2021-2022学年四川省简阳市阳安中学高二上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年四川省简阳市阳安中学高二上学期12月月考数学（理）试题

一、单选题

1．若直线3x+y+a=0过圆的圆心，则的值为（   ）

A．-1 B．1 C．3 D．-3

【答案】B

【详解】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．

解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），

代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，

故选 B．

点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围

2．设点是点，，关于平面的对称点，则（    ）

A．10 B． C． D．38

【答案】A

【分析】写出点坐标，由对称性易得线段长．

【详解】点是点，，关于平面的对称点，

的横标和纵标与相同，而竖标与相反，

，，，

直线与轴平行，

，

故选：A．

3．已知直线，，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若“”，

则m(m+1)+(m+1)(m+4)=0，解得：m=−1，或m=−2

故“”是“”的充分不必要条件，

故选A

4．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先把抛物线解析式变形成，再求准线方程即可．

【详解】解：由得，

∴ 抛物线准线方程为．

故选：D．

5．命题“若，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用特称命题的否定可得出结论.

【详解】命题“若，”为特称命题，该命题的否定为“，”.

故选：C.

6．两圆和的位置关系是

A．相交 B．内切 C．外切 D．外离

【答案】B

【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径的关系，即可得到结果.

【详解】由圆的圆心为，半径为1，

圆圆心为半径为3，

所以圆心距为，此时，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B.

【点睛】本题主要考查了两个圆的的位置关系的判定，其中熟记两圆的位置关系的判定方法，准确作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意，∵抛物线的准线方程为，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，∴，∴，∴，，∴双曲线的方程为，故选A.

8．为抛物线的焦点，为上一点，，求的最小值是 (　　)

A．2 B． C． D．4

【答案】D

【分析】求出焦点坐标和准线方程，把转化为，利用 当P、N、M三点共线时，取得最小值为，求得到准线的距离即可.

【详解】由题意得 F（ 1，0），准线方程为 x＝﹣1，设点P到准线的距离为d＝|PN|，

又由抛物线的定义得＝，

故当P、N、M三点共线时，取得最小值，所以过点M作准线的垂线垂足为N，且交抛物线于P，此时的P满足题意，且的最小值为=3+1=4,

故选D．

【点睛】本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想．

9．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出“关于的不等式的解集为”成立时实数的取值范围，再结合必要不充分条件的定义可得出结论.

【详解】由关于的不等式的解集为，

可得，解得，所以的取值范围是.

根据必要不充分条件的概念可知B项正确.

故选：B.

10．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】反射光线过圆心，而点与圆心连线与轴平行，由对称性可得入射光线与的交点（即反射点），由交点坐标和圆心坐标可得反射光线所在直线方程．

【详解】由题意反射光线过圆心，又点与圆心连线与轴平行，所以入射光线与的交点的横坐标为，即入射光线与轴交点为．

所以反射光线所在的直线方程为，即．

故选：C．

11．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.

【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，

记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，

所以，.

故选：B.

12．已知椭圆的方程为，，分别为其左，右焦点，，两点在椭圆上，且满足，若直线的倾斜角为120°，且四边形的面积为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】判断四边形是平行四边形，利用四边形的面积转化求解，得到，然后求解距离，利用椭圆定义求解即可．

【详解】因为，所以四边形为平行四边形，

所以直线经过坐标原点，

因为四边形的面积为，且直线是倾斜角为，

所以由四边形的面积公式，可得，

化简可得，所以，

所以，不妨令在轴上方，故，

所以，，

由椭圆的定义可得，所以．

故选：D

二、填空题

13．命题“若，则”的否命题的真假性为________．

【答案】真.

【分析】写出命题的否命题，然后判断真假即可.

【详解】命题的否命题为“若，则”．

若，结论成立．若，不等式也成立．

故否命题为真命题．

故答案为真

【点睛】本题考查命题的否命题的写法，考查命题真假的判断，属于简单题.

14．过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为______．

【答案】

【分析】利用过圆上一点的切线的性质可得直线与直线垂直，故，点斜式即可表示直线方程

【详解】直线的斜率，

则直线的斜率，

故直线的方程为，

变形可得．

故答案为：．

15．直线过点，与椭圆相交于A、B两点，若的中点为M，直线的方程___________.

【答案】

【分析】设，则，两式相减得到，整理可得，再利用M为的中点求解.

【详解】设，

因为直线过点，与椭圆相交于A、B两点，

所以，

两式相减得：，

即，

显然直线的斜率存在，

所以，

所以直线的方程是，

即

故答案为：

【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

16．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，设是的一个交点，与的离心率分别是，若，则的最小值为________

【答案】

【分析】设，利用椭圆和双曲线的定义及余弦定理可利用表示出，结合可确定，由椭圆和双曲线的关系可得方程，进而利用基本不等式求得结果.

【详解】

设，，

，，

，，

令，，，

，则，

当时，，得：，

则，；

（当且仅当，即时取等号），

解得：，即的最小值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查共焦点的椭圆和双曲线的离心率最值问题的求解，解题关键是能够借助椭圆和双曲线的定义构造出关于的齐次方程，从而确定椭圆和双曲线离心率所满足的等量关系，从而利用基本不等式求得最值.

三、解答题

17．已知ABC的顶点．

(1)求高所在直线的方程；

(2)求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）先求出直线的斜率，再根据垂直关系求出高所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；（2）先用两点间距离公式求出的长，再利用点到直线距离公式求出高的长度，进而求出面积.

【详解】（1）依题意可得直线的斜率

由得：，，

故直线的方程为：，即：．

（2）依题意直线的方程为，，

点到直线的距离

所以

18．已知．

(1)若为真命题，为假命题，求实数x的取值范围；

(2)若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意知一真一假，分情况求得实数x的取值范围；

（2）根据是的必要不充分条件得对应的集合是的真子集，据此求解即可．

【详解】（1）解：当，，，

由为真命题，为假命题知一真一假，

当真假时，，无解；

当假真时，，

解得或．

综上：实数x的取值范围为．

（2）解：：或，

：或，

若是的必要不充分条件，

则且不同时取等号，

解得．

∴ 实数m的取值范围为．

19．已知的三顶点坐标分别为：，，．

(1)求的外接圆的标准方程；

(2)已知过的直线被的外接圆截得的弦长为，求直线的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）设外接圆，代入坐标可构造方程组求得，整理可得圆的标准方程；

（2）由圆的方程可知圆心和半径，由垂径定理可求得圆心到直线的距离；当直线斜率不存在时可知其满足题意；当斜率存在时，设，利用点到直线距离公式可构造方程求得，从而得到直线方程；综合两种情况可得结果.

【详解】（1）设外接圆的方程：，

则有，解得：，

外接圆的方程：，即；

（2）由（1）知：外接圆的圆心为，半径；

圆心到直线的距离，

①当直线的斜率不存在时，，符合题意

②当直线的斜率存在时，设直线，即，

，解得：，；

综上所述：直线的方程为：或．

20．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．

(1)求双曲线的方程；

(2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于A，两点，求的值．

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）设所求双曲线方程为，代入点，求出，即可得解；

（2）根据（1）求出焦点坐标，从而可得直线的方程，设，，联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得解.

【详解】（1）解：设所求双曲线方程为，

代入点得：，即，

双曲线方程为，即；

（2）解：由（1）知：，，

即直线的方程为，

设，，

联立，得，

满足，且，，

由弦长公式得.

21．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，延长交抛物线于点，以点为圆心作与直线相切的圆，求圆的半径，判断圆与直线的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）；（2），相切，理由见解析.

【分析】（1）解方程即得解；

（2）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．求出，再求出点到直线的距离，即得解.

【详解】解：（1）由抛物线的定义得．

因为，即，解得，

所以抛物线的方程为．

（2）证明：设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．

因为点在抛物线上，

所以，

由抛物线的对称性，不妨设，

由，可得直线的方程为，

由得，

解得或，从而．

又，

故直线的方程为，

从而．

又直线的方程为，

所以点到直线的距离．

这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．

22．已知椭圆标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于两点且不过原点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标；

【答案】(1)

(2)证明见解析；定点

【分析】（1）由离心率，点坐标和椭圆关系可求得标准方程；

（2）当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，根据可得，代入韦达定理的结论可求得，由此可得定点；当斜率不存在且过时，满足题意，由此可得结论.

【详解】（1）由已知得：，，，，

椭圆标准方程为．

（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，设､，

联立方程组得：，

则，解得：；

，，

由得：，，

化简得：，

则，化简得：，

即，解得：或，

当时，直线恒过点，不合题意，舍去；

，，直线过定点．

当直线斜率不存在且过时，，此时，

，符合题意．

综上所述：直线过定点