2021-2022学年上海市西南位育中学高二下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市西南位育中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．在中，，则这个三角形的形状为(　　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

【详解】解：

2．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

【答案】D

【分析】函数可变为，再根据左右平移原理即可得出答案.

【详解】解：由函数，

则为了得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位即可.

故选：D.

3．用数学归纳法证明：“”，设，从到时（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】计算出，结合的表达式可得出结果.

【详解】因为，

则，

即.

故选：B.

4．关于问题：“函数的最大、最小值与数列的最大、最小项”，下列说法正确的是（    ）

A．函数有最大、最小值，数列有最大、最小项

B．函数有最大、最小值，数列无最大、最小项

C．函数无最大、最小值，数列有最大、最小项

D．函数无最大、最小值，数列无最大、最小项

【答案】C

【分析】先求出定义域，再对定义域上的函数最值进行分析即可.其实就是函数的定义域为正整数集的函数.

【详解】，定义域为，

所以且

在和上单调递减，故AB错误；

此时有：，

故最小，最大；

所以函数无最大、最小值，数列有最大、最小项.

故选：C.

二、填空题

5．若，则____________

【答案】.

【分析】最简三角方程公式的应用

【详解】根据的解为：知：

本题要求，则。

故答案为：

6．已知，则________

【答案】

【分析】直接利用诱导公式计算可得；

【详解】解：因为，所以

故答案为：

7．已知，则_____________

【答案】

【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求解即可.

【详解】因为，

所以，,

所以.

故答案为：

8．函数的定义域是_________

【答案】

【分析】根据反余弦函数的定义即得.

【详解】因为函数

所以，

即函数的定义域是.

故答案为：.

9．方程的解是_________

【答案】

【分析】根据正切函数的周期及特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】因为，

所以，解得，

故答案为：

10．已知数列首项为2，且，则__________

【答案】

【分析】根据递推关系可得等比数列，求通项公式即可.

【详解】由可得，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以，即，

故答案为：

11．等差数列中，若，则_________

【答案】180

【分析】根据等差数列的性质得到，再计算即得.

【详解】因为等差数列中，，

所以，

所以.

故答案为：.

12．等差数列的首项，公差，则使数列的前项和最大的正整数的值是__________

【答案】5

【分析】根据等差数列的求和公式及二次函数的性质即得.

【详解】因为等差数列的首项，公差，

所以，

所以时，数列的前项和最大.

故答案为：5.

13．若一无穷等比数列各项和为2，则首项的范围为_____．

【答案】且

【分析】设公比为，利用公式可求无穷等比数列各项和，利用可求的范围.

【详解】设无穷等比数列的公比为，

因为无穷等比数列各项和为2，故且，

此时无穷等比数列各项和为，故，

所以，故，故且.

故答案为：且.

【点睛】本题考查无穷等比数列的各项和，注意只有当公比时，无穷等比数列才会有和且和为，本题属于中档题.

14．已知数列，其前项和为，则_______

【答案】.

【分析】先用裂项相消法求出，再求其极限即可.

【详解】

，

.

故答案为：

15．对一切实数，令为不大于的最大整数，若，为数列的前项和，则_______

【答案】100

【分析】根据题意可得，然后根据条件及求和公式即得.

【详解】因为，

所以当 时，；

当 时，；

当 时，；

当 时，；

，

所以．

故答案为：100.

16．已知定义在整数集合上的函数，对任意的，都有且，则_______

【答案】0

【分析】由题可得函数的周期为，然后根据赋值法可得，的值，进而即得.

【详解】因为对任意的，都有且，

令得，

∴，

∴，

，即，

所以，即的周期为，

且，

，

令得，即，

令得，

所以，，

即0.

故答案为：0.

17．已知函数.若存在，使得，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】利用和差化积公式来处理，得到等号成立时需要满足的条件，进而求得其最小值。

【详解】所以，而，故等号成立当且仅当，又因为，所以的最小值为。

【点睛】此题考查三角函数的运算，属于中档题。

18．已知，，则的最大值等于__________

【答案】4

【分析】根据余弦函数的单调区间，分类讨论去掉绝对值号，利用相加相消法求出和，由三角函数的最值求最大值即可.

【详解】因为，，

所以存在，当，函数单调递减，

此时，

则

，

当，函数单调递增，

此时，，

同理可得，

所以

即的最大值等于4.

故答案为：4

19．无穷数列有个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则的最大值为____________

【答案】3

【分析】根据集合与元素的关系，数列中与的关系求解即可.

【详解】∵对任意,

∴，

∴或，

当时, ，

∴可能的值只有0，1，−1，三种情况，

故数列{an}最多有0，1，−1，3个数字组成，

故答案为：3.

20．设的内角所对的边为,则下列命题正确的是_____．

①若，则；                ②若，则；

③若，则；            ④若，则．

【答案】①②③．

【分析】利用余弦定理、三角形的性质及基本不等式等知识，对选项逐一证明或找反例，从而得出正确选项.

【详解】解：选项①：因为的内角所对的边为

所以当且仅当“”时取“=”，

因为，

故，

因为函数在为单调减函数，

所以，故选项①正确；

选项②：因为，

所以，即，

故，

所以，

因为函数在上为单调减函数，

所以，故选项②正确；

选项③：假设，

则，即，

所以（1），

因为，

所以，

故，同理，

对（1）式两边同时乘以得，

，

与矛盾，

所以假设不成立，即成立，故选项③正确；

选项④：取，

故，

满足，

而，

故为锐角，不能满足，故选项④错误.

故本题的正确选项为①②③．

【点睛】本题考查了余弦定理、反证法、基本不等式等知识，熟练掌握定理及公式是解题的关键.

21．设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．

【答案】

【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．

【详解】由题意，因为，当时，，

又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，

所以，

又，

对任意的实数，总有两个不同的根，所以，

又，

对任意的实数，总有两个不同的根，所以，

由此可得，

所以，

所以．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

三、解答题

22．已知函数

(1)求的单调递增区间；

(2)若，求的值域

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）由三角恒等变换公式化简，结合三角函数性质求解，

【详解】（1），

由，得，

故的单调递增区间为，

（2）当时，，则，

的值域为

23．已知数列满足

(1)求出项，并由此猜想的通项公式

(2)用数学归纳法证明的通项公式

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据已知条件求得，由此猜想，

（2）结合数学归纳法的证明步骤，证得猜想通项公式正确即可.

【详解】（1）依题意，

所以，

由此猜想.

（2）当时，，成立.

假设当时成立，即成立.

则当时，，成立.

综上所述，对任意正整数都成立.

24．如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个的养殖场

(1)已知，求的长度

(2)问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大，并求其最大面积

【答案】(1)千米；

(2)千米时，取得最大值平方千米.

【分析】（1）运用正弦定理可求出的长度；（2）根据面积公式和余弦定理可求.

【详解】（1）在中，由正弦定理可得：

，代入数据得

解之：千米；

（2）在中，由余弦定理可得

令可得，

所以当且仅当时取得

又

千米时，取得最大值平方千米.

25．已知等比数列首项为1，公比为，为数列的前项和

(1)求

(2)求

【答案】(1)

(2)时，，时，

【分析】（1）分与讨论，利用等比数列的求和分别写出即可；

（2）对分类讨论，分别求出极限即可.

【详解】（1）由等比数列求和公式，

当时，，

当时，，

综上，.

（2）由（1）知，当时，，

所以，

当时，，

当时，

当时，，

综上，时，，时，.

26．已知数列的前项和为，对任意都有成立，且.

(1)求数列的通项公式

(2)已知，且有对任意恒成立，求实数的取值范围

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得，然后根据等比数列的定义可求，进而即得；

（2）由题可得，进而可得，然后结合条件即得.

【详解】（1）因为对任意都有成立，且，

当时，，

所以，

所以，即，又，

所以数列是首项为5，公比为2的等比数列，

所以，

所以，

所以；

（2）由题可知，

所以，又对任意恒成立，

所以，

即实数的取值范围.

27．已知数列满足：，且，设

(1)求数列的通项公式

(2)在数列中，是否存在连续三项依次构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由

(3)试证明：在数列中，一定存在正整数，使得依次构成等差数列，并求出之间的关系

【答案】(1)

(2)成等差数列

(3)当为奇数，时，成等差数列

【分析】（1）由累加法求解，

（2）由的通项公式与等差数列的性质列式求解，

（3）根据的奇偶讨论，由的通项公式与等差数列的性质列式求解，

【详解】（1）当为奇数时，，，，

累加得，得，

当为偶数时，同理得，得，

综上，

（2），

设成等差数列，

当为奇数时，，无解，

当为偶数时，，解得，

故存在成等差数列

（3）若均为奇数，则，即，得（舍去），此时不存在满足题意的值，

若均为偶数，则，即，得（舍去），此时不存在满足题意的值，

若为奇数，为偶数，则，则当时，满足题意，

若为偶数，为奇数，则，即，得（舍去），此时不存在满足题意的值，

综上，当为奇数，时，成等差数列