2021-2022学年四川省简阳市阳安中学高二上学期12月月考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年四川省简阳市阳安中学高二上学期12月月考数学（文）试题

一、单选题

1．若直线3x+y+a=0过圆的圆心，则的值为（   ）

A．-1 B．1 C．3 D．-3

【答案】B

【详解】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．

解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），

代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，

故选 B．

点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围

2．设点是点，，关于平面的对称点，则（    ）

A．10 B． C． D．38

【答案】A

【分析】写出点坐标，由对称性易得线段长．

【详解】点是点，，关于平面的对称点，

的横标和纵标与相同，而竖标与相反，

，，，

直线与轴平行，

，

故选：A．

3．直线经过一，二，三象限的必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】解：若直线经过一，二，三象限，

则，

所以选项中直线经过一，二，三象限的必要不充分条件是.

故选：D.

4．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先把抛物线解析式变形成，再求准线方程即可．

【详解】解：由得，

∴ 抛物线准线方程为．

故选：D．

5．命题“若，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用特称命题的否定可得出结论.

【详解】命题“若，”为特称命题，该命题的否定为“，”.

故选：C.

6．两圆和的位置关系是

A．相交 B．内切 C．外切 D．外离

【答案】B

【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径的关系，即可得到结果.

【详解】由圆的圆心为，半径为1，

圆圆心为半径为3，

所以圆心距为，此时，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B.

【点睛】本题主要考查了两个圆的的位置关系的判定，其中熟记两圆的位置关系的判定方法，准确作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．设双曲线的焦点为，则该双曲线的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知，由解得，再由离心率公式求解即可.

【详解】因为双曲线的焦点为，

所以，

又因为，

所以，

所以离心率.

故选：C.

8．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意，∵抛物线的准线方程为，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，∴，∴，∴，，∴双曲线的方程为，故选A.

9．为抛物线的焦点，为上一点，，求的最小值是 (　　)

A．2 B． C． D．4

【答案】D

【分析】求出焦点坐标和准线方程，把转化为，利用 当P、N、M三点共线时，取得最小值为，求得到准线的距离即可.

【详解】由题意得 F（ 1，0），准线方程为 x＝﹣1，设点P到准线的距离为d＝|PN|，

又由抛物线的定义得＝，

故当P、N、M三点共线时，取得最小值，所以过点M作准线的垂线垂足为N，且交抛物线于P，此时的P满足题意，且的最小值为=3+1=4,

故选D．

【点睛】本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想．

10．已知命题p：若，则且；命题q：存在实数，使．下列选项中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．q

【答案】C

【分析】先判断命题的真假，然后再根据简单复合命题的真值表即可判断.

【详解】因为且，所以命题为真命题；

又因为对，为真命题，所以命题q：存在实数，使为假命题，

根据复合命题真值表可知：为假命题；为假命题；为真命题，

故选：.

11．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】由题意可知：|AC|＝2|AF|，则∠ACD，利用三角形相似关系可知丨AF丨＝丨AD丨，直线AB的切斜角，设直线l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线弦长公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．

【详解】抛物线y2＝4x焦点F（1，0），准线方程l：x＝﹣1，准线l与x轴交于H点，

过A和B做AD⊥l，BE⊥l，

由抛物线的定义可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，

|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，

则∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，

∴，

则丨AF丨＝丨AD丨，

设直线AB的方程y（x﹣1），

，整理得：3x2﹣10x+3＝0，

则x1+x2，

由抛物线的性质可知：丨AB丨＝x1+x2+p，

∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，

故选C．

【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．

12．已知椭圆的方程为，，分别为其左，右焦点，，两点在椭圆上，且满足，若直线的倾斜角为120°，且四边形的面积为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】判断四边形是平行四边形，利用四边形的面积转化求解，得到，然后求解距离，利用椭圆定义求解即可．

【详解】因为，所以四边形为平行四边形，

所以直线经过坐标原点，

因为四边形的面积为，且直线是倾斜角为，

所以由四边形的面积公式，可得，

化简可得，所以，

所以，不妨令在轴上方，故，

所以，，

由椭圆的定义可得，所以．

故选：D

二、填空题

13．命题“若，则”的否命题是___________．

【答案】“若，则”

【分析】直接求解原命题的否命题即可.

【详解】命题“若，则”的否命题是：“若，则”.

故答案为：“若，则”.

14．过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为______．

【答案】

【分析】利用过圆上一点的切线的性质可得直线与直线垂直，故，点斜式即可表示直线方程

【详解】直线的斜率，

则直线的斜率，

故直线的方程为，

变形可得．

故答案为：．

15．直线过点，与椭圆相交于A、B两点，若的中点为M，直线的方程___________.

【答案】

【分析】设，则，两式相减得到，整理可得，再利用M为的中点求解.

【详解】设，

因为直线过点，与椭圆相交于A、B两点，

所以，

两式相减得：，

即，

显然直线的斜率存在，

所以，

所以直线的方程是，

即

故答案为：

【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

16．设分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最小值为___________．

【答案】##

【分析】利用椭圆的定义，由求解.

【详解】解：因为椭圆，

所以，，

则，

连接，如图：

因为，

所以，

当三点共线时，取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

三、解答题

17．写出满足下列条件的方程.

(1)已知椭圆的焦点在x轴上，且短轴长为4，离心率．求椭圆C的方程；

(2)已知双曲线的渐近线方程为．且经过点，求双曲线的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算椭圆中的即可求得标准方程.

（2）计算双曲线中的即可求得标准方程.

【详解】（1）由题意知，，所以，

又因为，所以，

解得，，，

所以椭圆C的方程为：；

（2）由已知渐近线为，即，

当双曲线焦点在轴时，设双曲线方程为：，

又因为①，且经过点，故②，

联立①②得方程无解.

当双曲线焦点在轴时，设双曲线方程为：

又因为③，且经过点，故④，

联立③④解得，

综上所述：双曲线方程为

18．已知ABC的顶点．

(1)求高所在直线的方程；

(2)求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）先求出直线的斜率，再根据垂直关系求出高所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；（2）先用两点间距离公式求出的长，再利用点到直线距离公式求出高的长度，进而求出面积.

【详解】（1）依题意可得直线的斜率

由得：，，

故直线的方程为：，即：．

（2）依题意直线的方程为，，

点到直线的距离

所以

19．已知．

(1)若为真命题，为假命题，求实数x的取值范围；

(2)若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意知一真一假，分情况求得实数x的取值范围；

（2）根据是的必要不充分条件得对应的集合是的真子集，据此求解即可．

【详解】（1）解：当，，，

由为真命题，为假命题知一真一假，

当真假时，，无解；

当假真时，，

解得或．

综上：实数x的取值范围为．

（2）解：：或，

：或，

若是的必要不充分条件，

则且不同时取等号，

解得．

∴ 实数m的取值范围为．

20．已知的三顶点坐标分别为：，，．

(1)求的外接圆的标准方程；

(2)已知过的直线被的外接圆截得的弦长为，求直线的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）设外接圆，代入坐标可构造方程组求得，整理可得圆的标准方程；

（2）由圆的方程可知圆心和半径，由垂径定理可求得圆心到直线的距离；当直线斜率不存在时可知其满足题意；当斜率存在时，设，利用点到直线距离公式可构造方程求得，从而得到直线方程；综合两种情况可得结果.

【详解】（1）设外接圆的方程：，

则有，解得：，

外接圆的方程：，即；

（2）由（1）知：外接圆的圆心为，半径；

圆心到直线的距离，

①当直线的斜率不存在时，，符合题意

②当直线的斜率存在时，设直线，即，

，解得：，；

综上所述：直线的方程为：或．

21．抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．

（1）若，求直线AB的斜率；

（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

【答案】（1）；（2）面积最小值是4．

【详解】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，依题意F（1,0），设直线AB的方程为．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得，由此能够求出直线AB的斜率；第二问，由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于，由此能求出四边形OACB的面积的最小值．

试题解析：（1）依题意知F（1,0），设直线AB的方程为．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得．设，，所以，．①因为，所以．②联立①和②，消去，得．

所以直线AB的斜率是．

（2）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于．

因为，

所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．

【解析】抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率．

22．已知椭圆标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于两点且不过原点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标；

【答案】(1)

(2)证明见解析；定点

【分析】（1）由离心率，点坐标和椭圆关系可求得标准方程；

（2）当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，根据可得，代入韦达定理的结论可求得，由此可得定点；当斜率不存在且过时，满足题意，由此可得结论.

【详解】（1）由已知得：，，，，

椭圆标准方程为．

（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，设､，

联立方程组得：，

则，解得：；

，，

由得：，，

化简得：，

则，化简得：，

即，解得：或，

当时，直线恒过点，不合题意，舍去；

，，直线过定点．

当直线斜率不存在且过时，，此时，

，符合题意．

综上所述：直线过定点