2021-2022学年上海市外国语大学附属大境中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市外国语大学附属大境中学高二上学期12月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市外国语大学附属大境中学高二上学期12月月考数学试题 一、填空题1．已知直线､和平面，若，，则与的关系是___________.【答案】或．【分析】本题可以利用已知条件，然后在图中画出满足条件的图例，然后可以通过图例判断出直线与平面的位置关系．【详解】直线和平面，若，且，则与的位置关系是：或．如图：故答案为：或．2．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，事件“取出的2球中至少有1个白球”的对立事件是________.【答案】取出的2球都是红球【分析】根据对立事件的概念即得.【详解】从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，结果有“取出的2球都是红球”，“取出的2球是一红一白”，“取出的2球都是白球”，所以事件“取出的2球中至少有1个白球”的对立事件是“取出的2球都是红球”.故答案为：取出的2球都是红球.3．若圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为__________________．【答案】33π##3π3【分析】根据底面圆周长求出底面圆半径，根据侧面积求得圆锥的母线，由勾股定理可得圆锥的高，再由圆锥的体积公式即可求解.【详解】设圆锥底面圆半径，母线长为，因为圆锥的底面周长为，侧面积也为，所以，，解得：，，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为 故答案为：.4．在公差d不为零的等差数列中，且成等比数列，则d=____【答案】3【分析】由数列是等差数列得，由成等比数列，所以，联立两式求出和即可.【详解】由题意，数列是等差数列，所以①，又成等比数列，所以，即②，联立①②式，解得，，.故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等比中项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.5．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．【答案】【分析】利用与关系即得.【详解】因为，当时，，当时，，所以．故答案为：．6．已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_______.【答案】【分析】由已知中事件A、B互斥，由它们都不发生的概率为，且，可求，进而根据对立事件概率公式得到答案.【详解】解：事件A、B互斥，且，它们都不发生的概率为，，解得，,.故答案为：.7．设等差数列的前项和为，且，，则当___时，最大．【答案】【分析】先用公式将，表示出来，进而得到等差数列从正变负的临界，从而得到何时和取得最大.【详解】又即故答案为：8．已知数列满足，，则的最小值为______.【答案】6【分析】根据题意，利用叠加法求得，得到，结合基本不等式和，进行验证，即可求解.【详解】由题意，数列满足，，可得 ，则，当且仅当时，即时，等号成立，又因为，当时，；当时，，所以的最小值为.故答案为：69．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为______.【答案】【分析】画出正四棱锥及对角截面，找到外接球的球心，设，利用PO=OB=r建立方程，求出，进而求出半径和球的表面积.【详解】如图所示，正四棱锥P-ABCD，PE为正四棱锥的高，因为正四棱锥的顶点都在同一球面上，所以外接球球心一定在该棱锥的高上，设球心为O，半径为r，连接EB，OB，则EB为正方形ABCD对角线的一半，PO=OB=r.因为棱锥的高为，底面边长为，所以PE=2，BE=，设，则，由勾股定理得：，所以，解得：，所以，所以该球的表面积为故答案为：.10．如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是______．【答案】【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、余弦定理可求出最短距离.【详解】圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长为，∴，则，由余弦定理可知，．故答案为：．11．已知二面角为60º，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______________.【答案】【分析】首先作出二面角的平面角,然后再构造出异面直线与所成的角,利用解直角三角形,可求出问题的答案.【详解】如图所示:过作于,于,再过作的平行线与过作的垂线交于,连接,则为二面角的平面角,易知四边形为矩形.由知,所以为与所成的角,设,因为,则,又由条件知,且,所以在△中,,所以在△中,.故答案为: .【点睛】本题主要考查异面直线所成角,二面角,直线与平面间的垂直关系,属于中档题.12．如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为______.【答案】【分析】因为C1到平面BB1D1D（即三棱锥底面O1MH）的距离为定值，所以当△O1MH的面积取得最小值时，三棱锥的体积最小，将平面BB1D1D单独画图可得，当点M在点B处时，△O1MH的面积有最小值，求出三棱锥的体积即可．【详解】因为直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60∘，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=,O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当△O1MH的面积取得最小值时，三棱锥的体积有最小值．将平面BB1D1D单独画图可得，当B点到O1H的距离最小时，△O1MH的面积有最小值．过点B做BF//O1H，可得直线BF上方的点到O1H的距离比直线BF上的点到O1H的距离小，而线段BD上除B点外的所有点都在直线BF下方，到O1H的距离比B点到O1H的距离大．即当M点在B点时，△O1MH的面积取得最小值，且三棱锥的体积有最小值．连接O1B, 则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴===，∴===．故答案为．【点睛】本题考查了四棱柱的结构特征和三棱锥的体积计算，动态动点的最值问题需要先确定点的位置，属于较难题． 二、单选题13．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若为两个事件，则；③若事件两两互斥；④若满足且，则是对立事件.其中错误的命题个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，以及互斥事件的求和公式，对题中的命题进行分析判断即可.【详解】解：对于①，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故①正确；对于②，若为两个互斥事件，则，若为两个不互斥的事件，则，故②错误；对于③，若事件两两互斥，故③错误；对于④，若满足且，则是对立事件，故④正确，所以错误的个数为2个.故选：C.14．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【分析】利用可能平行判断，利用线面平行的性质判断，利用或与异面判断，与可能平行、相交、异面，判断.【详解】，，则可能平行，错；，，由线面平行的性质可得，正确；，，则， 与异面；错，，，与可能平行、相交、异面，错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.15．将向量，，，组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和，如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列.若向量列是等差向量列，那么下述四个向量中，与一定平行的向量是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】类比等差数列求和公式和等差中项的性质，以及向量平行的条件即可求解.【详解】由新定义可设每一项与前一项的差都等于同一个向量，类比等差数列的求和公式可得：，所以与一定平行的向量是，故选：B.16．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设易知，设利用正方形、正三角形的性质及勾股定理求出、、，即可知它们的比例关系.【详解】设四棱锥为，三棱锥为，则三棱锥为正四面体，四棱锥为正四棱锥，显然．设，正方形的中心为，正三角形的中心为，连接，，，，则，，，，即，，．故选：C 三、解答题17．一个袋子中装有四个形状和大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中不放回地随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,记该球的编号为,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,记该球的编号为,求的概率.【答案】（1）（2）【解析】(1)根据题意，分别确定“从袋中不放回地随机取两个球”对应的总的基本事件个数，以及满足“从袋中取出的两个球的编号之和不大于4”对应的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；(2)根据题意，分别确定总的基本事件个数，以及满足“”的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】(1)从袋中不放回地随机取两个球,其样本点有,,,,,,共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的样本点有,,共2个.因此所求事件的概率为.(2)先从袋中随机取一个球,记其编号为,放回后,再从袋中随机取一个球,记其编号为,其一切可能的结果组成的样本点有,,,,,,,,,,,,,,,,共16个.其中满足条件的样本点有,,,共3个,所以的概率为.【点睛】本题主要考查古典概型的概率问题，熟记概率计算公式，以及列举法确定基本事件个数即可，属于常考题型.18．设是等比数列，公比大于0，是等差数列，.已知，，，.（1）求和的通项公式：（2）设数列满足，，其中，求数列的前n项和.【答案】（1）；；（2）【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可得出结果.（2）利用分组求和法和等比数列的前n项和公式，即可得出结果.【详解】（1）解得或（舍）所以所以（2），设19．数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的最小值及相应的n的值.【答案】(1)；(2)最小值为，或9. 【分析】（1）由题设的关系可得，并验证的关系，然后利用等比数列的定义及通项公式即得；（2）由题可得，应用作差法并讨论n判断正负，进而即得.【详解】（1）因为，，所以，所以，因为，所以，两式相减得，即，又，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以；（2）由题可知，所以，所以当时，；当时，；当时，，即所以当或9时，数列取得最小值，．20．如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．(1)若，求直线与平面所成角的大小；(2)若，求点到平面的距离．【答案】(1)(2)1 【分析】（1）过点作，连接，根据直三棱柱和，易证面，从而得到为直线与平面所成的角求解；（2）利用等体积法，由求解.【详解】（1）解：如图所示：过点作，连接，在直三棱柱中，面面，面面，且，面所以面，又面ABM，所以面ABM面，又面面=AM，，面则面，则为直线与平面所成的角，又因为，则，所以，，所以直线与平面所成角的大小为；（2）易得点到平面的距离为，，，设点到平面的距离为 ，因为，即，解得.21．如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与的夹角为，且.(1)求该圆锥的表面积；(2)求过顶点的平面截该圆锥所得的截面面积的最大值；(3)点在线段上，且，是否存在使得异面直线与所成角大小为？若不存在，请说明理由；若存在，请求出.(结果用反三角函数值表示)【答案】(1)(2)(3)存在，或 【分析】(1)利用圆锥的侧面积公式和圆的面积公式即可求解；(2)取AB的中点M，然后结合已知条件用表示出AB、PM的长度，进而求出截面面积，利用一元二次函数的性质即可求解；(3)在OB上取一点F，结合已知条件，在三角形AOF中通过余弦定理用表示出AF，然后在三角形AEF中，再次利用余弦定理求解即可.【详解】（1）圆锥的侧面积公式，底面圆的面积，故圆锥的表面积.（2）取AB的中点为M，连接PM，OM，如下图所示：因为AB的中点为M，，所以，，因为底面半径与的夹角为，且，所以，，即，因为，所以，由题意过顶点的平面截该圆锥所得的截面为，的面积，当且仅当时，即时，的面积由最大值，故过顶点的平面截该圆锥所得的截面面积的最大值为.（3）假设存在这样的使得异面直线与所成角大小为，在OB上取一点F，使得，连接EF，AF，如下图：从而异面直线与所成角为直线与直线所成角为，即，此时，由已知条件可得，由，，易得，，，在中，由余弦定理可知，，在中，由余弦定理可知，，解得或，故存在这样的使得异面直线与所成角大小为，此时或.