在空中做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，则有：
解得，球从击出至落地所用时间为：
（2）球在水平方向上做匀速直线运动，则有：L＝vt
解得，球的速度为：。
例题2、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）对打在中点的微粒有：
可得：
（2）打在B点的微粒：，
可得：
同理，打在A点的微粒初速度：
微粒初速度范围：
例题3、
【答案】 （1）10m／s
（2）；0.2
（3）
【解析】 （1）由平抛运动竖直方向：，得到
水平方向：，得到：；
（2）竖直速度：
合速度：，方向：
（3）水平方向：
落在最上端，竖直方向：，又因为
得到：
初速度
竖直方向：，得到：
初速度
故速度范围为：
例题4、
【答案】 D
【解析】 若球与网恰好不相碰，根据3h﹣h=得，，水平位移的最小值，则最小速度．
若球与球台边缘相碰，根据3h=得，，水平位移的最大值为xmax=，则最大速度，故D正确，A、B、C错误．
故选：D．
随练1、
【答案】 D
【解析】 A、由于两个球都只受到重力的作用，加速度都是g，加速度恒定不变，都是匀变速运动，故A错误。
BC、两个球的加速度都是重力加速度g，由△v＝at＝gt，知它们速度的变化量相同，即速度变化量的大小相等，方向相同，方向都竖直向下，故BC错误。
D、相遇时竖直方向有：
得：
由于相遇点在S2球上升的最高点，所以有：
联立得：
相遇时S2球的位移为：，即相遇点在N点上方处，故D正确。
随练2、
【答案】 （1）；
（2）
（3）；
【解析】 （1）依据几何关系，水平距离．
竖直距离．
（2）从抛出到障碍物上方，方向：，方向：，
由以上两式得．
（3）从抛出到落地：方向：，落地速度：．
可以知道小球落地速度为：．
依据平抛运动，，解得水平位移．
依据运动学公式．解得．故与竖直方向的夹角为，，故．
斜抛的运动规律
例题1、
【答案】 A
【解析】 导弹到达最高点时，速度大小为v1cosα，此时高度
从最高点时开始计时，相遇时导弹运行的时间，
在这段时间内导弹在竖直方向上的位移，
拦截导弹在这段时间内向上的位移：，
则：H＝h1＋h2＝v2t，
所以：，故A正确、BCD错误。
例题2、
【答案】 B
【解析】 采用逆向思维，小球做斜抛运动看成是平抛运动的逆反运动，将抛出速度沿水平和竖直方向分解，有：
球撞墙前瞬间的速度等于0.8V，反弹速度大小为：
反弹后小球做平抛运动，当小球的速度大小再次为V时，竖直速度为：
速度方向与水平方向的正切值为：，故B正确，ACD错误。
例题3、
【答案】 C
【解析】 A、橄榄球在空中运动的加速度等于宝剑下落的加速度，均等于重力加速度g，故A错误；
B、若以小于v0的速度沿原方向抛出，若速度过小，则橄榄球可能不能运动到球的正下方就落地了，故不一定能在C点下方击中剑尖，故B错误；
C、若以大于v0的速度沿原方向抛出，则水平方向的速度增大，运动到相遇点的时间减小，橄榄球相同时间下降的高度减小，一定能在C点上方击中剑尖，故C正确；
D、若抛出的速度太小，可能橄榄球不会与剑尖相遇，故D错误。
例题4、
【答案】 B
【解析】 由于篮球垂直击中A点，其逆过程是平抛运动，
当水平速度越大时，抛出后落地速度越大，与水平面的夹角则越小。
若水平速度减小，则落地速度变小，但与水平面的夹角变大。
因此只有增大抛射角，同时减小抛出速度，才能仍垂直打到篮板上。
所以只有B正确，ACD均错误。
随练1、
【答案】 D
【解析】 A．斜抛运动和平抛运动都是只受重力作用，加速度恒为g的匀速曲线运动，故A错误；
B．平抛运动的速度一直增大，斜抛运动的速度是增大还是减小，要看速度与重力的夹角，成锐角，速度增大；成钝角，速度减小．斜下抛运动也是速度增大的运动，故B错误；
C．变速直线运动的物体，加速度和运动方向相同时，物体做匀加速度直线运动，当加速度减小时，物体仍然加速，故C错误；
D．根据加速度的定义式知，速度的变化量，g一定，所以在相等的时间内速度的变化都相等，所以D选项是正确的．
随练2、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 暂无解析
随练3、
【答案】 D
【解析】 在最高点．依据牛二定律即．
故曲率半径为．故D正确，ABC错误．
实验：研究平抛运动
研究平抛运动的基本实验
例题1、
【答案】 （1）B
（2）小铁球1
（3）自由落体
【解析】 （1）斜槽末端必须切线水平，这样做的目的是保证小球飞出时，初速度水平，故选：B。
（2）将斜槽出口略向下倾斜，则小球1离开槽口后有向下的分速度，而小球3的初速度为零，则小铁球1先达到P点。
（3）若轨道A、B出口均水平，调节小铁球3的水平位置多次实验，发现小铁球1和小铁球3总是在空中相碰，可知小铁球1在竖直方向上的运动规律与小铁球3相同，即小铁球1在竖直方向上做自由落体运动。
例题2、
【答案】 （1）AB
（2）AC
（3）1.5；-15；－5
【解析】 （1）实验中不需要测量小球的质量，所以不需要天平，运动的时间可以根据竖直位移求出，不需要秒表，故不需要的器材为：AB．
（2）A、为了保证小球平抛运动的初速度水平，实验中所用斜槽末端的切线必须调到水平，故A正确．
BC、为了保证小球的初速度大小相等，每次让小球从斜槽的同一位置由静止释放，轨道不一定需要光滑，故B错误，C正确．
D、实验中，为了减小空气阻力的影响，选择质量大一点的小球，故D错误．
（3）在竖直方向上，根据△y＝2L＝gT2得，相等的时间间隔，则平抛运动的初速度．
B点的竖直分速度，则抛出点到B点的运动时间，
抛出点到B点的水平位移xB＝v0t＝1.5×0.2m＝0.3m＝30cm，则初位置的横坐标x＝15－30cm＝－15cm．
抛出点到B点的竖直位移，则初位置的纵坐标y＝15－20cm＝－5cm．
随练1、
【答案】 BCD；
【解析】 （1）A、小球在运动中摩擦力每次都相同，故不需光滑，故A错误；
B、为了保证小球做平抛运动，斜槽末端必须水平，故B正确；
C、而为了让小球每次做同样的平抛运动，小球每次应从同一位置滚下，故C正确；
D、为了得出更符合实际的轨迹，应尽量多的描出点，故D正确。
（2）因两段对应的水平距离相等，故两段运动的时间相等，
而竖直位移分别为：6L和10L；
故在竖直方向由可得，水平速度。
随练2、
【答案】 （1）C
（2）偏大
（3）1.5；2.5
【解析】 （1）坐标原点为小球在斜槽末端时，小球球心在木板上的投影，故C正确。
（2）根据，x＝v0t得：，以（1）题中A图建立坐标系，竖直位移y测量值偏小，水平位移x测量准确，则初速度测量值偏大。
（3）在竖直方向上，根据△y＝2L＝gT2得：，则初速度为：
，B点的竖直分速度为：，根据平行四边形定则知，B点的速度大小为：。
随练3、
【答案】 （1）ACD
（2）①1m/s；②1.25m/s；③0.075s
【解析】 （1）A、为了保证小球的初速度水平，需调节斜槽的末端切线水平，故A正确。
B、为了保证小球的初速度相等，每次从斜槽的同一位置由静止释放小球，故B错误，C正确。
D、小球运动时不应与木板上的白纸相接触，防止由于摩擦改变小球的运动轨迹，故D正确。
E、将球的位置记录在纸上后，取下纸，用平滑曲线连线，作出小球的运动轨迹，故E错误。
（2）①在竖直方向上，根据△y＝L＝gT2得，，则初速度。
②b点的竖直分速度，根据平行四边形定则知，b点的速度。
③从抛出点到b点的时间。
研究平抛运动的创新和改进
例题1、
【答案】 等于；等于
【解析】 暂无解析
例题2、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
例题3、
【答案】 （1）是
（2）8
（3）0.8
（4）
【解析】 （1）因为竖直方向上相等时间内的位移之比为1：3：5：7，符合初速度为零的匀变速直线运动特点，因此可知a点的竖直分速度为零，a点为小球的抛出点．
（2）由照片的长度与实际背景屏的长度之比为1：4可得乙图中正方形的边长l＝4cm；
竖直方向上有：△y＝2L＝g′T2，
解得：．
（3）水平方向小球做匀速直线运动，因此小球平抛运动的初速度为：
．
（4））b点竖直方向上的分速度．
则．
随练1、
【答案】 B
【解析】 AB、让两球同时开始运动，甲图中A球平抛运动，B球做自由落体运动，两球同时落地，可知A球在竖着方向上的运动规律与B球相同，即平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动，故A错误，B正确。
CD、乙图中，上面球做平抛运动，下面球在水平面上做匀速直线运动，若两球相碰，说明平抛运动在水平方向上做匀速直线运动。故CD错误。
随练2、
【答案】 （1）初速度都相同
（2）水平方向实际运动的距离
（3）2
【解析】 （1）实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端水平，保证做平抛运动，初速度水平，每次让小球从同一位置由静止释放，是为了保持小球水平抛出的初速度相同。
（2）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，每次将B板向内侧平移距离d，是为了保持相邻痕迹点的水平距离大小相同，即等于小球在水平方向实际运动的距离。
（3）由于物体在竖直方向做自由落体运动，故在竖直方向有△h＝gT2，由图可知：△h＝h2－h1＝（40cm－15cm）－15cm＝10cm＝0.1m
将△h＝0.1m，g＝10m／s2
代入△h＝gT2解得：
。
物体在水平方向做匀速直线运动故s＝v0T，将s＝20cm＝0.2m代入解得：
．
拓展
1、
【答案】 A
【解析】 A、无论是物体速度的大小变了，还是速度的方向变了，都说明速度是变化的，都是变速运动，做曲线运动的物体的速度方向在时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动。所以A正确。
B、物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度方向不在同一条直线上，但合外力方向不一定变化，如平抛运动，故B错误。
C、物体做圆周运动时所受的合外力不一定是其向心力，指向圆心的合力是向心力。故C错误；
D、匀速圆周运动受到的向心力是始终指向圆心的，合力垂直于初速度方向的方向，并不一定始终与速度的方向垂直，比如平抛运动的受力就是这样，所以D错误。
2、
【答案】 D
【解析】 A、当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，t=．故A错误．
B、当合速度的方向与河岸垂直时，渡河位移最短，最短位移为d．故B错误．
C、当船头与河岸垂直，渡河时间仅与静水速有关，与水流速无关．故C错误．
D、将船分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，静水速的方向（即船头与河岸的夹角）不同，垂直于河岸方向上的分速度不同，则渡河时间不同，但与水流速无关．故D正确．
3、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 A．从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有向下游的加速度，小船后具有向上游的加速度，故水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A正确，B错误．
C．由于船身方向垂直于河岸，无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短，故C正确，D错误．
4、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 A、B、船运动的速度是沿绳子收缩方向的速度和绕定滑轮的摆动速度的合速度．如右图所示根据平行四边形定则有，v人=vcosθ；故A错误，B正确．
CD、对小船受力分析，如右图所示，根据牛顿第二定律，有：Fcosθ﹣Ff=ma
因此船的加速度大小为：a=，故C正确，D错误．
5、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
6、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 暂无解析
7、[多选题]
【答案】 A D
【解析】
8、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 炸弹被射出后，做平抛运动，假设敌舰不动，则炸弹水平初速度为v0=v1﹣v2，
竖直方向有，由h=得：t=，水平方向位移 x=v0t=（v1﹣v2）投弹时，在敌舰的前方爆炸，说明炸弹相对敌舰的水平位移x偏大，则：
A．适当减小轰炸机的初速度，抛出点的高度不变，炸弹飞行时间不变，由上式知，炸弹相对敌舰的水平位移x减小，可击中敌舰，故A正确；
B．适当增大轰炸机的初速度，抛出点的高度不变，炸弹飞行时间不变，由上式知，则炸弹相对敌舰的水平位移x更大，还在敌舰前方爆炸，故B错误；
C．轰炸机的初速度不变，适当降低投弹的高度，则炸弹相对敌舰的水平位移x变小，可以击中敌舰，故C正确；
D．轰炸机的速度不变，适当提高投弹的高度，炸弹飞行时间增大，则炸弹相对敌舰的水平位移x更大，还是在敌舰的前方爆炸，故D错误．
9、
【答案】 （1）2.8s
（2）1.2s
【解析】 （1）设旅客质量为m，在滑梯滑行过程中加速度为a，需要时间为t，则有：
mgsinθ－μmgcosθ＝ma
根据匀加速直线运动位移时间公式得：
代入数据解得：t＝2.8 s
（2）旅客先做平抛运动，设水平位移为x，竖直位移为y，在滑梯上落点与出发点之间的距离为为s，运动时间为t1，则有：
x＝υ0t1…①
竖直方向位移：...②
...③
总位移：...④
旅客落到滑梯后做匀加速直线运动，设在滑梯上运动时间为t2，通过距离为s1，
则s1＝L－s…⑤
...⑥
由①②③④⑤⑥解得：s＝3m，t1＝0.6 s，t2＝1 s
节约的时间为：△t＝t－（t1＋t2）
代入数据解得△t＝1.2s
10、
【答案】 A
【解析】 在竖直方向上有：Lsinθ=gt2，
解得：t=，
则初速度为：v0==Lcosθ=cosθ．故A正确，B、C、D错误．
故选：A．
11、
【答案】
【解析】 设斜面倾角为θ，如图所示：
根据平抛运动，撞到斜坡A点时：
水平分速度：vx＝v，
竖直分速度：vy＝gt且，
解得；
位移关系：水平分位移：x＝vt，
竖直分位移：，；
联立解得：。
答：炸弹离开轰炸机后在空中飞行的时间为。
12、
【答案】 B
【解析】 由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的．由于球与地面的碰撞是完全弹性碰撞，设第一球自击出到落地时间为t1，第二球自击出到落地时间为t2，则：t1=3t2①
由于一、二两球在水平方向均为匀速运动，水平位移大小相等，设它们从O点出发时的初速度分别为v1、v2，由x=v0t得：
v2=3v1②
所以有，所以两只球飞过球网C处时水平速度之比为1：3，故B正确．
13、[多选题]
【答案】 B C D
【解析】 甲做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，所以在未落地前任何时刻，两球都在一竖直线上，最后在地面上相遇，可能在P点前，也可能在P点后；甲在竖直方向上做自由落体运动，所以在未落地前的任何时刻，两球在同一水平线上，两球相遇点可能在空中，可能在P点。所以，若三球同时相遇，则一定在P点，若甲丙两球在空中相遇，乙球一定在P点，若甲乙两球在水平面上相遇，丙球一定落地。故B、C、D正确，A错误。
14、
【答案】 C
【解析】 A、物体做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，则物体到达最高点的速度为v0cosθ，故A错误。
B、对于做斜上抛运动的物体，初速度v0大小一定时，抛射角θ越小，竖直分速度越小，水平分速度越大，水平射程不一定大，当抛射角接近45°时，水平射程最大，故B错误。
C、初速度大小相同时抛射角θ越大，竖直分速度越大，则射高越大，故C正确。
D、抛射角θ相同时，初速度越大，竖直分速度越大，射高越大，运动时间越长，而且水平分速度越大，水平射程越大，故D错误。
15、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 AB、A球做平抛运动，B球做斜抛运动，水平方向都做匀速直线运动。
因为两球在空中相遇，知水平位移相等，由x＝vxt知，水平分速度相等，有v1＝v2cosθ，θ是B球的初速度与水平的夹角，则得v1＜v2．故A错误，B正确。
CD、相遇时，A球的速度大小为
在B球上升至最高点时，vB＝v2cosθ＝v1．可得，vA＞vB．故C正确，D错误。
16、
【答案】 （1）ac
（2）c
【解析】 （1）a、通过调节使斜槽末端保持水平，是为了保证小球做平抛运动，故a正确；
bc、因为要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故b错误，c正确；
d、用描点法描绘运动轨迹时，应将各点连成平滑的曲线，不能练成折线或者直线，故d错误．
（2）物体在竖直方向做自由落体运动，；水平方向做匀速直线运动，x＝vt；
联立可得：，因初速度相同，故为常数，故y－x2应为正比例关系，故c正确，abd错误．
17、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、选用装置图1研究平抛物体竖直分运动，应该是听声音的方法判断小球是否同时落地，故A错误；
B、A管内与大气相通，为外界大气压强，A管在水面下保证A管上出口处的压强为大气压强。因而另一出水管的上端口处压强与A管上出口处的压强有恒定的压强差，保证另一出水管出水压强恒定，从而水速度恒定。如果A管上出口在水面上则水面上为恒定大气压强，因而随水面下降，出水管上口压强 降低，出水速度减小。故B正确；
C、选用装置图3要获得钢球的平抛轨迹，每次一定要从斜槽上同一位置由静止释放钢球，这样才能保证初速度相同，故C错误；
D、用数码照相机拍摄时曝光时间的固定的，所以可以用来研究平抛运动，故D正确。
18、
【答案】 （1）
（2）
（3）B
【解析】 （1）在竖直方向
由得：
在水平方向
（2）由x＝vt、得到轨迹方程为：；
则y－x2的图线是过原点的直线，其斜率为：
故有：
（3）A、为了保证小铁块的初速度相等，每次让小铁块从斜槽的同一位置由静止释放，斜槽轨道不一定需要光滑，故A错误。
B、木板面应与小铁块平抛运动的轨迹平面平行，才能确保小铁块位置的准确性，故B正确；
C、从木板上取下坐标纸前，必须通过小铁块的抛出位置，在坐标纸上记录O点，故C错误，
D、为了保证小铁块的初速度水平，斜槽末端必须水平，故D错误。
第07讲 曲线运动与平抛
知识图谱
曲线运动的合成与分解
知识精讲
一．曲线运动
1．物体做曲线运动的条件
（1）运动学角度：物体加速度与速度不共线。
（2）动力学角度：物体所受合外力与速度不共线。
2．合力与轨迹的关系
无力不弯曲，弯曲必有力。合力方向总是指向轨迹的凹处。
3．合力分向与速率变化的关系
（1）当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变，只改变速度的方向；
（2）当合力方向与速度方向成锐角时，物体的速率增加；
（3）当合力方向与速度方向成钝角时，物体的速率减小。
v
F合
v
F合
v
F合
二．运动的合成与分解
1．分运动和合运动一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。
2．合运动与分运动关系
（1）等时性：各个分运动与合运动同时开始，同时结束，经历相同时间。
（2）独立性：一个物体参与的几个分运动独立进行，互不影响。
（3）等效性：各个分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
3．运动的合成与分解
（1）运动的合成：已知分运动求合运动，包括位移、速度和加速度。
（2）运动的分解：已知合运动求分运动，解题时应按实际效果分解，或正交分解。
（3）运动运算法则：运动的合成与分解是指描述运动各物理量即位移、速度、加速度的合成分解，由于它们均是矢量，故遵循平行四边形定则。
三．合运动的性质的判断
1．合加速度不为零
（1）加速度（合力）性质：合加速度不变，匀变速运动；合加速度变化，非变速运动。
（2）加速度（合力）方向与速度方向：共线，直线运动；不共线，曲线运动。
2．两个互成角度的合运动和分运动的判断
四．小船渡河问题
1．实际运动：船的实际运动是水流的运动和船相对于静水的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度（）；水流的速度（）；船的实际速度（）。
3．三种情景：
（1）若要小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图甲所示。
过河时间（d为河宽），此时小船一定在对岸下游处靠岸。
（2） 时，小船垂直河岸过河时，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图乙所示，此时过河时间 。
（3）如果 时，要使渡河位移最小，小船不能垂直河岸渡河。以水流速度的末端为圆心，小船在静水中速度大小为半径作圆，如图丙所示，渡河时间 。
五．“关联”速度问题
1.“关联速度”特点
用绳、杆相牵连的物体，在运动的过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相同。
2．思路和原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解，常见模型如下：
v
v物
三点剖析
一．课程目标
1．理解曲线运动的条件和特点
2．学会利用运动的合成和分解的规律分析小船过河和关联速度问题
曲线运动的理解
例题1、 一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）
A.速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变
B.速度一定在不断地改变，加速度可以不变
C.速度可以不变，加速度一定不断地改变
D.做曲线运动的物体的速度方向在时刻改变，所以曲线运动不可能是匀变速运动
例题2、 关于运动的合成与分解有以下说法，其中正确的是（ ）
A.两个直线运动的合位移一定比分位移大
B.力的合成与分解遵循平行四边形定则，而运动的合成与分解不遵循
C.两个分运动总是同时进行的
D.两个分运动间相互影响，不独立
例题3、[多选题] 一质量为m的质点以速度v0匀速直线运动，在t＝0时开始受到恒力F作用，速度大小先减小后增大，其最小值为v＝0.5v0，由此可判断（ ）
A.质点受力F作用后一定做匀变速曲线运动
B.质点受力F作用后可能做圆周运动
C.t＝0时恒力F与速度v0方向间的夹角为60°
D.时，质点速度最小
随练1、[多选题] 下面说法中正确的是（ ）
A.物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B.物体在变力作用下有可能做曲线运动
C.做曲线运动的物体，其速度方向与加速度的方向不在同一直线上
D.物体在变力作用下不可能做曲线运动
随练2、[多选题] 有一个质量为0.5kg的小球，在4个共点力作用下处于平衡状态，现同时撤去大小分别为3N和4N的两个力，其余的力保持不变，关于此后该物体的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A.可能做加速度大小为10m/s2的匀减速直线运动
B.可能做加速度大小为15m/s2的匀加速直线运动
C.可能做向心加速度大小为10m/s2的匀速圆周运动
D.可能做加速度大小为5m/s2的匀变速曲线运动
小船过河及类小船过河
例题1、 如图所示，小船以大小为v1、方向与上游河岸成θ的速度（在静水中的速度）从A处过河，经过t时间正好到达正对岸的B处．现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪一种（ ）
A.只要增大v1大小，不必改变θ角
B.只要增大θ角，不必改变v1大小
C.在增大v1的同时，也必须适当增大θ角
D.在增大v1的同时，也必须适当减小θ角
例题2、 民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（ ）
A.运动员放箭处离目标的距离为
B.运动员放箭处离目标的距离为
C.箭射到固定目标的最短时间为
D.箭射到固定目标的最短时间为
例题3、 某CS野战游乐园推出移动打靶项目，如图所示，靶心在Ⅰ轨道上以10m/s的速度匀速前进，t=0时刻，靶心在Ⅰ轨道A位置，游客乘坐的战车位于Ⅱ轨道上B处，AB水平距离L=25m，战车从静止开始以a=2m/s2沿直线向右做匀加速直线运动，战车上的彩弹枪在静止时发出的彩弹速度v=50m/s，Ⅰ、Ⅱ轨道的直线距离d=50m，欲使彩弹在发出后以最短的时间击中靶心，求
（1）发枪时间；
（2）击中靶心时战车的位移．
随练1、 河宽d=200m，水流速度v1=3m/s，船在静水中的速度v2=5m/s．求：
（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
绳、杆“关联”速度
例题1、[多选题] 如图所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动．则（ ）
A.小船的速度v2总小于汽车速度v1
B.汽车速度v1总小于小船的速度v2
C.如果汽车匀速前进，则小船加速前进
D.如果汽车匀速前进，则小船减速前进
例题2、 如图所示，AB杆以恒定角速度ω绕A点在竖直平面内转动，并带动套在固定水平杆OC上的小环M运动，AO间距离为h．运动开始时AB杆在竖直位置，则经过时间t（小环仍套在AB和OC杆上）小环M的速度大小为（ ）
A.
B.
C.ωh
D.ωhtan（ωt）
例题3、 如图所示，在水平面上小车A通过光滑的定滑轮用细绳拉一物块B，小车的速度为v1＝5m/s，当细绳与水平方向的夹角分别为30°和60°时，物块B的速度 v2 为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题4、 如图所示，用一小车通过轻绳提升一货物，某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端的绳与水平方向的夹角为θ，此时小车的速度为v0，则此时货物的速度为（ ）
A.v0
B.v0sinθ
C.v0cosθ
D.
例题5、 如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置用来提升重物 M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方0点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M．C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平（转过了90°角），此过程中下述说法正确的是（ ）
A.重物M做匀速直线运动
B.重物M做匀变速直线运动
C.重物M的最大速度是ωL
D.重物M的速度先减小后增大
随练1、[多选题] 在光滑的水平面上，一滑块的质量m＝2kg，在水平面上恒定外力F＝4N（方向未知）作用下运动，如图所示为滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5m／s，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角α＝37°，sin37°＝0.6，则下列说法正确的是（ ）
A.水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角
B.滑块从P到Q的时间为3s
C.滑块从P到Q的过程中速度最小值为4m／s
D.P、Q两点连线的距离为10m
随练2、 一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H．车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示。试求：
（1）车向左运动的加速度的大小；
（2）重物m在t时刻速度的大小。
平抛的基本规律
知识精讲
一．平抛运动
1．定义：将物体以一定的速度水平抛出，只在重力作用下的运动叫做平抛运动。
2．平抛运动的特点
（1）加速度的特点：加速度恒定。
（2）平抛运动速度变化的特点：任意两个相等的时间内，速度变化相同（）。
（3）水平和竖直位移的特点
水平：匀速；
竖直：连续相等的时间内，位移差不变（）。
3．平抛运动的规律
平抛运动可以分解为水平的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。实际上，在静电场中也有类似的情况，利用运动的合成和分解分析问题。平抛运动的规律如下：
（1）水平方向： ；；
（2）竖直方向： ；；
（3）合运动：
；
；
；；
（4）运动方程：
（5）重要推论
①做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
②做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处， 。其中为末速度与水平方向夹角，为位移与水平方向夹角。
二．类平抛运动
所谓类平抛就是受力特点与运动特点类似于平抛运动。
1．受力特点：合外力为恒力，且与初速度方向垂直。
2．运动特点：沿方向做匀速运动，沿合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动。
3．处理方法
（1）常规分解：沿初速度方向和垂直于初速度方向（即合外力方向）分解。
（2）特殊分解：过抛出点建适当的坐标系，将与向x、y分解，然后分别在x、y方向上列方程求解。
三点剖析
一．课程目标
1．理解平抛运动的研究方法和运动规律
落点在水平面、竖直面上
例题1、 如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则（ ）
A.a的飞行时间比b的长
B.b和c的飞行时间相同
C.a的水平初速度比b的大
D.b的水平初速度比c的小
例题2、 如图，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在O点对准前方的一块竖直放置的挡板，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别是v1、v2、v3，打在挡板上的位置分别是B、C、D，且AB︰BC︰CD＝1︰3︰5．则v1、v2、v3之间的正确关系是（ ）
A.v1︰v2︰v3＝6︰3︰2
B.v1︰v2︰v3＝5︰3︰1
C.v1︰v2︰v3＝3︰2︰1
D.v1︰v2︰v3＝9︰4︰1
例题3、 如图，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为（ ）
A.
B.
C.
D.
随练1、 如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别落到a、b、c三点，则三个物体运动的初速度va，vb，vc的关系和三个物体运动的时间ta，tb，tc的关系分别是（ ）
A.va＞vb＞vc，ta＞tb＞tc
B.va＜vb＜vc，ta＝tb＝tc
C.va＜vb＜vc，ta＞tb＞tc
D.va＞vb＞vc，ta＜tb＜tc
随练2、 如图所示，平板MN和PQ水平放置，O、M、P在同一竖直线上，且OM＝MP＝h，PQ长为h，MN明显比PQ短，从O点水平向右抛出一个小球，落在MN上反弹前后水平分速度不变，竖直方向分速度等大反向，结果小球刚好落在Q点，则小球从O点抛出的初速度为（ ）
A.
B.
C.
D.
与斜面相关的平抛运动
例题1、 如图所示，以20m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，物体完成这段飞行需要的时间是（g=10m/s2）（ ）
A.2s
B.s
C.s
D.0.2s
例题2、 如图所示，在倾角为θ的斜面上A点以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题3、[多选题] 如图所示，在光滑的固定斜面上有四个完全相同的小球1、2、3、4从顶端滑到底端，球1沿斜面从静止开始自由下滑；球2沿斜面上的光滑槽由静止开始下滑；球3以水平初速度v0沿斜面抛出，沿斜面运动；球4由静止开始沿斜面上的光滑槽运动，且槽的形状与球3的运动轨迹相同．关于小球在斜面上运动时间和到达底端速度的大小，下列说法正确的是（ ）
A.球3运动的时间与球4运动的时间相同
B.球2运动的时间大于球3运动的时间
C.球4到达底端速度的大小大于球1到达底端速度的大小
D.球3到达底端的速度最大
例题4、 如图所示，蜘蛛在地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°，A点到地面的距离为1m，已知重力加速度g取10m／s2，空气阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8m的C点以水平速度v0跳出，要到达蛛丝，水平速度v0至少为（ ）
A.1m／s
B.2m／s
C.2.5m／s
D.5m／s
随练1、[多选题] 横截面为直角三角形的两个相同斜面如图所示紧靠在一起，固定在水平面上，它们的倾角都是30°．小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其中三个小球的落点分别是a、b、c，已知落点a最低，落点c最高．图中三小球比较，下列判断正确的是（ ）
A.落在a点的小球的初速度最大
B.落在a点的小球飞行过程中速度的变化量最大
C.改变小球抛出时初速度大小，落在左边斜面时小球的瞬时速度方向不变
D.改变小球抛出时初速度大小，落在右边斜面时小球的瞬时速度方向可能与斜面垂直
随练2、 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用依山势特别建造的跳台进行的．运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆．这项运动极为壮观．设一位运动员由山坡顶的A点沿水平方向飞出，到山坡上的B点着陆．如图所示，已知运动员水平飞出的速度为v0=20m/s，山坡倾角为θ=37°，山坡可以看成一个斜面．（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）运动员在空中飞行的时间t
（2）运动员在B点着陆时的速度．
随练3、 如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，且ab＝bc＝cd，从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它正好落在斜面上的b点，若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上（ ）
A.c点
B.b与c之间的某一点
C.d点
D.c与d之间的某一点
平抛和斜抛的应用
知识精讲
一．斜抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动叫做斜抛运动。
2．斜上抛运动的规律
斜上抛运动的研究方法：斜抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
研究抛体问题，利用“化曲为直”的思想，根据运动的分解方法，把曲线运动分解为两个方向上的直线运动。
（1）水平方向： ；
；
（2）竖直方向： ；
；
3．斜抛运动的对称性
（1）轨迹对称：斜抛运动的轨迹为抛物线，关于过最高点的竖直线对称。
（2）速度对称：关于过最高点的竖直线对称的两点，速度大小相等，水平分速度相同，竖直分速度等大反向。
（3）时间对称：关于过最高点的竖直线对称的两段轨迹，上升和下降时间相等。
（4）实际中，由于空气的阻力，斜上抛的实际轨迹是一条不对称的弧形。
二．平抛运动中的临界问题
平抛运动受到某种条件的限制时就构成了平抛运动的临界问题，其限制条件一般有水平位移和竖直高度两种。求解这类问题的关键是确定临界轨迹，当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受竖直高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到竖直高度端点的一条抛物线。确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。
1．审题技巧
（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明运动的过程中存在着临界点。
（2）若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明运动的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
（3）若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明运动的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
2．解题技巧
（1）分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件。
（2）求解平抛运动中的临界问题的关键
①确定临界状态，确定临界状态一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来。
②确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来。
3．常见临界问题的情景
平抛运动与日常生活联系紧密，如排球（网球）运动模型、飞镖、射击、飞机投弹模型等，这些模型经常受到边界条件的制约，如排（网）球是否触网或越界、飞镖是否能击中靶心、飞机投弹是否能命中目标等，解题的关键是画出草图，寻找临界条件。此类试题题型全面，既有选择题，也有计算题，难度中等。
解题中用到了平抛规律的运动的分解与合成的思想：
三点剖析
一．课程目标
1．理解斜抛运动的运动规律
2．学会分析抛体运动中的临界问题
抛体运动中临界问题
例题1、 如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v（未知）沿垂直球网网面的方向击出，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视做平抛运动。求：
（1）球从击出至落地所用时间；
（2）球的速度v。
例题2、 在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g。
（1）若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
（2）求能被屏探测到的微粒的初速度范围。
例题3、 如图所示，民俗运动会中有一种掷飞镖游戏比赛项目，比赛中某选手站在靶的正前方手持飞镖将其水平掷出，飞镖出手瞬间的位置高出靶心O点，离靶面水平距离，若将飞镖在空中的运动看平抛运动，并且刚好击中靶心，飞镖可视为质点，求：
（1）飞镖的初速度大小；
（2）飞镖击中靶心前瞬间的速度大小和方向（用于水平方向所成的夹角的正切值来表示）；
（3）若飞镖击中以靶心为O圆心、半径的圆形范围内为有效成绩并得分，设飞镖每次水平掷点位置不变，且飞镖只在与靶面垂直的竖直面内的运动，则飞镖水平掷出的初速度大小在什么范围内时才可以得分？
例题4、 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h，不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
随练1、 如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在地面上N点处将S2球以初速度v2竖直向上抛出，在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力，则两球在这段过程中（ ）
A.做的都是变加速运动
B.速度变化量的大小不相等
C.速度变化量的方向不相同
D.相遇点在N点上方处
随练2、 如图所示，将一个小球从距离地面高外水平抛出，在抛出点正前方有一个高的障碍物，障碍物与抛出点的水平距离为．若小球刚好能越过障碍物，则（）
（1）障碍物最高点与抛出点的水平距离和竖直距离分别为多少？
（2）小球抛出的速度大小为多少？
（3）若小球刚好能越过障碍物，刚落地时小球的速度与地面的夹角为多少？
斜抛的运动规律
例题1、 从A发射攻击导弹打击B目标，发射初速度为v1，方向与水平面成α角，运动轨迹如图所示。当导弹到达最高点时，拦截导弹以初速度v2竖直向上发射，此时拦截导弹与攻击导弹的水平距离为x。若导弹发射后均做无动力飞行，不计空气阻力，且恰好拦截成功，下列关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
例题2、 如图所示，以速度v将小球沿与水平方向成θ＝37°角斜向上抛出，结果球刚好能垂直打在竖直的墙面上，球反弹后的速度方向水平，速度大小为碰撞前瞬间速度的倍，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，空气阻力不计，则反弹后小球的速度大小再次为v时，速度与水平方向夹角的正切值为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题3、 中央电视台综艺节目《加油向未来》中有一个橄榄球空中击剑游戏：宝剑从空中B点自由落下，同时橄榄球从A点以速度v0沿AB方向抛出，恰好在空中C点击中剑尖，不计空气阻力。下列说法正确的（ ）
A.橄榄球在空中运动的加速度大于宝剑下落的加速度
B.橄榄球若以小于v0的速度沿原方向抛出，一定能在C点下方击中剑尖
C.橄榄球若以大于v0的速度沿原方向抛出，一定能在C点上方击中剑尖
D.橄榄球无论以多大速度沿原方向抛出，都能击中剑尖
例题4、 如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不计空气阻力，若抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是（ ）
A.增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ
B.增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0
C.减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ
D.增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0
随练1、 斜抛运动与平抛运动相比较，正确的是（ ）
A.斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B.平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动
C.做变速直线运动的物体，加速度方向与运动方向相同，当加速度减小时，它的速度也减小
D.无论是平抛运动还是斜抛运动，在任意相等时间内的速度变化量都相等
随练2、[多选题] 一个质量为m的质点以速度v0做匀速直线运动，某时刻开始受到恒力F的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为．质点从受到恒力作用到速度减至最小值的过程（ ）
A.经历的时间为
B.经历的时间为
C.发生的位移为
D.发生的位移为
随练3、 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上的点的曲率圆定义为：通过点和曲线上紧邻点两侧的另外两点做一个圆．当邻近的另外两点无限接近点时，即在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，如图乙所示，则在其轨迹最高点处的曲率半径是（ ）
A.
B.
C.
D.
实验：研究平抛运动
知识精讲
一．描迹法研究平抛运动
1.实验原理
装置如图所示， 使小球做平抛运动，利用描迹法描绘小球的运动轨迹，建立坐标系，测出轨迹曲线上某一点的横坐标和纵坐标，由公式得到小球平抛的初速度：
。
2.实验器材
斜槽轨道、小球、木板、复写纸、白纸、图钉、铅垂线、直尺、铅笔、圆规。
3.实验步骤
（1）安装斜槽轨道，使其末端保持水平；
（2）固定木板上的坐标纸（和复写纸），使木板保持竖直状态；小球的运动轨迹与板面平行，坐标纸方格横线呈水平方向。
（3）以斜槽末端端口上小球位置为坐标原点(球心在木板上的投影)，过点在竖直方向画出轴，水平方向画出轴。
（4）安装一个可以接球的水平挡板，小球抛出后落在挡板上留下痕迹。让小球从斜槽上适当的高度由静止释放，重复步骤。
（5）用平滑的曲线连接各个记录点，得到平抛运动的轨迹。
（6）根据坐标，结合公式，求出小球的初速度，并计算平均值。
4. 注意事项
（1）应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直。
（2）钢球每次必须从斜槽上同一位置无初速度滚下，在斜槽上释放钢球的高度应适当，使钢球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。
（3）坐标原点（钢球做平抛运动的起点）不是槽口的端点，应是钢球在槽口时球的球心在木板上的水平投影点。
（4）计算初速度时，要在平抛轨迹上选取距点远些的点进行，以便测量和计算。
二．计算平抛运动初速度的方法
1.平抛轨迹完整（有抛出点）
x/cm
O
y/cm
以O点为坐标原点，用重锤线确定的方向为y轴，与y轴垂直的即为x轴，建立坐标系，并在曲线上选取几个不同的点，利用公式：和，计算出小球各个点的初速度v0，最后算出v0的平均值，并将有关数据记录下来。
2.平抛轨迹残缺
x/cm
O
y/cm
A
B
C
曲线上取三点A、B、C，使 ，如图所示，用刻度尺分别测 、 、 ， 平抛运动在水平方向上为匀速直线运动，则物体从A到B和从B到C运动时间相等，设为T；竖直方向由自由落体运动推论得 ,且 。
由上式得 。
三．探究平抛运动的其他方案
1．照相法得到物体平抛运动的轨迹
2．径迹法
四．探究平抛运动的规律
1．探究做平抛运动的物体在水平方向上的运动规律
（1）实验：如图所示的装置中，两个相同的弧形轨道上端分别装有电磁铁C、D，调节C、D的高度使。将小铁球P、Q分别吸在C、D上，然后切断电源，使球以相同的初速度分别同时从M、N的下端水平射出。
实验结果是两铁球相撞，只增加或者减小轨道M的高度再进行实验，结果两二球总是发生碰撞。
（2）分析：只改变轨道M的高度，相当于只改变P球平抛运动的竖直高度，发现P、Q两球总是相遇，即P球水平方向上的运动总是和Q完全相同。
（3）结论：做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动；平抛运动的各分运动具有独立性。
2．探究做平抛运动的物体在竖直方向上的运动规律
（1）实验：按图所示操作，小球A做平抛运动，同时松开小球B，使从孔中落下，做自由落体运动。
（2）分析：两小球每次都同时落地，说明两小球在空中运动的时间相等，也就说明了做平抛运动的物体在竖直方向上的分运动是自由落体运动。
（3）结论：做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动。
三点剖析
一．课程目标
1．探究平抛运动的规律，描绘出平抛运动物体的轨迹
2．了解不同方法探究平抛运动
研究平抛运动的基本实验
例题1、 用如图所示的装置研究平抛运动，在一块竖直放置的背景板上固定两个弧形轨道A、B，用于发射小铁球，从轨道A射出的小铁球做平抛运动，从轨道B射出的小铁球做匀速直线运动。此外，板上还装有三个电磁铁C、D、E，其中电磁铁C、D可分别沿轨道A、B移动。在轨道A出口处有一个碰撞开关S，用以控制电磁铁E的电源的通断，电磁铁E可以沿水平杆MN移动，当它吸上小铁球时，该小铁球的中心与从轨道A射出的小铁球的中心在同一水平线上。
（1）实验中，斜槽末端的切线必须是水平的，这样做的目的是________。
A．保证小铁球飞出时，速度既不太大，也不太小
B．保证小铁球飞出时，初速度水平
C．保证小铁球在空中运动的时间每次都相等
D．保证小铁球运动的轨道是一条抛物线
（2）若轨道A、B出口方向平行但略向下倾斜，将小铁球1从某高度释放，小铁球落在轨道B的P点，将电磁铁E移至P点正上方，将小铁球1和小铁球3同时释放，先到达P点的是________。
（3）若轨道A、B出口均水平，调节小铁球3的水平位置多次实验，发现小铁球1和小铁球3总是在空中相碰，则说明小铁球1在竖直方向上做________运动。
例题2、 （1）在做“研究平抛物体的运动”实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中不需要的是________．（写器材编号）
A．秒表 B．天平 C．白纸 D．重垂线 E．刻度尺
（2）在研究物体做平抛运动时，应通过多次实验确定若干个点，描绘出平抛运动的轨迹．在实验中的下列操作正确的是________．
A．实验中所用斜槽末端的切线必须调到水平
B．每次实验中小球必须由静止释放，初始位置不必相同
C．每次实验小球必须从斜槽的同一位置由静止释放，所用斜槽不必光滑
D．在实验时，尽量选用质量小一点的小球
（3）某同学用频闪照相法“研究平抛运动”的实验，根据实验结果在坐标纸上描出了小球水平抛出后的运动轨迹，但不慎将画有轨迹图线的坐标丢失了一部分，剩余部分如图所示，图中水平方向与竖直方向每小格的长度均代表5cm，A、B和C是轨迹图线上依次经过的3个点，如果取g＝10m／s2，那么：根据轨迹的坐标求出物体做平抛运动的初速度v0＝________m／s．若取A为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立直角坐标系，则小球做平抛运动的初位置坐标为：x＝________cm，y＝________cm．
随练1、 用图1所示的实验装置做“研究平抛运动”的实验。
（1）关于实验的操作要求，下列说法正确的是____________。
A．斜槽轨道必须光滑
B．斜槽轨道末端必须水平
C．应将小球每次从斜槽上相同的位置释放
D．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应多一些
（2）如图2所示为在坐标纸上描出的部分轨迹。坐标纸每小格的边长为l，P1、P2和P3是轨迹上的3个点。重力加速度为g。小球做平抛运动的初速度为____________。
随练2、 利用实验室的斜面小槽等器材装配如图甲所示的装置。钢球。从斜槽上滚下，经过水平槽飞出后做平抛运动。每次都使钢球在斜槽上同一位置滚下，通过多次实验，在竖直白纸上记录钢球所经过的多个位置，连起来就得到钢球做平抛运动的轨迹。
（l）实验过程中，要建立的直角坐标系，在图乙中，建系坐标原点选择正确的是（ ）
（2）某同学以（1）题中A图建立坐标系，在描出的平抛运动轨迹图上任取一点（x，y），求小球的初速度v0，这样测得的平抛初速度值与真实值相比，这位同学的结果________。（填“偏大”、“偏小”或“相等”）
（3）如图丙所示为一小球做平抛运动的轨迹上的三个点，图中背景方格的边长均为5cm。如果取g＝10m／s2，那么，小球做平抛运动的初速度的大小是________m／s。小球经过B点时的速度大小是________m／s
随练3、 （1）在做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次从同一高度释放沿同一轨道运动，通过描点法画出小球做平抛运动的轨迹。为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上________。
A．调节斜槽末端保持水平
B．每次释放小球的位置必须不同
C．每次必须由静止释放小球
D．小球运动时不应与木板上的白纸（或方格纸）相接触
E．将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
（2）如图所示，某同学在研究平抛运动的实验中，在小方格纸上画出小球做平抛运动的轨迹以后，又在轨迹上取出a、b、c、d四个点（轨迹已擦去）。已知小方格纸的边长L＝2.5cm。g取10m/s2．请你根据小方格纸上的信息，通过分析计算完成下面几个问题：
①根据水平位移，求出小球平抛运动的初速度v0＝________
②小球运动到b点的速度是________
③从抛出点到b点所经历的时间是________。
研究平抛运动的创新和改进
例题1、 如图所示，在探究平抛运动规律的实验中，用小锤打击弹性金属片，A球被金属片弹出做平抛运动，同时B球做自由落体运动．通过观察发现：A球在空中运动的时间________B球在空中运动的时间（选填“大于”、“等于”或“小于”）；增大两小球初始点到水平地面的高度，再进行上述操作，通过观察发现：A球在空中运动的时间________B球在空中运动的时间（选填“大于”、“等于”或“小于”）．
例题2、 如图所示，在研究物体做平抛运动时，让小球A沿曲面轨道滚下，离开轨道末端时（末端水平，小球A离开轨道时和小球B在同一高度），撞开接触式开关S（开关对小球的作用力可忽略不计），被电磁铁吸住的小球B同时自由下落。多次改变整个装置的高度H重复上述实验，发现A、B两球总是同时落地。该实验现象说明了A球在离开轨道后（ ）
A.水平方向的分运动是匀速直线运动
B.水平方向的分运动是匀加速直线运动
C.竖直方向的分运动是自由落体运动
D.竖直方向的分运动是匀速直线运动
例题3、 未来在一个未知星球上用如图甲所示装置研究平抛运动的规律．悬点O正下方P点处有水平放置的炽热电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断，小球由于惯性向前飞出做平抛运动．现对小球采用频闪数码照相机连续拍摄．在有坐标纸的背景屏前拍下了小球在做平抛运动过程中的多张照片，经合成后照片如图乙所示．a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知照相机连续拍照的时间间隔是0.10s，照片大小如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际背景屏的长度之比为1：4，则：
（1）由以上信息，可知a点________（选填“是”或“不是”）小球的抛出点；
（2）由以上信息，可以推算出该星球表面的重力加速度为________m/s2；
（3）由以上信息可以算出小球平抛的初速度是________m/s；
（4）由以上信息可以算出小球在b点时的速度是________m/s．
随练1、 如图所示，是两个研究平抛运动的演示实验装置，对于这两个演示实验的认识，下列说法正确的是（ ）
A.甲图中，两球同时落地，说明平抛小球在水平方向上做匀速运动
B.甲图中，两球同时落地，说明平抛小球在竖直方向上做自由落体运动
C.乙图中，两球恰能相遇，说明平抛小球在水平方向上做匀加速运动
D.乙图中，两球恰能相遇，说明平抛小球在水平方向上做自由落体运动
随练2、 某同学设计了一个研究平抛运动的实验。实验装置示意图如图1所示，A是一块平面木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽（图1中P0P0′、P1P1′…），槽间距离均为d。把覆盖复写纸的白纸铺贴在硬板B上。实验时依次将B板插入A板的各插槽中，每次让小球从斜轨的一同位置由静止释放。每打完一点后，把B板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离d。实验得到小球在白纸上打下的若干痕迹点，用平滑曲线连接各痕迹点就得到平抛的轨迹。
（1）实验前应对实验装置反复调节，直到斜轨、A板、插槽P0P0′垂直于斜轨并在斜轨末端正下方。每次让小球从同一位置由静止释放，是为了使小球每次做平抛运动的________。
（2）每次将B板向内侧平移距离d，是为了使记录纸上每两点之间的水平距离等于小球在________。
（3）如图2是该同学在实验中忘记记下小球做平抛运动的起点位置O，A为物体运动一段时间后的位置，根据图中所示平抛运动的部分轨迹，求出物体做平抛运动的初速度为________m／s。
拓展
1、 关于曲线运动，下列说法正确的有（ ）
A.做曲线运动的物体速度方向在时刻改变，故曲线运动是变速运动
B.做曲线运动的物体，受到的合外力方向在不断改变
C.只要物体做圆周运动，它所受的合外力一定指向圆心
D.物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动
2、 在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1（且v1＞v2），方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船（ ）
A.最短渡河时间为
B.最短渡河位移为不可能为d
C.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水速无关
D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关
3、[多选题] 小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则（ ）
A.越接近河岸水流速度越小
B.越接近河岸水流速度越大
C.无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短
D.该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
4、[多选题] 如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时（ ）
A.人拉绳行走的速度为
B.人拉绳行走的速度为vcosθ
C.船的加速度为
D.船的加速度为
5、 如图所示，沿竖直杆以速度v匀速下滑的物体A通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是（ ）
A.物体B向右匀速运动
B.物体B向右匀加速运动
C.物体B向右做变加速运动
D.物体B向右做减速运动
6、[多选题] 在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑细杆AB的两个端点A、B被分别约束在x轴和y轴上运动，现让A沿x轴正方向以速度匀速运动，已知杆AB与x轴的夹角为且P点为杆的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.P点的运动轨迹是一段圆弧
B.P点的运动轨迹是抛物线的一部分
C.P点的运动速度大小，方向沿杆P指向A
D.P点的运动速度大小，方向不一定沿杆
7、[多选题] A、B两球质量分别为mA、mB，距地面的高度分别为H、h．现以大小相同的速度v0同时水平抛出，如图所示，P点为轨迹交点．已知mA＜mB、H＞h，不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）
A.A球水平射程大于B球水平射程
B.A球先经过P点
C.两球在P点相遇
D.经过P点时，A球速度大于B球速度
8、[多选题] 2016年7月18日，我国空军组织了航空兵赴南海战斗巡航，此次赴南海例行性战斗巡航，紧贴使命任务和实战准备，轰﹣6K和歼击机、侦察机、空中加油机等遂行战巡任务，以空中侦察、对抗空战和岛礁巡航为主要样式组织行动，达成了战斗巡航目的，如图所示，假若以速度v1在高空水平匀速直线飞行的轰炸机，追击黄岩岛附近某处敌舰以速度v2同向匀速航行的敌舰，第一次投弹时，在敌舰的前方爆炸，若再次处在相同的相对位置，欲投弹击中敌舰，你认为应作出的合理调整为（不计空气阻力）( )
A.适当减小轰炸机初速度，抛出点高度不变
B.适当增大轰炸机初速度，抛出点高度不变
C.轰炸机初速度不变，适当降低投弹的高度
D.轰炸机初速度不变，适当提高投弹的高度
9、 在民航业内，一直有“黑色10分钟”的说法，即从全球已发生的飞机事故统计数据来看，大多数的航班事故发生在飞机起飞阶段的3分钟和着陆阶段的7分钟。飞机安全事故虽然可怕，但只要沉着冷静，充分利用逃生设备，逃生成功概率相当高，飞机失事后的90秒内是逃生的黄金时间。如图为飞机逃生用的充气滑梯，滑梯可视为理想斜面，已知斜面长L＝8m，斜面倾斜角θ＝37°，人下滑时与充气滑梯间动摩擦因数为μ＝0.5．不计空气阻力，g＝10m／s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，．求：
（1）旅客从静止开始由滑梯顶端滑到底端逃生，需要多长时间？
（2）一旅客若以v0＝4.0m／s的初速度抱头从舱门处水平逃生，当他落到充气滑梯上后没有反弹，由于有能量损失，结果他以v＝4.0m／s的速度开始沿着滑梯加速下滑。该旅客以这种方式逃生与（1）问中逃生方式相比，节约了多长时间？
10、 （2014河北衡水冀州中学高三上期中）如图所示，一平板AB可以绕端点B在竖直面内转动，在板的A端沿水平方向抛出一小球，结果小球刚好落在B端，板长为L，要保证改变平板的倾角θ后，小球水平抛出后仍能到达B端，则小球的初速度v0与板的倾角θ（0°＜θ＜90°）之间关系应满足（ ）
A.v0=cosθ
B.v0=
C.v0=
D.v0=
11、 如图所示。轰炸机沿水平方向以v匀速飞行。到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹垂直击中山坡上的目A．已知轰炸机距山坡底端的高度为h，炸弹在下落过程中所受空气阻力忽略不计，当地重力加速度为g．求炸弹离开轰炸机后在空中飞行的时间。
12、 一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出，第一只球落在自己一方场地的B点，弹跳起来后，刚好擦网而过，也落在对方场地的A点，第2只球直接擦网而过，也落在A点，如图所示。设球与地面的碰撞过程没有能量损失，其运动过程不计空气阻力，则第一个球与第二个球飞过球网C处时水平速度大小之比为（ ）
A.1：1
B.1：3
C.3：1
D.1：9
13、[多选题] 甲、乙、丙三个小球分别位于如图所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，水平面上的P点在丙的正下方，在同一时刻甲、乙、丙开始运动，甲以水平速度v0做平抛运动，乙以水平速度v0沿水平面向右做匀速直线运动，丙做自由落体运动，则（ ）
A.无论速度v0大小如何，甲、乙、丙三球一定会同时在P点相遇
B.若甲、乙、丙三球同时相遇，则一定发生在P点
C.若只有甲、丙两球在空中相遇，此时乙球一定在P点
D.若只有甲、乙两球在水平面上相遇，此时丙球一定落在相遇点的右侧
14、 在高为h的A处，与水平方向成θ角斜向上抛出一物体，（不计空气阻力），下列说法中正确的是（ ）
A.最高点速度为零
B.初速度大小相同时抛射角θ越小，水平射程越大
C.初速度大小相同时抛射角θ越大，射高越大
D.抛射角θ相同时，初速度越大，水平射程不一定越大
15、[多选题] 在某一高度处将A球以大小为v1的初速度水平抛出．同时在A球正下方地面处将B球以大小为v2的初速度斜向上抛出．结果在B球上升至最高点时两球恰在空中相遇，相遇时两球的速度大小分别为vA、vB，不计空气阻力．则（ ）
A.v1＞v2
B.v1＜v2
C.vA＞vB
D.vA＜vB
16、 图1是“研究平抛物体运动“的实验装置图，通过描点画出平抛小球的运动轨迹．
（1）以下是实验过程中的一些做法，其中合理的有________
a．安装斜槽轨道，使其末端保持水平
b．每次小球释放的初始位置可以任意选择
c．每次小球应从同一高度由静止释放
d．为描出小球的运动轨迹，描绘的点可以用拆线连接
（2）实验得到平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点O为坐标原点，测量它们的水平坐标x和竖直坐标y，图2中y－x2图象能说明平抛小球运动轨迹为抛物线的是________．
17、[多选题] 在探究平抛运动的规律时，可以选用图中所示的各种装置图，以下操作合理的是（ ）
A.选用装置1研究平抛物体竖直分运动，应该用眼睛看A、B两球是否同时落地
B.选用装置2时，要获得稳定的细水柱所显示的平抛轨迹，竖直管上端A一定要低于水面
C.选用装置3时，要获得钢球的平抛轨迹，每次不一定要从斜槽上同一位置由静止释放钢球
D.除上述装置外，也能用数码照相机拍摄钢球做平抛运动的每秒十几帧至几十帧的照片，获得平抛轨迹
18、 如图甲所示，水平桌面上固定有一位于竖直平面内的弧形轨道A，其下端的切线是水平的，轨道的厚度可忽略不计。将小铁块B（视为质点）从轨道的固定挡板处由静止释放，小铁块沿轨道下滑，最终落到水平地面上。
（1）若测得轨道末端距离水平地面的高度为h，小铁块从轨道飞出到落地的水平位移为x。已知当地的重力加速度为g，则小铁块从轨道末端飞出时的速度v0＝________。
（2）若在竖直木板上固定一张坐标纸（如图乙所示），并建立直角坐标系xoy，使坐标原点O与轨道槽口末端重合，y轴与重垂线重合，x轴水平，实验中使小铁块每次都从固定挡板处由静止释放并沿轨道水平抛出，然后落到紧挨竖直木板放置的水平挡板上。依次下移水平挡板的位置，分别得到小铁块在水平挡板上的多个落点，在坐标纸上标出相应的点迹，再用平滑曲线将这些点迹连成小铁块的运动轨迹，在轨迹上取一些点得到相应的坐标（x1．y1）、（x2．y2）、（x3．y3）……利用这些数据，在以y为纵轴、x2为横轴的平面直角坐标系中做出y－x2的图线，可得到一条过原点的直线，测得该直线的斜率为k，则小铁块从轨道末端飞出的速度v0＝________。（用字母k、g表示）
（3）为减小误差，以下方法正确的是________（只有一个选项正确）
A．弧形轨道越光滑越好
B．木板面应与小铁块平抛运动的轨迹平面平行
C．从木板上取下坐标纸前，只须在坐标纸上记录O点
D．轨道下端的切线不必水平
答案解析
曲线运动的合成与分解
曲线运动的理解
例题1、
【答案】 B
【解析】 A、B、C、既然是曲线运动，它的速度的方向必定是改变的，那么速度也就一定在变化，加速度可以不变。所以AC错误，B正确；
D、曲线运动可能是匀变速运动，如平抛运动。故D错误。
例题2、
【答案】 C
【解析】 两个分位移与合位移遵循平行四边形定则（或者三角形定则），在位移三角形中，表示合位移的那条边不一定最大，A错误；力的合成与分解遵循平行四边形定则，运动的合成与分解也遵循平行四边形定则，B错误；分运动具有等时性，两个分运动总是同时进行的，故C正确；分运动具有独立性，两个分运动间相互不影响，D错误．
例题3、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、在t＝0时开始受到恒力F作用，加速度不变，做匀变速运动，若做匀变速直线运动，则最小速度可以为零，所以质点受力F作用后一定做匀变速曲线运动，故A正确；
B、物体在恒力作用下不可能做圆周运动，故B错误；
C、设恒力与初速度之间的夹角是θ，最小速度：v1＝v0sinθ＝0.5v0
可知初速度与恒力的夹角为钝角，所以是150°，故C错误；
D、在沿恒力方向上有：，
解得：，故D正确。
随练1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 A、物体在恒力作用下可能做曲线运动，如：平抛运动，故A错误；
B、当合力与速度不在同一条直线上时，物体做曲线运动，合外力可以变化，也可以不变，故B正确，D错误；
C、当合力与速度不在同一条直线上时，即其速度方向与加速度方向不在同一条直线上，故C正确；
随练2、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 由平衡条件得知，余下力的合力与撤去的两个力的合力大小相等、方向相反，则撤去大小分别为3N和4N的两个力后，物体的合力大小范围为1N≤F合≤7N，物体的加速度范围为：2m/s2≤a≤14m/s2；
A．撤去两个力后，可能做加速度大小为10m/s2的匀减速直线运动，故A正确；
B．撤去两个力后，加速度不可能为15m/s2，故B错误
C．匀速圆周运动的合外力是个变力，所以不可能做匀速圆周运动，故C错误；
D．若物体原来做匀速直线运动，撤去的两个力的合力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做匀变速曲线运动，加速度大小可能是5m/s2，故D正确．
小船过河及类小船过河
例题1、
【答案】 C
【解析】 A、若只增大υ1大小，不必改变θ角，则船在水流方向的分速度增大，因此船不可能垂直达到对岸，故A错误；
B、若只增大θ角，不必改变υ1大小，同理可知，水流方向的分速度在减小，而垂直河岸的分速度在增大，船不可能垂直到达对岸，故B错误；
C、若在增大υ1的同时，也必须适当增大θ角，这样才能保证水流方向的分速度不变，而垂直河岸的分速度在增大，则船还能垂直达到对岸，且时间更短，故C正确；
D、若增大υ1的同时，也必须适当减小θ角，则水流方向的分速度增大，不能垂直到达对岸，故D错误．
例题2、
【答案】 C
【解析】 A、最短时间为，则箭在沿马运行方向上的位移为：，
所以放箭处距离目标的距离为：，故A、B错误；
C、当放出的箭垂直于马运行方向发射，此时运行时间最短，所以最短时间＝，故C正确，D错误。
例题3、
【答案】 （1）发枪时间3s或 5s；
（2）击中靶心时战车的位移16m或36m．
【解析】 （1）将彩弹的运动分解为水平方向和垂直于轨道方向，
若要最短时间击中，则彩弹要垂直战车的速度方向，
那么最短时间tmin==1s；
设从静止开始经过t时间发枪，则有：L+ +at×1=v靶（t+1）
代入数据，解得：t=3s或 5s；
（2）根据运动学公式，击中靶心时战车的位移为x=
代入数据，解得：x=16m或36m
随练1、
【答案】 （1）欲使船渡河时间最短，船垂直河岸；最短时间为40s；船经过的位移大小为40m（2）欲使船航行距离最短，船航行速度与河岸所成角的余弦值为（或53°），渡河时间50 s．
【解析】 （1）船头垂直于河岸航行时所用时间最短，此种情况渡河时间为t1==s=40s；
此时船沿河岸方向的位移为x=v1t1=3×40m=120；那么船经过的位移大小为s===40m；（2）渡河位移最短，船头要偏向上游，设于河岸夹角为θ，则有v1=v2cosθ，由几何关系，则有：sinθ===；因此解得：θ=53°；
此时渡河时间为t2==s=50s；
答：（1）欲使船渡河时间最短，船垂直河岸，最短时间为40s，船经过的位移大小为40m；
（2）欲使船航行距离最短，船航行速度与河岸所成角的余弦值为（或53°），渡河时间50 s．
绳、杆“关联”速度
例题1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 船的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有v船cosθ＝v，则。
A、由上可知，汽车速度v1总小于小船的速度v2，故A错误，B正确；
C、如果汽车匀速前进，随着夹角θ在增大，则小船加速前进，故C正确，D错误；
例题2、
【答案】 A
【解析】 经过时间t，角OAB为ωt，则AM的长度为，则AB杆上M点绕A点的线速度v=．将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆上分速度等于M点绕A点的线速度v，则小环M的速度为：v′==．故A正确，B、C、D错误．
例题3、
【答案】 B
【解析】 对小车A的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则沿着绳子方向的速度大小为v1cos30°；
对B物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为v2cos60°，
由于沿着绳子方向速度大小相等，所以则有v1cos30°＝v2cos60°，因此。故B正确。
例题4、
【答案】 A
【解析】 车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有v0cosθ＝v绳，而货物的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度．则有v货cosα＝v绳；由于两绳子相互垂直，所以α＝θ，则由以上两式可得，货物的速度就等于小车的速度．
例题5、
【答案】 C
【解析】 设C点线速度方向与绳子沿线的夹角为θ（锐角），由题知C点的线速度为ωL，该线速度在绳子方向上的分速度就为ωLcosθ．θ的变化规律是开始最大（90°）然后逐渐变小，所以，ωLcosθ逐渐变大，直至绳子和杆垂直，θ变为零度，绳子的速度变为最大，为ωL；然后，θ又逐渐增大，ωLcosθ逐渐变小，绳子的速度变慢．所以知重物的速度先增大后减小，最大速度为ωL．故C正确，A、B、D错误．
随练1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 AC、在P、Q两点的速度具有对称性，故分解为沿着PQ方向和垂直PQ方向，在沿着PQ方向上做匀速直线运动，在垂直PQ方向上做匀变速直线运动，所以力F垂直PQ向下，在顶点处速度最小，只剩下沿着PQ方向的速度，故有：vmin＝vPcos37°＝4m／s，故A错误，C正确；
BD、把P点的速度分解在沿水平力F和垂直水平力F两个方向上，沿水平力F方向上滑块先做匀减速后做匀加速直线运动，有，当F方向速度为零时，时间为：，根据对称性，滑块从P到Q的时间为：t'＝2t＝3s，PQ连线的距离为S＝vpcos37°•t＝12m，故B正确，D错误。
随练2、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）小车做匀加速直线运动，由匀变速直线运动的位移公式得：
解得：；
（2）图示时刻小车速度为：，
将小车B位置的速度沿着平行绳子和垂直绳子方向正交分解，如图所示
根据平行四边形定则，有：，
重物速度：；
平抛的基本规律
落点在水平面、竖直面上
例题1、
【答案】 B C
【解析】 AB、根据得：平抛运动的时间．则知，b、c的高度相同，大于a的高度，可知a的飞行时间小于b的时间，b、c的运动时间相同，故A错误，B正确；
C、a、b相比较，因为a的飞行时间短，但是水平位移大，根据x＝v0t知，a的水平初速度大于b的水平初速度。故C正确；
D、b、c的运动时间相同，b的水平位移大于c的水平位移，根据x＝v0t知，b的初速度大于c的初速度。故D错误。
例题2、
【答案】 A
【解析】 忽略空气阻力，则小球被抛出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据，解得：
所以三次小球运动的时间比，
小球的水平位移相等，由可得，速度之比：；
例题3、
【答案】 C
【解析】 小球做平抛运动，在飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则知速度与水平方向的夹角为30°，则有：vy=v0tan30°
又 vy=gt，则得：
v0tan30°=gt，t=①
水平方向上小球做匀速直线运动，则有：
R+Rcos60°=v0t ②
联立①②解得：v0=．
随练1、
【答案】 C
【解析】 三个物体都做平抛运动，在竖直方向上是自由落体运动，
由
可知下落的距离最大的物体的运动时间最长，
所以运动时间的关系为ta＞tb＞tc，
以C点所在的平面为水平面，画一条水平线，如图所示，
从图中可以看出三个球的竖直位移相同，所以它们的运动时间t相同，
由X＝V0t可知，水平位移大的物体的初速度大，
所以初速度的关系为vc＞vb＞va。
随练2、
【答案】 D
【解析】 小球的运动轨迹如图所示，由图可知，O到A的时间和A到B的时间相等，
由B到Q的时间为：
则运动的总时间
小球平抛运动的初速度为：，故D正确，ABC错误。
与斜面相关的平抛运动
例题1、
【答案】 A
【解析】 小球撞在斜面上的速度与斜面垂直，将该速度分解，如图．
则tan60°=，
则vy=v0tan60°=gt，所以t=．
例题2、
【答案】 B
【解析】 设AB之间的距离为L，
则：水平方向：Lcosθ=V0t
竖直方向：Lsinθ=
联立解得：t=
例题3、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、分析各球沿1运动轨迹方向的力可知，1、3两球沿1运动轨迹方向的加速度相同且大于2、4两球沿1运动轨迹方向的加速度，所以3运动的时间小于2、4运动的时间，故A错误、B正确；
C、各小球运动过程中的机械能均守恒，则1、2、4球到达底部时的速度大小相等且小于3球的速度，故C错误、D正确．
故选：BD．
例题4、
【答案】 B
【解析】 蜘蛛的运动轨迹如下所示：
AC之间的距离为：1m－0.8m＝0.2m，由图可知：
x＝y＋0.2m…①
根据平抛运动规律有：
x＝v0t…②
…③
因合速度方向与水平夹角为45°，则有：gt＝v0，④
联立①②③④解得：v0＝2m／s，故ACD错误，B正确。
随练1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 A、三个小球做的都是平抛运动，从图中可以发现落在c点的小球下落的高度最小，水平位移最大，由，可知，，所以落在c点的小球飞行时间最短，
由x＝v0t知：落在c点的小球的初速度最大，故A错误；
B、小球做的是平抛运动，加速度都是g，速度的变化量为△v＝at＝gt，所以，运动的时间长的小球速度变化量的大，所以a球的速度变化量最大，故B正确；
C、设左侧斜面的倾角为α，小球落在左边斜面上时，有，得
设落在左边斜面时小球的瞬时速度方向与水平方向的夹角为β．则，所以β是一定的，故落在左边斜面时小球的瞬时速度方向不变，故C正确；
D、对于落在b、c两点的小球，竖直速度是gt，水平速度是v，然后斜面的夹角是arctan0.5，要合速度垂直斜面，把两个速度合成后，需要，即v＝0.5gt，那么在经过t时间的时候，竖直位移为0.5gt2，水平位移为vt＝（0.5gt）•t＝0.5gt2 即若要满足这个关系，需要水平位移和竖直位移都是一样的，显然在图中b、c是不可能完成的，因为在b、c上水平位移必定大于竖直位移，所以落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直，故D错误。
随练2、
【答案】 （1）3s（2）m/s
【解析】 （1）运动员由A到B做平抛运动
水平方向的位移：x=v0t
竖直方向的位移：y=gt2
根据几何关系，有：
联立解得：
t==3s
（2）在B点着陆时的竖直速度：
vy=gt=10×3=30m/s
根据运动的合成，在B点着陆时的速度：
m/s
与初速度方向之间的夹角φ应满足：
随练3、
【答案】 B
【解析】 过b做一条与水平面平行的一条直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v水平抛出时，小球落在水平面上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在我们所画水平线上c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。
平抛和斜抛的应用
抛体运动中临界问题
例题1、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）球在空中做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，则有：
解得，球从击出至落地所用时间为：
（2）球在水平方向上做匀速直线运动，则有：L＝vt
解得，球的速度为：。
例题2、
【答案】 （1）
（2）
【解析】 （1）对打在中点的微粒有：
可得：
（2）打在B点的微粒：，
可得：
同理，打在A点的微粒初速度：
微粒初速度范围：
例题3、
【答案】 （1）10m／s
（2）；0.2
（3）
【解析】 （1）由平抛运动竖直方向：，得到
水平方向：，得到：；
（2）竖直速度：
合速度：，方向：
（3）水平方向：
落在最上端，竖直方向：，又因为
得到：
初速度
竖直方向：，得到：
初速度
故速度范围为：
例题4、
【答案】 D
【解析】 若球与网恰好不相碰，根据3h﹣h=得，，水平位移的最小值，则最小速度．
若球与球台边缘相碰，根据3h=得，，水平位移的最大值为xmax=，则最大速度，故D正确，A、B、C错误．
故选：D．
随练1、
【答案】 D
【解析】 A、由于两个球都只受到重力的作用，加速度都是g，加速度恒定不变，都是匀变速运动，故A错误。
BC、两个球的加速度都是重力加速度g，由△v＝at＝gt，知它们速度的变化量相同，即速度变化量的大小相等，方向相同，方向都竖直向下，故BC错误。
D、相遇时竖直方向有：
得：
由于相遇点在S2球上升的最高点，所以有：
联立得：
相遇时S2球的位移为：，即相遇点在N点上方处，故D正确。
随练2、
【答案】 （1）；
（2）
（3）；
【解析】 （1）依据几何关系，水平距离．
竖直距离．
（2）从抛出到障碍物上方，方向：，方向：，
由以上两式得．
（3）从抛出到落地：方向：，落地速度：．
可以知道小球落地速度为：．
依据平抛运动，，解得水平位移．
依据运动学公式．解得．故与竖直方向的夹角为，，故．
斜抛的运动规律
例题1、
【答案】 A
【解析】 导弹到达最高点时，速度大小为v1cosα，此时高度
从最高点时开始计时，相遇时导弹运行的时间，
在这段时间内导弹在竖直方向上的位移，
拦截导弹在这段时间内向上的位移：，
则：H＝h1＋h2＝v2t，
所以：，故A正确、BCD错误。
例题2、
【答案】 B
【解析】 采用逆向思维，小球做斜抛运动看成是平抛运动的逆反运动，将抛出速度沿水平和竖直方向分解，有：
球撞墙前瞬间的速度等于0.8V，反弹速度大小为：
反弹后小球做平抛运动，当小球的速度大小再次为V时，竖直速度为：
速度方向与水平方向的正切值为：，故B正确，ACD错误。
例题3、
【答案】 C
【解析】 A、橄榄球在空中运动的加速度等于宝剑下落的加速度，均等于重力加速度g，故A错误；
B、若以小于v0的速度沿原方向抛出，若速度过小，则橄榄球可能不能运动到球的正下方就落地了，故不一定能在C点下方击中剑尖，故B错误；
C、若以大于v0的速度沿原方向抛出，则水平方向的速度增大，运动到相遇点的时间减小，橄榄球相同时间下降的高度减小，一定能在C点上方击中剑尖，故C正确；
D、若抛出的速度太小，可能橄榄球不会与剑尖相遇，故D错误。
例题4、
【答案】 B
【解析】 由于篮球垂直击中A点，其逆过程是平抛运动，
当水平速度越大时，抛出后落地速度越大，与水平面的夹角则越小。
若水平速度减小，则落地速度变小，但与水平面的夹角变大。
因此只有增大抛射角，同时减小抛出速度，才能仍垂直打到篮板上。
所以只有B正确，ACD均错误。
随练1、
【答案】 D
【解析】 A．斜抛运动和平抛运动都是只受重力作用，加速度恒为g的匀速曲线运动，故A错误；
B．平抛运动的速度一直增大，斜抛运动的速度是增大还是减小，要看速度与重力的夹角，成锐角，速度增大；成钝角，速度减小．斜下抛运动也是速度增大的运动，故B错误；
C．变速直线运动的物体，加速度和运动方向相同时，物体做匀加速度直线运动，当加速度减小时，物体仍然加速，故C错误；
D．根据加速度的定义式知，速度的变化量，g一定，所以在相等的时间内速度的变化都相等，所以D选项是正确的．
随练2、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 暂无解析
随练3、
【答案】 D
【解析】 在最高点．依据牛二定律即．
故曲率半径为．故D正确，ABC错误．
实验：研究平抛运动
研究平抛运动的基本实验
例题1、
【答案】 （1）B
（2）小铁球1
（3）自由落体
【解析】 （1）斜槽末端必须切线水平，这样做的目的是保证小球飞出时，初速度水平，故选：B。
（2）将斜槽出口略向下倾斜，则小球1离开槽口后有向下的分速度，而小球3的初速度为零，则小铁球1先达到P点。
（3）若轨道A、B出口均水平，调节小铁球3的水平位置多次实验，发现小铁球1和小铁球3总是在空中相碰，可知小铁球1在竖直方向上的运动规律与小铁球3相同，即小铁球1在竖直方向上做自由落体运动。
例题2、
【答案】 （1）AB
（2）AC
（3）1.5；-15；－5
【解析】 （1）实验中不需要测量小球的质量，所以不需要天平，运动的时间可以根据竖直位移求出，不需要秒表，故不需要的器材为：AB．
（2）A、为了保证小球平抛运动的初速度水平，实验中所用斜槽末端的切线必须调到水平，故A正确．
BC、为了保证小球的初速度大小相等，每次让小球从斜槽的同一位置由静止释放，轨道不一定需要光滑，故B错误，C正确．
D、实验中，为了减小空气阻力的影响，选择质量大一点的小球，故D错误．
（3）在竖直方向上，根据△y＝2L＝gT2得，相等的时间间隔，则平抛运动的初速度．
B点的竖直分速度，则抛出点到B点的运动时间，
抛出点到B点的水平位移xB＝v0t＝1.5×0.2m＝0.3m＝30cm，则初位置的横坐标x＝15－30cm＝－15cm．
抛出点到B点的竖直位移，则初位置的纵坐标y＝15－20cm＝－5cm．
随练1、
【答案】 BCD；
【解析】 （1）A、小球在运动中摩擦力每次都相同，故不需光滑，故A错误；
B、为了保证小球做平抛运动，斜槽末端必须水平，故B正确；
C、而为了让小球每次做同样的平抛运动，小球每次应从同一位置滚下，故C正确；
D、为了得出更符合实际的轨迹，应尽量多的描出点，故D正确。
（2）因两段对应的水平距离相等，故两段运动的时间相等，
而竖直位移分别为：6L和10L；
故在竖直方向由可得，水平速度。
随练2、
【答案】 （1）C
（2）偏大
（3）1.5；2.5
【解析】 （1）坐标原点为小球在斜槽末端时，小球球心在木板上的投影，故C正确。
（2）根据，x＝v0t得：，以（1）题中A图建立坐标系，竖直位移y测量值偏小，水平位移x测量准确，则初速度测量值偏大。
（3）在竖直方向上，根据△y＝2L＝gT2得：，则初速度为：
，B点的竖直分速度为：，根据平行四边形定则知，B点的速度大小为：。
随练3、
【答案】 （1）ACD
（2）①1m/s；②1.25m/s；③0.075s
【解析】 （1）A、为了保证小球的初速度水平，需调节斜槽的末端切线水平，故A正确。
B、为了保证小球的初速度相等，每次从斜槽的同一位置由静止释放小球，故B错误，C正确。
D、小球运动时不应与木板上的白纸相接触，防止由于摩擦改变小球的运动轨迹，故D正确。
E、将球的位置记录在纸上后，取下纸，用平滑曲线连线，作出小球的运动轨迹，故E错误。
（2）①在竖直方向上，根据△y＝L＝gT2得，，则初速度。
②b点的竖直分速度，根据平行四边形定则知，b点的速度。
③从抛出点到b点的时间。
研究平抛运动的创新和改进
例题1、
【答案】 等于；等于
【解析】 暂无解析
例题2、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
例题3、
【答案】 （1）是
（2）8
（3）0.8
（4）
【解析】 （1）因为竖直方向上相等时间内的位移之比为1：3：5：7，符合初速度为零的匀变速直线运动特点，因此可知a点的竖直分速度为零，a点为小球的抛出点．
（2）由照片的长度与实际背景屏的长度之比为1：4可得乙图中正方形的边长l＝4cm；
竖直方向上有：△y＝2L＝g′T2，
解得：．
（3）水平方向小球做匀速直线运动，因此小球平抛运动的初速度为：
．
（4））b点竖直方向上的分速度．
则．
随练1、
【答案】 B
【解析】 AB、让两球同时开始运动，甲图中A球平抛运动，B球做自由落体运动，两球同时落地，可知A球在竖着方向上的运动规律与B球相同，即平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动，故A错误，B正确。
CD、乙图中，上面球做平抛运动，下面球在水平面上做匀速直线运动，若两球相碰，说明平抛运动在水平方向上做匀速直线运动。故CD错误。
随练2、
【答案】 （1）初速度都相同
（2）水平方向实际运动的距离
（3）2
【解析】 （1）实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端水平，保证做平抛运动，初速度水平，每次让小球从同一位置由静止释放，是为了保持小球水平抛出的初速度相同。
（2）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，每次将B板向内侧平移距离d，是为了保持相邻痕迹点的水平距离大小相同，即等于小球在水平方向实际运动的距离。
（3）由于物体在竖直方向做自由落体运动，故在竖直方向有△h＝gT2，由图可知：△h＝h2－h1＝（40cm－15cm）－15cm＝10cm＝0.1m
将△h＝0.1m，g＝10m／s2
代入△h＝gT2解得：
。
物体在水平方向做匀速直线运动故s＝v0T，将s＝20cm＝0.2m代入解得：
．
拓展
1、
【答案】 A
【解析】 A、无论是物体速度的大小变了，还是速度的方向变了，都说明速度是变化的，都是变速运动，做曲线运动的物体的速度方向在时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动。所以A正确。
B、物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度方向不在同一条直线上，但合外力方向不一定变化，如平抛运动，故B错误。
C、物体做圆周运动时所受的合外力不一定是其向心力，指向圆心的合力是向心力。故C错误；
D、匀速圆周运动受到的向心力是始终指向圆心的，合力垂直于初速度方向的方向，并不一定始终与速度的方向垂直，比如平抛运动的受力就是这样，所以D错误。
2、
【答案】 D
【解析】 A、当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，t=．故A错误．
B、当合速度的方向与河岸垂直时，渡河位移最短，最短位移为d．故B错误．
C、当船头与河岸垂直，渡河时间仅与静水速有关，与水流速无关．故C错误．
D、将船分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，静水速的方向（即船头与河岸的夹角）不同，垂直于河岸方向上的分速度不同，则渡河时间不同，但与水流速无关．故D正确．
3、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 A．从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有向下游的加速度，小船后具有向上游的加速度，故水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A正确，B错误．
C．由于船身方向垂直于河岸，无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短，故C正确，D错误．
4、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 A、B、船运动的速度是沿绳子收缩方向的速度和绕定滑轮的摆动速度的合速度．如右图所示根据平行四边形定则有，v人=vcosθ；故A错误，B正确．
CD、对小船受力分析，如右图所示，根据牛顿第二定律，有：Fcosθ﹣Ff=ma
因此船的加速度大小为：a=，故C正确，D错误．
5、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
6、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 暂无解析
7、[多选题]
【答案】 A D
【解析】
8、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 炸弹被射出后，做平抛运动，假设敌舰不动，则炸弹水平初速度为v0=v1﹣v2，
竖直方向有，由h=得：t=，水平方向位移 x=v0t=（v1﹣v2）投弹时，在敌舰的前方爆炸，说明炸弹相对敌舰的水平位移x偏大，则：
A．适当减小轰炸机的初速度，抛出点的高度不变，炸弹飞行时间不变，由上式知，炸弹相对敌舰的水平位移x减小，可击中敌舰，故A正确；
B．适当增大轰炸机的初速度，抛出点的高度不变，炸弹飞行时间不变，由上式知，则炸弹相对敌舰的水平位移x更大，还在敌舰前方爆炸，故B错误；
C．轰炸机的初速度不变，适当降低投弹的高度，则炸弹相对敌舰的水平位移x变小，可以击中敌舰，故C正确；
D．轰炸机的速度不变，适当提高投弹的高度，炸弹飞行时间增大，则炸弹相对敌舰的水平位移x更大，还是在敌舰的前方爆炸，故D错误．
9、
【答案】 （1）2.8s
（2）1.2s
【解析】 （1）设旅客质量为m，在滑梯滑行过程中加速度为a，需要时间为t，则有：
mgsinθ－μmgcosθ＝ma
根据匀加速直线运动位移时间公式得：
代入数据解得：t＝2.8 s
（2）旅客先做平抛运动，设水平位移为x，竖直位移为y，在滑梯上落点与出发点之间的距离为为s，运动时间为t1，则有：
x＝υ0t1…①
竖直方向位移：...②
...③
总位移：...④
旅客落到滑梯后做匀加速直线运动，设在滑梯上运动时间为t2，通过距离为s1，
则s1＝L－s…⑤
...⑥
由①②③④⑤⑥解得：s＝3m，t1＝0.6 s，t2＝1 s
节约的时间为：△t＝t－（t1＋t2）
代入数据解得△t＝1.2s
10、
【答案】 A
【解析】 在竖直方向上有：Lsinθ=gt2，
解得：t=，
则初速度为：v0==Lcosθ=cosθ．故A正确，B、C、D错误．
故选：A．
11、
【答案】
【解析】 设斜面倾角为θ，如图所示：
根据平抛运动，撞到斜坡A点时：
水平分速度：vx＝v，
竖直分速度：vy＝gt且，
解得；
位移关系：水平分位移：x＝vt，
竖直分位移：，；
联立解得：。
答：炸弹离开轰炸机后在空中飞行的时间为。
12、
【答案】 B
【解析】 由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的．由于球与地面的碰撞是完全弹性碰撞，设第一球自击出到落地时间为t1，第二球自击出到落地时间为t2，则：t1=3t2①
由于一、二两球在水平方向均为匀速运动，水平位移大小相等，设它们从O点出发时的初速度分别为v1、v2，由x=v0t得：
v2=3v1②
所以有，所以两只球飞过球网C处时水平速度之比为1：3，故B正确．
13、[多选题]
【答案】 B C D
【解析】 甲做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，所以在未落地前任何时刻，两球都在一竖直线上，最后在地面上相遇，可能在P点前，也可能在P点后；甲在竖直方向上做自由落体运动，所以在未落地前的任何时刻，两球在同一水平线上，两球相遇点可能在空中，可能在P点。所以，若三球同时相遇，则一定在P点，若甲丙两球在空中相遇，乙球一定在P点，若甲乙两球在水平面上相遇，丙球一定落地。故B、C、D正确，A错误。
14、
【答案】 C
【解析】 A、物体做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，则物体到达最高点的速度为v0cosθ，故A错误。
B、对于做斜上抛运动的物体，初速度v0大小一定时，抛射角θ越小，竖直分速度越小，水平分速度越大，水平射程不一定大，当抛射角接近45°时，水平射程最大，故B错误。
C、初速度大小相同时抛射角θ越大，竖直分速度越大，则射高越大，故C正确。
D、抛射角θ相同时，初速度越大，竖直分速度越大，射高越大，运动时间越长，而且水平分速度越大，水平射程越大，故D错误。
15、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 AB、A球做平抛运动，B球做斜抛运动，水平方向都做匀速直线运动。
因为两球在空中相遇，知水平位移相等，由x＝vxt知，水平分速度相等，有v1＝v2cosθ，θ是B球的初速度与水平的夹角，则得v1＜v2．故A错误，B正确。
CD、相遇时，A球的速度大小为
在B球上升至最高点时，vB＝v2cosθ＝v1．可得，vA＞vB．故C正确，D错误。
16、
【答案】 （1）ac
（2）c
【解析】 （1）a、通过调节使斜槽末端保持水平，是为了保证小球做平抛运动，故a正确；
bc、因为要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故b错误，c正确；
d、用描点法描绘运动轨迹时，应将各点连成平滑的曲线，不能练成折线或者直线，故d错误．
（2）物体在竖直方向做自由落体运动，；水平方向做匀速直线运动，x＝vt；
联立可得：，因初速度相同，故为常数，故y－x2应为正比例关系，故c正确，abd错误．
17、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、选用装置图1研究平抛物体竖直分运动，应该是听声音的方法判断小球是否同时落地，故A错误；
B、A管内与大气相通，为外界大气压强，A管在水面下保证A管上出口处的压强为大气压强。因而另一出水管的上端口处压强与A管上出口处的压强有恒定的压强差，保证另一出水管出水压强恒定，从而水速度恒定。如果A管上出口在水面上则水面上为恒定大气压强，因而随水面下降，出水管上口压强 降低，出水速度减小。故B正确；
C、选用装置图3要获得钢球的平抛轨迹，每次一定要从斜槽上同一位置由静止释放钢球，这样才能保证初速度相同，故C错误；
D、用数码照相机拍摄时曝光时间的固定的，所以可以用来研究平抛运动，故D正确。
18、
【答案】 （1）
（2）
（3）B
【解析】 （1）在竖直方向
由得：
在水平方向
（2）由x＝vt、得到轨迹方程为：；
则y－x2的图线是过原点的直线，其斜率为：
故有：
（3）A、为了保证小铁块的初速度相等，每次让小铁块从斜槽的同一位置由静止释放，斜槽轨道不一定需要光滑，故A错误。
B、木板面应与小铁块平抛运动的轨迹平面平行，才能确保小铁块位置的准确性，故B正确；
C、从木板上取下坐标纸前，必须通过小铁块的抛出位置，在坐标纸上记录O点，故C错误，
D、为了保证小铁块的初速度水平，斜槽末端必须水平，故D错误。
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