2023南阳高三上学期1月期末考试数学（理）含解析

2022年秋期高中三年级期终质量评估

数学试题（理）

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效

2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．

第I卷选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合，，则＝（    ）

A．［－1，3] B． C．（0，2] D．（0，3]

2．已知复数z满足，则（    ）

A．1 B． C． D．2

3．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（    ）

A． B． C． D．

4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影是（    ）

A． B．－1 C．1 D．

5．已知，，若，，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，点M在C的右支上，直线与C的左支交于点N，若，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

7．设f（x）是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，令g（x）＝f（x）＋f（x＋1），则函数y＝g（x）的最大值为（    ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

8．已知函数在上单调递增，且恒成立，则的值为（    ）

A．2 B． C．1 D．

9．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于点A，B（A在x轴上方），与抛物线准线交于点M．若|BM|＝2|BF|，则直线l的倾斜角为（    ）

A．60° B．30°或150° C．30° D．60°或120°

10．对于函数，，下列说法正确的是（    ）

A．函数f（x）有唯一的极大值点 B．函数f（x）有唯一的极小值点

C．函数f（x）有最大值没有最小值 D．函数f（x）有最小值没有最大值

11．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（    ）

A．5052 B．5057 C．5058 D．5063

12．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，若点P为的费马点，则（    ）

A．－6 B．－4 C．－3 D．－2

二、填空题（本大题共4小题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》每小题5分，共20分）

13．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）

14．如图，△ABC内接于椭圆，其中A与椭圆右顶点重合，边BC过椭圆中心O，若AC边上中线BM恰好过椭圆右焦点F，则该椭圆的离心率为______．

15．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为______．

16．已知函数的值域为，则实数m取值范围为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）

17．（本题满分12分）

已知数列是各项均为正数的等差数列，是其前n项和，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求取得最大值时的n．

18．（本题满分12分）

在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响，

（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；

（2）若经过两轮踢球，用表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求．

19．（本题满分12分）

如图，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，，PB⊥底面ABCD，，设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PAB；

（2）设Q为l上的动点，求PD与平面QAB所成角的正弦值的最大值．

20．（本题满分12分）

已知函数．

（1）当a＝1时，求证：；

（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

21．（本题满分12分）

已知椭圆，离心率为，其左右焦点分别为，，点A（1，－1）在椭圆内，P为椭圆上一个动点，且的最大值为5．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），且，求四边形的面积．

选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），

（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；

（2）若点A，B为曲线C上的两个点且，求证：为定值．

23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）

已知存在，使得成立，a，．

（1）求a＋2b的取值范围；

（2）求的最小值．

2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．150    14．　　15．    16．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解析】

（1）当时，，解得：或者，

因为，故．

方法一：因为，所以，

又，即可得．

方法二：当时，，易得：．

因为数列是等差数列，故．

（2）由（1）知，，故．

，

当时，；

当时，；

当n>7时，；

故数列的最大项为，，即或8

18．【解析】

（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，

由题意得：，，

甲的得分X的可能取值为－1，0，1，

，

，

所以的分布列为：

所以

（2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种；

分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分；

或者甲第1轮得1分，第2轮得0分；

或者甲两轮各得1分，

于是：

19．【解析】

（1）证明：因为底面，所以．

又底面为直角梯形，且，所以．

因此平面．

因为，平面，

所以平面．

又由题平面与平面的交线为，

所以，故平面．

（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

由（1）可设，则．设是平面的法向量，

则，即，可取

所以．

设与平面所成角为，

则；

因此：当时，可得（当且仅当时等号成立）

又当时，易知不符合题意．

所以与平面所成角的正弦值的最大值为．

20．【解析】（1）

故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在（1，＋∞）上是单调减少的．

所以，即

（2）当a＝0时，，不存在零点

当时，由得，

设，则

令，易知在上是单调减少的，且．

故在上是单调增加的，在上是单调减少的．

由于，，且当时，

故若函数有且只有一个零点，则只须或

即当时，函数有且只有一个零点．

21．【解析】

（1）由题意知：，即，

又由椭圆定义可得：

，

又∵，且，

故可得：，，．

即椭圆：的方程为：

（2）延长交椭圆于点，由，

根据椭圆的对称性可得．

设，，则．显然，．

设直线的方程为，

联立得，，

∴①

②

又，得③

由①②③得，．

得直线的方程为，即，

设到直线的距离为，

则由距离公式得：，

又由弦长公式得：

将代入上式得，

设四边形的面积为，

易知

【选做题】

22．【解析】

（1）因为，

所以曲线的直角坐标方程为．

因为，，

所以，曲线的极坐标方程为：

（2）由于，故可设，

，，

所以

．

即为定值

23．【解析】

（1）由题知：，

因为存在，使得，所以只需，

即的取值范围是．

（2）方法一：

由（1）知，因为，不妨设，

当时，，

当时，有，

整理得，，此时的最小值为；

综上：的最小值为．

方法二：

令，不妨设，，

因为，所以，所以：，

即的最小值为．